Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf

§ 2]

Некоторые методы минимизации функционалов

255

4 =

inf J k (и) < J k (uk) < 4 -1- eA, uk e Ult

A = 1 ,2 .........

(8)

u £ U l

где Efc>0,

eft-^-0 при / е - > о о .

g(u) определены

Т е о р е м а 4. Пусть функционалы /(«),

и

inf J(u)^> — оо.

Пусть

штрафной

функционал

для

ограничения

Jt£UI

имеет вид Рл(и) =

Qk(g(u) ), причем:

1)

для каж ­

g ( u ) ^ 0 на U1

дого k

функция

Qft(g) одной переменной непрерывна

и неотрица­

тельна при всех g\ 2)

Qh(g) > 0 при g > 0 , монотонно возрастает

но g и limQft (g) — +

о о

при g > 0;

3)

если же g < 0 ,

то Qk(g)-+ 0

ft->00

при / г - v o o равномерно по

Тогда для последовательности {«&}, полученной

из

условий

•(8),

имеет место

limg'(uft) < 0 ,

k-*o°

lim J (uk) <

J* = inf J

(u).

I t - * оо

ц £ С /

Если, кроме того, В рефлексивно, U\ — выпуклое замкнутое

множество, g(u), J (и) — выпуклые функционалы на Ui

и множе­

ство

С/б={и: u ^ U 1, g ( u ) ^ . 6} ограничено при некотором б = бо>0,

то

lim J (uk) =

J*

и любая

слабая

предельная точка

и*

последо-

ft-»!»

U и / (« *)= / *,

вательности {uft}

будет

принадлежать

а

в

случае

единственности точки минимума {uk}-*-u* при k-+oo слабо в В.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть {ит}— какая-либо последовательность,

минимизирующая J {и) на U,

т. е. vm£ U

и J (vm)

Г (гп

оо). Возь­

мем произвольное е > 0 .

Тогда существуют числа m0, ka >

0,

такие,

что

J (vm) < J* +

е,

е/; <

е,

Qk (g (vm)) <

е

при всех

tn > m0,

k >

£0.

Из неравенств (8) тогда следует

Т (uk) <

//г («*) < 4

+

<

4

(vm) +

+ е = J

(и,п) + Qk (g(Vm)) + e -</* - f 3s.

Отсюда в силу

произвольно­

сти

e >

О имеем lim J

(uk) <

Г ,

Далее,

Qk (g (uk)) =

У* (uk) — J (Uft) <

k~*OQ

-< J* +

3e — inf J (u) <

-j- оо

при всех k

> &0. Это

возможно

только

при lim

g (uk)

0,

ибо в противном

случае существовала бы подпо- •

•следовательность

{«*„},

для

которой

limg'(uft) = a > -0

и

0 <

Л - » о о

п

258 МЕТОДЫ М И Н И М И З А Ц И И

В ФУНКЦ И ОНАЛ ЬНЫ Х

ПРОСТРАНСТВАХ [Гл. О

а/1

др

I L

дх*

J L

диг

дх

df*

ди

df*

дхп

диг

•а/°

’1 ••• У

др_\

3/° _ fdfo_

. dxi

дх* )'

ди

дФ

( 5Ф

<••• >

5Ф \

-

дхп )

’

дх

V дх1

’

Т е о р е м а 1.

Пусть функции f°, f,

Ф непрерывны по совокуп­

по переменным х, и при

ы е £ г> tQ^,ts£ZT, и пусть выполне­

ны следующие условия Липшица:

\f(x + Ax, u + h, t) — f(x,

и, *)|e„ < А('|Л*|е„ + |А’|яг), (4)

ЗФ(* +

Д* 1__дФ(х)

|

< Ц А х \Епг

(5)

дх

дх

д}(х +

Ах,

u +

h,

t)

df{х, и,

t)

^<L(| A x| £n+

|Л(яг),

(6 )

I

дх

дх

|n

д/° (х +

Дх,

и +

h,

t)

д ? (х,

и,

t)

р

<L(\A x\En-+\h\Ery,

(7)

дх

дх

df(x +

Ах,

u +

h,

t)

df{x, и,

t)

ди

ди

д Р ( х + А х ,

u +

h,

t)

df°(x, и,

t)

< L ( |Ах |£ +

|А |я )

(9)

ди

ди

\ЕГ

*

г

в точке и = и (t)

представим в виде

J' (u) =

—

dH(x{t)f

t] , t0 < t < T ,

(1.0)

ди

где

Н(х, ф, и,

t):=

— f°(x, и, t) +

(ф, f(x, и, 0)е„ , ~

= '

•_ ( дН

дН X

(И )

§ 5]

Задача оптимального

управления

со свободным правым концом

259

x(t)s= x(t,

и) — решение

задачи (2 )

при u = u(t), а вектор-функция

ф(г) =

ф(£,

ы) = (тЫ 0 ..........

ф„(0 ) определяется из условий

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

u = u {t),

u + h = u (t) + h ( t ) ^ U ,

пусть x(t) ==x(t,u), x(t, u + h)z= x(t,

u )+ A x(t),

соответ­

ствующие этим управлениям решения задачи

(2),/(и)

и J (u + h ) —

Ах =

f{x(t) +

Ax,

u(t) +

h(t),

t) — f{x(t), -u(t), t),

(14)

*

t0 < t < T \

Ax(t0) =

0.

Так как

Ф (x +

Ax) — Ф (x) =

(

5 0 (* * 9A*} ,

A x ),

O < 0 < 1 ,

то из (1)

получаем

т

A J ( u )=

^ [/° (x +

Ax, u + h ,

t) — f°(x, u, t)]dt +

to

+ (

дФ{дх(Т))

Ax(T)^ + Rlt

(15)

где

5Ф (х (Г ) + еА х (Г ))

дФ (x (Г)) .

Ах (Г )),

дх

дх

|/?1 |<L|A x(7’)P .

(16)

С учетом соотношений (12) — (14)

имеем

( —

f / ) ) .

АхХТ)^ =

- ^ ( Т ) ,

Ах (7 )) =

- | - ^ - ( ф ( 0 ,

*0

Ах (t)) dt = — j (ф,

Ах) dt — ^'-(ф, Ах) di =

^ ?Н(х,

у, и, о;

_

*0

(о

f0

Т

/ (* +

Ах,

u +

h, t ) - f { x , и,

t))dt.