Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf

И?(*. « )1

=

дФ (х (Т , и))

i f f

д/° (х (т , и), и (г), т)

дх

+ J [

дх

— 1|з(т, и)

Гд/(х(т, и), и (т), х)

йт\

дх

Так как

непрерывные функции

дФ I

1 d f0 1

IIJ L

ограниче-

дх |*

1 дх Г

II дх

следует

IФ {t,

т

u)\dx.

ы )| < М (1

+ Т - д + М | | ф ( т ,

t

Полагая в (24),

(25)

<р(0 =

|ф(^, и)\, а = М ( \ + Т — t0) , b = M , полу­

чим вторую оценку (34). Наконец, полагая Дф (£)=ф (£,

u + h ) —

— ф(£, и)

из

(12),

(13) с

учетом

неравенств

(5)— (7)

и

ограни-

ченности

^

^•< М на G, будем иметь

дх

ф(0 = |Дф(0|,

a = C5 $\h(t)\dt, Ь = М . А

*0

4. Воспользуемся некоторыми формулами, полученными при

доказательстве теоремы

1, и дадим простое доказательство прин­

§ 3]

Задача оптимального управления со

свободным правым концом

267

Т е о р е м а 3. Пусть функции f°,

f, Ф непрерывны по совокуп­

по переменной х и удовлетворяют условиям

(4) — (7),

и пусть

множество V(t)

из (32)

не зависит от t : V(t) = V,

t0^ .t^ .T . Пусть

управление u ( t ) e U

и соответствующая траектория x ( t ) ^ x ( t , и),

t o ^ t ^ T , образуют

оптимальное

решение задачи

(1)»— (3),

(32).

Тогда

H (x{t);

ф(*),

u(t),

t) =

max H{x{t),

ф(*),

и,

f),

(36)

uSV

где H(x, ф, u, t ) = —f°(x, u,

t) +

(ty, f(x, u, t)), а ф(^) является ре­

шением задачи

(12)— (13).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Подставим в формулу

(17)

разложение

щ х + Ах, ф, u + h , t) — H (х, ф, u + h, t) +

+ ^дН(х + B bx.J. u + h ,

t) > Axy

o <

0 <

1.

Получим

T

ф (t),

AJ (u) =

— ^[H (x(t),

U(t) + h(t), t) —

to

—H{x(t),

ф(£), u(t), t)]dt + R,

(37)

где R = R i + R 2, R i в з я т о

и з

(16),

R2 определяется

формулой вида

(19). Справедлива оценка

|R |< L |Ах (Г) |2 +

(1 +

|ф||с)L J ( |Ах (t) |2 + |Ах (t) |\h{t)\)dt,

to

получаемая так же, как и оценка

(2 1 ). Используя

оценку.

(26),

имеем

т

t j ,

св =

LC\ + (1 +IIФlb) [с? (Г- g

+

l .

IR I< Сву |h it)Id

to

(38)

Доказательство

равенства

(36)

проведем в

предположении,,

что

u(t) — кусочно-непрерывна на [ д

Г] (для определенности можно

считать

и(*о) = и(*о +

0),

u ( t ) = u ( t — 0),

t0< t * £ T ) .

Пусть равенство (36) не имеет

места при некотором т е [ д

Г ].

Тогда существуют такие »e

F и

а = const> 0 , что

268

МЕТОДЫ

М И Н И М И З А Ц И И В Ф У НКЦ И О Н АЛ ЬН Ы Х ПРОСТРАНСТВАХ

[Гл. 6

Так

как u(t)

кусочно-непрерывна, a x(t), гр(^), Н(х, гр, и,

t) не­

прерывные функции своих аргументов, то

<.

'

и

х [ - а

+

Св||Л (012^ ] < 0 ,

что, однако, противоречит

оптимальности управления u = u (t).

Аналогично

доказывается

равенство

(36),

если

u = u ( t ) ^ L 2) [to, Г ],

u (< )eK ,

но

u(t)

необязательно

кусочно-непрерывно.

В этом

случае

условие

u (t)^ V

и равенство

J (и) =

J /° (X, и,

t)dt + Ф[(х (Т))

(39)

при условиях

x = A (f)x +

B (t)u + - f(t),

t0 < C t< T ,

x(t0) = x0,

(40)

u =

u ( t ) e U ^ L V [ t 0, Т],

(41)

где х =

(х1, . . .

, хп),

и =

(и1, . . . ,

ur), U — заданное множество

из

Vp\tо.

п

A (t), B(t) —

заданные

матрицы

порядка пХ п

и п Х г соответст­