Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf

функционал J (и) —

(Аи, и) — (Ь, и)

из примера 1 выпуклый, и

задачи минимизации J (и) на Н и решения уравнения А и = Ь экви­

валентны.

11. Пусть А — оператор из примера

1. Доказать, что если А —

сильно

положительный

оператор (т.

е.

(Аи, и)^у\\и\\2 при всех

л е Я ,

Y = c o n s t> 0 ), то

функционал

J

{и) — - i - (Аи, и) — (Ь, и) из

примера 1 сильно выпуклый и в Н достигает своей нижней грани

на единственном элементе ц*, являющемся единственным решением

уравнения Аи— Ь (это

обстоятельство лежит в основе метода Рит-

ца решения уравнений

А и = Ь ).

12.

Доказать, что

в рефлексивном ^-пространстве

||с||=

= т а х

(с, и) при всех

c e S * .

Ци|1<1

Пусть I ( и ) — выпуклый функционал на выпуклом

13.

откры­

ке У;

2) J ( и )

непрерывен в точке

у ; 3) J

( и )

ограничен

в окрест­

ности

точки

у ; 4) J (и) ограничен

сверху

в

окрестности

точки у

(см. [73]).

задан

конечный выпуклый функционал

/(«), то

в каждой точке

v ^ U

он имеет опорный функционал и,

следовательно, слабо полу­

непрерывен снизу. Доказать ([46], стр. 104— 107).

16.

Слабо полунепрерывный снизу функционал J{u ), удовлет­

воряющий условию ТТгтГ J (и) = -]-оо,

в рефлексивном S -прост-

ранстве достигает своей нижней грани-

([46], стр. 119). Доказать.

17.

Доказать, что /(а) = ||ы— «0И на любом выпуклом замкну­

том множестве U рефлексивного S -пространства

достигает своей

нижней грани (теорема существования

проекции «о на U или эле­

мента

наилучшего приближения к заданному элементу и0^ В ) .

18.

Пусть U — множество из S -пространства

с непустой внут­

ренностью, и пусть для некоторого функционала

c e S * известно,

что <(с, м ) = 0 при всех u^U . Доказать,

что тогда с = 0 .

S 2 называется линейное пространство S =

S i X S o упорядоченных

пар х — (х\, х2), у = ( у ь £/г) •••, где x ^ .y ^ B i

(j— 1, 2) с правилами

§ 2}

Некоторые методы

минимизации функционалов

247

ах 2). Доказать, что если

В\

и В 2 — банаховы

пространства, та

В = В \ Х В 2 также банахово с нормой ||x |= ||x iIIb , +1М1в3,

и сопря­

женное к В пространство В * представимо в виде В =

В\ х

В2.

20.

Теорема Мазура

гласит ([127], стр.

173):

если последо

тельность щ,

« 2 ...... «в,

в линейном нормированном

(в частности,

в

банаховом)

пространстве В слабо сходится к элементу и, то для

всякого е > 0

найдется такая выпуклая комбинация

п

п

п

£

щщ ^сс; >

0, ^

ссг = 1) элементов {«,}, что ||и— ^ а ;П;||<8.

<=i

г=1

t= 1

ции J (и) на

U,

понимая

под этим следующие вопросы: 1) найти

J* = inf J

(и);

2)

указать последовательность {un} ^ U , для которой

U&U

J*,

или же,

если это

возможно,

найти точку

u *^ U ,

lim J(u n) =

—>00

такую, что / (« *)= / * .

Описание

наиболее

известных

и часто

применяемых

методов

пространствах.

1.

Градиентный

метод

(случай Я = Я ) .

Предполагается,

что

/ (и )е С ‘ (Я ).

Строится последовательность {ип}

по правилу ([3,

27,

35,

46,

47,

57,

59,

75,

82,

102,

111,

135,

147,

148,

155,

161,

164,

171,

193,

229, 244,

255]):

«п+1 =

un—a nJ'(un), числа

ап> 0 ,

п = 0,

1, ...

(1)

Если ]'{ип) Ф 0,

то можно

подобрать

а „ > 0 ,

что / (« „ + ])< / (« „ ).

Это следует из (1.1). Если

при

каком-либо

п ^ О

J'(un) — 0, то

нужно провести дополнительное исследование поведения J (и) в ок­

рестности

ип для

выяснения

того, будет ли

и„

точкой минимума

J (и)

на Я .

В частности,

если J (и)

выпуклый функционал,

то необ­

П , л = 1 - 2 ,

где D = sup

|и — у |— диаметр множества М(и0).

u,v£M(ua)

Если / («),

кроме того, сильно выпуклый функционал на Я , то-

ранства Я ,

причем

0 < / ( и п)

J

[J (ио)

J ]уп> II ип

и ||2

< — [J Ы —

=

где <7 = 1 —

0 < < 7 <

1, а р ]> 0

константа

из теоремы 2.1 .4 -

Доказательство этой теоремы полностью

аналогично доказа­

тельству теоремы 2.2.1.

В

частности,

вывод (2.2.5— 6 ) остается та­

оценки (2 .2 .6 ) здесь нужно использовать выпуклость,

замкнутость,

и ограниченность множества M(uo) и сослаться на

теорему 1.4.

довательности {tin} следует из слабой компактности М (и0)

(см.

теорему 1.2). Пусть Unk~+v* слабо в Я .

Тогда равенство J ( v * ) = J *

вытекает из слабой полунепрерывности J (и)

(см.

теорему

1.3) и

соотношений

J* =

lim J (ип) =

lim J (ип ) > J

(о*)

J*.

Все

осталь-

П -> оо

k -* o o

полностью

со­

ные рассуждения из доказательства теоремы 2 .2 .1

храняют силу и здесь.

параметр а п

Сходимость градиентного

метода,

когда

из

(1)

выбирается согласно п. б), следует из теоремы 2

при Я = Я

(см.

ниже).

(случай 1]ф Н ).

2 . Метод проекции градиента

Предполагает­

ся,

что /(м )еС *(£/).

Строится последовательность

{ип} по прави­

лу

([9,

10,

31,

35,

75,

97,

124,

135,

155,

158,

159,

171,

179,

189,

193,

244, 255, 267])

*

ип+ 1 =

Ри (ип— a nJ' («„)), числа а п>

0,

п =

О,

1, . . . ,

(2>

тирования точки

ип— otnJ'(Un) на множество U.

а п в (2):

Перечислим

некоторые способы выбора параметра

а)

если

||/'(«)— J'{v) ||^L||u— v\\ при всех и, v<=U, L = con s

> 0 , то ссп может быть выбрано так.ж е, как в пункте 1

б);