Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 218
Скачиваний: 1
250 |
МЕТОДЫ |
М И Н И М И З А Ц И И В |
Ф У НКЦ И О НАЛ ЬНЫ Х ПРОСТРАНСТВАХ |
[Гл. 6 |
||||||||||
|
б) а „ |
определяется |
из |
условия |
J ( u n) —/(m„+i) ^e||«n— «„+il|2, |
|||||||||
где Un+i имеет вид |
(2), е — параметр алгоритма, е > 0 ; |
|
||||||||||||
|
в) а п можно выбирать, |
как это указано в п. 1е). |
|
|||||||||||
|
Т е о р е м а |
2. Пусть |
функционал |
|
J (и) определен на выпуклом |
|||||||||
замкнутом |
множестве |
U |
гильбертова |
|
пространства |
Я , J (и) 6 С1 (U), |
||||||||
inf J (и) = J* > |
— оо, |
и градиент J ' (и) |
удовлетворяет условию |
ЛИЛ |
||||||||||
ЛЕЦ |
' |
|
|
|
|
|
|
|
L = |
|
|
и, v 6 U. |
|
|
шица I J' (и) — J' (и) |< L |и — v ||, |
const > 0 , |
Пусть |
||||||||||||
и0— произвольная начальная точка |
из |
|
U |
и последовательность {ип} |
||||||||||
определена |
по |
формуле |
(2) |
с выбором |
параметра |
а п из условий |
||||||||
0 < |
ех < а п < |
■ |
L + 2е |
|
Qi>- |
•заданные положительные |
числа, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 < 8 1 < - |
2 |
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
L + |
2в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
j (ип) — j |
(«Д+0 > |
8II ип— ип+1|Р, |
п = |
0, |
1, .. • , limIIип— wn+,II = 0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д -*о о |
|
|
{если Я = Я , |
то равенство lim||«„— Wn+i||= 0 равносильно П т У' (ип) = 0). |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Д -»оо |
|
|
|
|
|
Д -*э о |
|
|
Если, кроме того, J (и) — выпуклый функционал, и множество |
|||||||||||||
M^{uo) — {u :u ^ U , |
J (и) s£ZJ(и0)} |
ограничено, то |
последователь |
ность {и„} является минимизирующей, и любая ее слабая предель
ная точка будет точкой минимума J (и) |
на U, причем в случае един |
||||
ственности |
точки |
минимума к |
ней слабо сходится вся последова- |
||
тельность |
{«„}; |
справедлива |
оценка |
Q |
|
0<СУ(«„)— J* -С ——, С\ = |
|||||
= co n st> 0 , |
п = 1, 2, ... |
|
п |
||
|
|
||||
Если / («), |
кроме того, сильно выпуклый функционал на U, то |
||||
{ип} сходится |
к |
единственной |
точке минимума ы* по норме про- |
||
|
|
|
|
Q |
п = 1 , 2, ..., C2= c o n s t> 0 . |
странства Я , причем \ип— ы*|р<——, |
|||||
|
|
|
|
11 |
|
Доказательство этой теоремы полностью аналогично доказа тельству теоремы 2.3.2 с той лишь разницей, что вместо классиче ской теоремы Вейерштрасса здесь нужно использовать теорему 1.4 так же, как это мы делали только что при доказательстве тео ремы 1.
Если множество U имеет вид U— {и : gi{u) ;^ 0, i = l , 2, .... s}, где gi(u) — заданные функционалы из С1 (Я ), то для минимизации
•функционала 7 ( « ) е С ‘ (Я ) на U можно применить метод возмож ных направлений [59, 117, 135, 193, 196]; один из вариантов этого метода в Я-пространствах может быть описан также, как в § 2.4.
3. Метод проекции опорного функционала. Пусть выпукл функционал /(«) в каждой точке и замкнутого выпуклого множе ства U имеет опорный функционал 1{и).
§ 2] |
Некоторые методы минимизации функционалов |
251 |
Метод проекции опорных функционалов заключается в пост роении последовательности {ип} по правилу
Un+ 1 = Р ц ( ип— а н |
\ п = 0, 1, |
\III Ы II J
где а п — произвольная |
последовательность |
со свойствами а пХ ) , |
|
|
00 |
|
|
а л -» 0 (п-^оо), |
а г = |
оо /например, |
а п — |
|
i=o |
'■ |
п -4- 1 ) - |
|
|
Теорема 2.5.2 о сходимости описанного метода и ее доказательствополностью сохраняют силу и в Я-пространствах. О методах мини мизации негладких функционалов см., например, в работах [35, 154, 155, 187, 189, 193].
4. Метод условного градиента. Пусть U — выпуклое замк тое ограниченное множество в Я-пространстве, пусть функционал
J(u )^ C '(U ) . |
Метод условного |
градиента |
заключается |
в |
следую |
||||||||
щем: |
если Un |
(п ^ О ) |
уже известно, то берем главную |
линейную |
|||||||||
часть |
J n (u )s= (J'(u n), |
и— и п ) |
приращения |
J (и)— /(ип) = |
( Г ( и п) , |
||||||||
и— ип)-\-о(\\и— ып||) и определяем |
вспомогательное |
приближение- |
|||||||||||
йп^ .и из условия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
J n Ы |
= |
min J n(u) или (/' (ип) , йп) = |
min (5 (и„), и). |
(3> |
||||||||
|
|
|
иеи |
|
|
|
|
|
uEU |
|
|
|
|
Затем |
полагаем |
[35, 36, 82, |
93, |
94, |
97, |
124, 154, |
155, |
179, |
229] |
||||
|
|
|
un+i = |
ип + |
ап (ип — ип), |
0 < |
a n < |
1, |
|
|
(4> |
где а п может быть выбрано, например, одним из следующих спосо бов — а), б), в ):
а) |
8п К ) |
= |
min gn (а ), gn (а) = J ( u n + а (йп — ип)), |
|
|
(5> |
|||||||
|
|
|
0 < а < 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) |
J (un) — j |
(un+i) > е а л I J n (un) 1, |
0 < |
а„ < |
1, где |
е —- параметр- |
|||||||
алгоритма; |
0 -< е < |
1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) если |
|J' (и) — J' (о) ||< L I и — v | при |
всех u ,v £ U , |
L = |
||||||||||
— const > |
0, |
то |
а п можно |
определить |
так: |
|
а п — у„рл, |
где |
р„ = |
||||
= mi nl l ; |
—— |
|
|
— J, ех < ; у л < —- — —, ех |
и |
е —.параметры |
алго- |
||||||
|
I |
11«„-М 3 I |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|||
ритма, |
|
|
|
2 |
(1 _е) |
|
Заметим, |
что приведенное здесь. |
|||||
0 < е 1 •<------— -, 0 < е < 1. |
|||||||||||||
описание |
метода |
условного |
градиента сохраняется без |
изменений |
|||||||||
и в 5-пространствах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Т е о р е м а |
3. |
Пусть U — выпуклое |
замкнутое |
ограниченное |
множество в Я-пространстве (или рефлексивном 5-пространстве),
■ 252 МЕТОДЫ М И Н И М И З А Ц И И В Ф У НКЦ И О НАЛ ЬНЫ Х ПРОСТРАНСТВАХ \Гл. «Г
пусть функционал |
/ ( п ) е С 1(Д), |
inf J(u) — J*^> — оо |
и градиент |
|||||
J'(ti) удовлетворяет |
условию |
|
u £ U |
\\J'{u)— J'(v) ||^L||«— t>|| |
||||
Липшица |
||||||||
при всех и, v<=U, |
L = c o n s t> 0 . |
Тогда |
последовательность {w„}, |
|||||
удовлетворяющая |
условиям |
(3) — (5), |
существует |
и |
J n(u„) = |
|||
= (/'(мп), |
йп— п„)->-0 |
г(/г->оо) |
при любом |
выборе u0^U . |
|
|||
Если, |
кроме того, |
/ (и) выпуклый функционал на |
U, |
то после |
довательность {н,,} является минимизирующей и любая ее слабая предельная точка будет точкой минимума J (и) на U, причем в слу чае единственности точки минимума к ней слабо сходится вся по следовательность {«„}. Справедлива оценка
0 < ая = / ( ия) - / * < - ^ 1 л = 1, 2, |
(6) |
п |
|
где С — положительная константа, независнмай от п.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть |
начальное |
приближение |
u0^ U |
выбрано произвольно. Пусть уже известно |
и„ (п^О ). Так как |
||
J n{u) = (Л (м„), и— ц„) линейный |
(и тем более выпуклый) |
непре |
рывный функционал, то существование элемента й „ е Д , удовлетво ряющего условию (3), следует из теоремы 1.4.
Доказательство утверждения |
/n (wn)-vO |
(п->оо) проводится |
||
дословно так же, как в теореме |
2.6.1. Если /(и) выпуклый функ |
|||
ционал, то |
существование |
/ (« * )= / * |
следует из |
теоремы |
1.4, э т о т |
факт, что {ип} — минимизирующая |
последовательность, |
||
является следствием неравенств (2.6.6). |
|
|
||
В силу теоремы 1.2 множество U слабо |
компактно, |
поэтому |
последовательность {п„} имеет хотя бы одну слабую предельную точку и*е£/, являющуюся слабым пределом некоторой подпосле
довательности {a„fe}. Но J (и) |
слабо |
полунепрерывен снизу, поэ |
тому |
|
|
J* = lim J (ип) = |
lim J («„ |
) > J (а*) > /*, |
П -» оо |
|
|
т. е. J(v*) = J * . Если /(«) достигает своего минимума в единствен ной точке и*, то вся последовательность {«„} слабо сходится к и*.
Оценка >(6) выводится совершенно так же, как и подобная оценка (2.6.4) в теореме 2.6.1. А
Формулировку и доказательство теоремы сходимости метода условного градиента, когда величина а„ в (4) выбирается соглас но пп. б), в), предоставляем читателю, заметив лишь, что это де лается совершенно так же, как в теореме 2.6.2.
S 2] |
|
|
|
Некоторые методы минимизации функционалов |
|
253 |
||||||||||
|
5. |
|
Метод сопряженных градиентов. Пусть |
функционал J (и |
||||||||||||
£ С1(Я ). |
Построим последовательность {ип} |
по' правилам [35, |
124, |
|||||||||||||
166, |
179, |
190] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МцЦ-l |
|
11ц |
|
Ctt/iPm |
f t |
1» 2 , |
• • •, |
|
|
|
||
|
|
|
Ро = |
J ' («о), |
Рп = |
J' (ftn) — $пРп-1, |
п = |
1, 2, |
. . . , . |
|
||||||
где величины а п, (3„ |
выбираются из условий |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
ёп К ) |
= |
min g n (а), g„ (а) == J |
(и„ — арп), |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
а>0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(J'(un), J' (u„-i) — J' (и„)) |
ft € h , |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II/'(«л-0 II2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
о , |
n |
£ |
I z , |
|
|
|
|
|
|
|
а множества индексов /1, |
/2 |
таковы, |
что /iU^2 = {0, |
1, |
2, ...}, |
0е / 2. |
||||||||||
На |
практике |
часто |
|
принимают |
/2= { 0 , |
щ, п2, ...}, |
где 0 < n i < |
|||||||||
< п 2< |
... — заданная |
последовательность, |
например |
n u = ks, |
s — |
|||||||||||
некоторое натуральное |
число, k — 0, |
1, 2........... Если |
/2={< ?}, |
11= |
||||||||||||
= {1, 2, |
...}, то этот метод превратится в метод скорейшего спуска. |
Сходимость метода сопряженных градиентов для сильно выпуклых функционалов в Я-пространствах доказывается совершенно так же, как в теореме 2.7.2.
Приведенное здесь описание метода сопряженных градиентов предполагает, что £/= Я . Если же И ф Н , то можно использовать проекцию описанного метода ип+\= Ри (ип— а прп), выбирая ап> 0 , например, из условия J(u n+i) < J ( u n).
6.Метод Ньютона [4, 27, 35, 46, 75, 81, 82, 130, 152, 155, 1
Пусть U — выпуклое замкнутое множество в Я-пространстве |
(или |
в 5-пространстве), функционал J(u)<=C2(U). Пусть ип ( п ^ 0) |
уже |
известно. Тогда берем главную квадратичную часть |
|
J n (и) = (/' (ип), и — un) + - L (J" (ип) (и — un) , u — un) |
|
приращения J (и)— J(u n) = J n (u)-\-o(\\u— и„||2) и определяем вспо могательное приближение ип из условия
J.n (un) — min J n (и).
|
u £ U |
Затем полагаем |
|
Чп+1 = ип + |
0 < а л < 1, |
где а п может быть выбрано, например, одним из следующих спо собов:
254 |
МЕТОДЫ |
М И Н И М И З А Ц И И В |
Ф У НКЦ И О НАЛ ЬНЫ Х |
ПРОСТРАНСТВАХ |
[ Г л . S |
|||
|
а) |
а ,1 = 1 , п = О, 1, 2, |
... |
(здесь имеем дело с методом Ньютона |
||||
в его классическом виде); |
|
|
|
|
|
|||
|
б) |
ёп Ю |
= min g„ (a), |
gn (а) = J (ип + |
а (йп— гг,,)); |
|
||
|
|
|
0<а<1 |
|
|
|
|
|
|
в) |
J {ип) — 7 (« n+i) ^ е а „ | /„(«„) |, где |
е — параметр алгорит |
|||||
ма, |
O C e C l, |
а величина |
а п выбирается |
как |
можно ближе |
к 1,. |
0 < а „ ^ 1 . Сходимость вариантов а), в) метода Ньютона доказы
вается совершенно так же, как в теоремах |
2.8.1— 2, |
сходимость |
|
варианта б) |
см. в работе [82]. |
|
|
7. |
Метод штрафных функционалов |
[27, 35, |
75, 155, 162, 1 |
192, 229, 244]. Пусть g(u) — некоторый функционал, определенный
на |
заданном множестве |
Ui банахова пространства |
В |
(возможно, |
||
U i= B ) . Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
и = |
{ и : и е и ъ g ( u ) < 0 } . |
|
|
(7> |
|
|
Заметим, что множества вида (7) охватывают такие множест |
|||||
ва как Ui = {и : u^.U\, |
h ( u )= 0}, поскольку U0= { u : u ^ U u |
g(u) = |
||||
= |
h2(u)^Z0}. Если же |
U0= {и: u ^ U ь g i ( u ) ^ 0 (г = |
1, |
2, ..., |
s)}, та |
это множество также представимо в виде (7). Для этого достаточ но взять
|
8 (ц) = £ |
(“)]+» |
гДе [&; (“)]+ = |
max {£; (“); °}- |
|
|
||||||
|
|
|
i=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О п р е д е л е н и е 1. Функционалы Ph(u) |
( k = l , 2, |
...) |
называ |
|||||||||
ются штрафом или штрафными функционалами для |
ограничения |
|||||||||||
£(гг)г^0 |
на |
множестве |
U\, |
если: 1) Ph (u) ^ |
0 |
при всех |
гге^Л я |
|||||
k = \ , 2, |
...; |
2) |
Н тРй(гг )= 0 |
при гге£/, |
П тРй(гг) = + о о |
при гге(/ь |
||||||
но и ф и . |
|
|
k-*ao |
|
|
k-*oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры |
штрафных |
функционалов: |
Рк (“) = |
4 U r ( “)]+. |
p k(“) =■• |
|||||||
= Л ([ Я (“)]+)2. ^ * (« )= |
- ± — еА^ и) и т. |
п., |
где |
Ak — некоторая |
пос- |
|||||||
ледовательность, Ак > 0 |
(k = |
1, 2, . . . ) , |
Ak |
|
+ |
оо при |
£ ->- оо |
(ср. |
||||
С §2 .9). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть на множестве Ui задан функционал /(гг), и пусть тре |
||||||||||||
буется минимизировать |
/(гг) |
на множестве |
U вида (7). |
Заменим |
эту задачу последовательностью задач минимизации функционалов
/й(гг )= / (гг)+ Р й(гг), k = l , 2, ..., |
на множестве Uь где Р й(гг)— |
штраф для ограничения g (u )^ .0 |
на U\. При каждом k задача ми |
нимизации /й (гг) на Ui может быть решена приближенно каким-
либо методом |
(например, одним из вышеописанных методов). ' |
В прикладных задачах нужно стараться представить множе |
|
ство U в виде |
(7) так, чтобы множество Ui, входящее в (7), имела |