Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 220
Скачиваний: 1
§ П |
Вспомогательные сведения |
241 |
|
Тогда существует функционал с, разделяющий эти два множества. Если X и У имеют общую граничную точку хо, т о
inf (с, х) = |
sup (с, у) = (с, х0) = а. |
хех |
,v6у |
Заметим, что в отличие от конечномерного случая ,(см. теоре мы 2.5.4— 5), требование существования внутренней'точки хотя бы одного из множеств в теореме 5 не может быть опущено (см. уп ражнение 5).
Т е о р е м а 6. Пусть X, Y — непустые и непересекающиеся вы пуклые множества в 5-пространстве, такие, что X замкнуто, a Y
компактно |(в частности, У может состоять из одной точки). Тогда |
||
существует функционал I, строго разделяющий X и У. |
||
Доказательство этих двух теорем можно найти в работе [245], |
||
гл. II, § 9 (см. также [88], стр. 452). |
||
Т е о р е м а 7. |
Пусть множество U банахова пространства В |
|
выпукло |
и имеет |
хотя бы одну внутреннюю точку (в частности, |
возможно |
I / s B ) . |
Тогда, для того чтобы функционал J (и) во всех |
точках иеС/ имел опорный функционал, необходимо и достаточно,
чтобы J (и) был выпуклым |
на U и для всякой точки v ^ U суще |
ствовала постоянная L = L ( v ) ^ 0, такая, что J ( u ) ^ J ( v ) — L (v )X |
|
•Xllw— oil при всех net/ . |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Необходимость доказывается так же, |
как в теореме 2.5.7. |
|
Д о с т а т о ч н о с т ь . Пусть /(и) выпуклый на U и для каждого o e t/ существует постоянная L — L ( v ) ^ 0, такая, что J(u )^ tJ(v ) —
— L\\u— и|| при всех n et/ . По аналогии с доказательством теоремы
2.5.7 введем банахово пространство В\— Е хх В |
элементов х = (|, и ), |
1 — действительное число, « е В ; в качестве |
нормы х возьмем |
1М1в,= ||| +||ы||в. Зафиксируем точку n et/ и в |
рассмотрим два |
множества: |
|
X = { х = (|, и) : « 6 U, 1 < J (о) — Ь\\и— г»И}
и
Y = {y = & и): и d U, l > J { u ) } .
Очевидно, множества X и У выпуклы в В\ и не имеют общих внутренних точек — это проверяется так же, как в теореме 2.5.7. Покажем, что множество X имеет внутреннюю точку. По условию
множество |
U имеет внутреннюю точку v0. Это значит, что сущест |
||
вует |
шар |
||и— и0||=^б |
(6 > 0 ) , целиком принадлежащий U. Пока |
жем, |
что точка х0= ( | 0, wo), где l o = J ( v ) —L\\v—v0\\—6 (1 + L ), яв |
||
ляется внутренней для X. Для этого достаточно показать, что шар |
|||
К = { х : ||а—АоНв.г^б} |
принадлежит X. Возьмем произвольную точ |
||
ку x = ( i , |
и)(=К, т. е. |
||а—a0||B i= ||— |о|+1|и— Уо11^б. Отсюда |
|
IIй — w0 | | < 6 , ! 0 — б 5 < ^ т б.
242 МЕТОДЫ М И Н И М И З А Ц И И В ФУНКЦ И ОНАЛЬНЫ Х ПРОСТРАНСТВАХ [ Г л . (Р
Поэтому u £ U |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
K U |
+ |
b = J(v) — L\\v — w0|— 8(1 + L) + Ь = |
|
|
||||||||
|
|
= |
J{v) — L |v — и + и — v01 — 8L < / (о) — |
|
|
||||||||
|
— Z-1|гг— v |+ |
L |и — о0|— L8 < J (ь) — L\\u — п||. |
|
|
|||||||||
Таким'образом, |
|
если х = |
(|, и) 6 К, |
то и 6 U и £ < / ( ц ) — L\\u — v\\v |
|||||||||
т, е. х 6 X. Следовательно, К с : Х |
и х0— внутренняя точка X . |
||||||||||||
Точка |
x = ( J ( v ) , |
v) является |
общей граничной точкой мно |
||||||||||
жеств X и У. В силу теоремы 5 существует разделяющий эти мно |
|||||||||||||
жества |
функционал |
с=^0: (с, |
х) ^ (с, х ) = а ^ |
(с, у) |
при всех' |
||||||||
х е Х , y^.Y. |
Заметим, |
что всякий |
функционал с из сопряженного’ |
||||||||||
пространства |
В х |
представим в виде с = (vo, /о), |
где vo — |
действи |
|||||||||
тельное |
число, |
|
|
|
и результат |
применения |
с |
к элементу х — |
|||||
— (I, и) |
можно записать в виде (с, х) =Vo£-|-t(A), «)• Поэтому усло |
||||||||||||
вие разделимости множеств X и У перепишется в виде vog+i(^o, |
|||||||||||||
^ v 0J (v) + |
(lQ, |
v) ^ v0ii+ |
(k, и) при всех (£, m) g JC и (if, u )^ Y , или |
||||||||||
vo{^— |
|
(/о, |
и— и) ^ v 0[r|—J(v)] |
при всех « e f/ , |
т)^/(ы ) |
и ^ |
|||||||
^ •J(v)— L\\u—v\\. Эти |
|
неравенства |
совпадают с |
(2.5.5), |
и |
даль |
|||||||
нейшее доказательство проводится так же, как в теореме 2.5.7. Д , Во внутренних точках множества U существование опорного функционала может быть доказано при условиях, отличных от ус
ловий предыдущей теоремы.
Т е о р е м а |
8. Пусть |
U — выпуклое множество банахова про |
странства В, |
имеющее |
внутренние точки (возможно U— B), и |
пусть выпуклый на U функционал J (и) ограничен сверху в окрест ности некоторой точки v0, являющейся внутренней точкой U. Тогда
J {и) имеет |
опорный функционал во |
всех |
внутренних точках мно |
|||
жества V. |
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Как и в предыдущей теореме, введем |
|||||
банахово пространство |
В \= Е \ Х В элементов х — (£, и) |
с нормой |
||||
IUIIb, = |i| +11«11в- В |
этом |
пространстве |
рассмотрим |
множество |
||
X = { x = i ( i , |
и) : u^.U, |
|
Очевидно, X — выпуклое множест |
|||
во в В\. Покажем, что X имеет внутреннюю точку. По условию |
||||||
/(«) ограничен в окрестности некоторой |
внутренней точки v0, по |
|||||
этому существуют такие постоянные А и |
5 > 0 , что J (и) ^.А для |
|||||
всех u^.U, |
||и— Оо11^б. Так как v0 внутренняя точка множества U> |
|||||
то можем |
считать, что шар ||и— ооН^'б целиком принадлежит U„ |
|||||
Покажем, что тогда точка |
х0= ('|0, &о), |
где |0=.4-|-6, |
является |
|||
внутренней для X. Для этого достаточно показать, что шар |
||||||
|
К =-{.r:||x — x0|B l< 6 } |
|
||||
принадлежит X. Пусть |
|
(£, и) ^ К , |
т. е. |
|
|
|
|
. II* — * 0lk = |
l i — iol + |
Ци— у01 К б- |
|
||
§ П |
|
Вспомогательные сведения |
|
|
|
243 |
|
Отсюда |
||и— ио11<'6, £о— & < !< ;£ о + б . Поэтому |
б= |
Л > / (« ) |
||||
для всех |
« из |
\\и— г>о11^б. Таким образом, |
если |
х = (£, |
ы)е/<С, то |
||
u ^ U , а |
|
т. е. х е ^ , |
Следовательно, |
/(с=К п хо— внутрен |
|||
няя точка X. |
|
|
|
|
|
_ |
|
Возьмем произвольную |
внутреннюю точку |
о е У . Точка |
х = |
||||
,=-(/(и), п) является граничной для X. В силу теоремы 5 суще- |
|||||||
ствует функционал с = (v0, |
lo) ФО, разделяющий |
множество |
X и |
||||
точку х : (с, х) ^ |
(с, х) или (с, х— х) = v o (£ —/ (о )) + |
(10, и— о) ^ 0 |
при |
||||
всех «е/7, £^ / (w ). Полученное неравенство совпадает с неравен ством (2.5.4) и дальнейшее доказательство такое же, как в теореме
2.5.6. А
Заметим, что принятое в теореме 8 требование ограниченности сверху J (и) в окрестности некоторой внутренней точки v0 равно сильно непрерывности /(«) в этой точке — это следует из теоремы
2.5.8.
Ряд других теорем, содержащих различные условия слабой полунепрерывное™ снизу функционалов, существования опорных функционалов, а также выражающих связи этих понятий с выпук лостью, гладкостью, ограниченностью функционалов см., например,
вработах [46, 73].
5.Как и в конечномерном случае, в теории выпуклого програм мирования в бесконечномерных пространствах важное место зани мает теорема Куна—Таккера. Здесь ограничимся следующим ва
риантом этой теоремы. |
_ |
Т е о р е м а 9. Пусть' U— {и : w e [Л, |
g i(u )^ .0, i = 1, 2, ..., s}, |
где Ui — заданное выпуклое множество |
из банахова пространства |
В, функционалы gi(u), i = |
1, 2, ..., s, определены и выпуклы на t/j. |
|
Пусть |
множество Ui удовлетворяет следующему условию регуляр |
|
ности: |
для любого вектора |
l ^ E s, 1Ф 0 существует элемент n e t/ ь |
такой, что (/, g '(u ))< 0 , где g = (gu ..., g-s). Тогда, для того чтобы выпуклый на Ui функционал J (и) достигал в точке u *et/ i своего минимума на U, необходимо и достаточно существования точки
Я* = (Xi, . . . , Я5) 6 E s, Я > 0, такой, что пара |
(ы*, |
Я*) образует сед |
||||
ловую |
точку |
функционала Ь(и, |
Я) ==/(ы)-}-(Я,' |
g(u)) |
в области |
|
UiXAi, |
Ai = |
{Я : Я е £ 8, Я ^ О } в |
следующем |
смысле: |
Ь (и *, Я) ^ |
|
^ L ( u * , |
Я *)^ 1L(u, Я*> при всех w et/ь Я еЛ ь |
|
|
|
||
Доказательство этой теоремы проводится дословно также, как и теоремы 2.10.2. Теорему Куна — Таккера в более общей форму лировке и различные ее приложения см., например,, в работах [73, 119, 135, 141, 199, 256] и др.
6. Наконец, остановимся на классе сильно выпуклых функцио налов в гильбертовых пространствах.
О п р е д е л е н и е 14. Функционал J (и), определенный на вы
244 |
МЕТОДЫ М И Н И М И З А Ц И И В ФУНКЦ И ОНАЛЬНЫ Х ПРОСТРАНСТВАХ [ Г л . 5 |
|
пуклом множестве U гильбертова пространства, называется сильна |
||
выпуклым, |
если существует такая постоянная х > 0 , что |
|
J |
(аи + |
(1 — а) и) -< a J (и) + (1 — а)J(v ) — иа (1 — а) |и ■— v |2 |
при всех и, v ^ U н всех а, 0 ^ а ^ 1 .
Очевидно, сильно выпуклый функционал J (и) будет выпуклым: и даже строго выпуклым. Примером сильно выпуклого функцио нала является J (и) = ||«||2 с х = 1.
Нетрудно убедиться, что теоремы 2.1.4— 6 и их доказательства остаются справедливыми и в Я-пространствах, нужно лишь в фор мулировках и доказательствах этих теорем слово «|функция» заме нить на «функционал», Ет на Я.
Т е о р е м а |
10. Пусть U — |
замкнутое |
выпуклое |
множество |
|||
гильбертова пространства |
Я |
(в |
частности, |
возможно |
Я = Я ) , а |
||
/ ( « ) — сильно |
выпуклый |
непрерывный функционал |
на |
И. Тогда: |
|||
1) J (и) ограничен снизу на |
U: |
inf J(u) = J * > — оо; |
2) |
существу- |
|||
|
|
|
U E .U |
|
|
|
|
ет и притом единственная точка u*^ U , в которой достигается ниж
няя грань J (и) на U: |
/ (« * )= / * ; |
3) множество |
M(v) — { u :u ^ U , |
J ( u ) ^ . J ( v ) } выпукло, |
замкнуто |
и ограничено |
при любом u g U. |
Эта теорема доказывается точно так же, как и теорема 2.1.7, однако вместо классической теоремы Вейерштрасса здесь следует использовать теорему 4. Заметим, что в теореме 10 в отличие от теорем 1,4 ограниченность множества U не требуется.
При изложении-методов минимизации, как и в конечномерном случае, нам понадобится понятие проекции элемента на мно жество.
О п р е д е л е н и е 15. Проекцией точки и на множество U в Д-пространстве называется точка P u (u )^ U , удовлетворяющая ус
ловию ||«—Ри(и)\\ — р(и, |
U), |
где р (и, 0) = inf ||«— п||— расстояние |
от точки и до множества |
U. |
V C .U |
|
||
Очевидно, если ие1/, то |
Рц\(и)— и. Теорема 2.3Л и ее дока |
|
зательство без изменений сохраняют силу в гильбертовых простран ствах.
Упражнения. 1. Сохраняют ли силу утверждения, высказанные в упражнениях 2.1.1 — 13, 2.5.1— 6, в Я-пространствах? В-простран- ствах?
2. Доказать, что множество U = { u — u ( t ) ^ L 2[0, 1], | ii(f)| ^ l, не имеет внутренних точек в L2[0, 1]. Будет ли U компакт
ным в Z.2[0, 1]? Слабо компактным?
3. Пусть a {t), p ( f ) — некоторые функции из L2[0, 1], a ( t ) ^ sS^P (t), 0 ^ < 1 . Доказать, что U = {u = u (t) e L 2[0, 1], a{t) ^ u (t) <C =^p(f), O^fssCl} слабо компактно в L2[0, 1]. Будет ли U компакт ным в L2[0, 1]? Имеет ли U внутренние точки в L2 [0, 1]? В С[0, 1]?
§ П |
|
|
|
Вспомогательные |
сведения |
|
|
|
245 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Пусть J (и) = |
| /(ы(0) dt, где /(«)— непрерывная функция на |
|||||||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
но может быть раз |
|||
Ei. а) Доказать, что J (и) непрерывен в С[0, 1], |
||||||||||||
рывным в Ь2[0, 1]; |
б) |
Доказать, |
что |
если |
|/(«+/г)—f(u) |^ |
|||||||
^С(|гг| |/i| + |
|A|2) |
при всех и, h ^ E i (С = const ^ 0 ) , |
то |
J (и) не |
||||||||
прерывен в L2[О, II]. |
в) Если /(«) полунепрерывна снизу, |
то будет |
||||||||||
ли /(и) полунепрерывным |
снизу |
в |
С[0, |
1]? 1 2[0, |
1]? |
г) Доказать,, |
||||||
что если f ( u ) ^ C l (Ei) |
и /'(«) удовлетворяет условию Липшица на. |
|||||||||||
Е и то /(«), дифференцируемый функционал в L2[0, |
1]. д) Дока |
|||||||||||
зать, что если f(u) |
выпукла [сильно выпукла] в Ей то J (и) выпук |
|||||||||||
лый |
[сильно |
выпуклый] |
в L2[0, |
1]. |
Следует ли |
из выпуклости |
||||||
[сильной выпуклости] J (и) |
выпуклость [сильная выпуклость] f(u)> |
|||||||||||
е) Доказать, что если /(«) |
выпукла и удовлетворяет условию п. б),, |
|||||||||||
то J (и) достигает своей нижней грани на множестве U из упраж |
||||||||||||
нения |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и2, |
и11, ...) |
5. В пространстве /2 последовательностей и— (и1, |
||||||||||||
.с нормой ||u||=^2lM'l2j ,/* < ° 0 рассмотреть множество U— { u : u e l 2>.
\ип \< |
— , п = \ , |
2, |
...} |
(«гильбертов |
кирпич» |
[88], |
стр. 490). До |
||||||
казать, |
га |
|
|
|
замкнуто, |
ограничено и компактно в /2; |
|||||||
что 1) U выпукло, |
|||||||||||||
2) |
U не имеет внутренних точек в /2; |
3) не существует функциона |
|||||||||||
ла, |
разделяющего U и точку и = ( и \ |
..., ип, ...) , |
\ип |<С-^-, п = 1,2,... |
||||||||||
|
6. |
Доказать, |
что |
в точке |
и = ( и \ ..., ип, |
...), |
для |
которой |
|||||
I ып I = |
—- хотя бы при одном |
|
1, можно провести опорный функ- |
||||||||||
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ционал ко множеству U из упражнения 5. |
|
|
|
||||||||||
|
7. |
Пусть Р — линейное нормированное пространство всех мно |
|||||||||||
гочленов на отрезке [0, |
1] с нормой |
|
|
|
|
||||||||
и (t) |= |
max |и (t) |
|
|
|
|
|
П |
|
П |
|
|||
Положим |
|
^ (w) — £ ] 1 а;1 для и (t) — ^ |
aLtJ 6 Р. |
||||||||||
|
|
|
o<t<\ |
|
|
|
|
|
|
£=0 |
|
1=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Показать, что J (и) — выпуклый функционал, однако не является |
|||||||||||||
непрерывным на Р. |
( У к а з а н и е. Рассмотреть последовательность |
||||||||||||
un (t)— tn— tn+x.) |
Будет ли J (и) полунепрерывным снизу на Р? |
||||||||||||
|
8. |
Доказать, что функционал /(гг) = ||гг|| |
дифференцируем в- |
||||||||||
LP[0, |
1] I(1 <Ср <С |
оо) |
всюду, |
кроме и = 0, и найти / '(«). |
Будет ли |
||||||||
J(u) |
дифференцируем в Li[0, |
1]? С[0, |
1]? |
|
|
|
|||||||
|
9. |
Доказать, |
|
что |
функционал |
/(и) = ||ц|| в |
Я-пространстве |
||||||
дифференцируем во всех точках и ф 0. Найти J'(u). |
|
|
|||||||||||
|
|
10. Пусть А — оператор из примера 1. Доказать, что если А — |
|||||||||||
положительный |
оператор |
(т. |
е. (Аи, и) ^ 0 |
при |
всех и ^ Н ), то |
||||||||
