Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf

§ 4]

Градиент функционала

дискретной

системы. Условия оптимальности

273

(0)

<у]= const) при

условиях

(40) дважды

дифференцируем

в

£|r)j[/0, Л - Доказать, что

если

а ,

Р, у > 0,

то

J (и) при условиях

(40)

выпуклый, а если же а >

0 ,

р, у > 0 ,

то

сильно выпуклый в

/ ( « ) = ] “[(a (t),

х) +

Ь (t, и)] dt +

(с,

л (Т))

t .

при условиях

x = A ( t ) x + B(t,

и),

t0 < t < T \

x(t0) = x0,

u(t)eu = {u = u(t)e Ыг) [t0, T]:u(t)ev

почти

всюду при to^ts^iT}, где V— заданное

множество из Е г,

A(i)

— матрица порядка пХ п с кусочно-непрерывными

элемен­

тами,

a(t) и B(t, и) — кусочно-непрерывные

/г-мерные

вектор-

ные векторы

из

моменты

t0,

Т заданы.

Доказать, что для

оптимальности пары (u(t), х(^))

необходимо и достаточно выпол­

нения условия

(ф(0 . B(t,

u(t))) — b(t, и (i)) =

max [(ф(^),

B (t, u)) — b(t, и)],

u£V

где

Ф = — A*(t)ty +

a(t), ф(Т) = — с.

1 (1“Л) =

£

F ° (*£.

“;) +

Ф М

( 1)

при условиях

£=0

xi+i = Fi(xh

щ),

£ =

0,

1,

. . . ,

N — 1;

х0 =

а,

(2)

[“;] = («о. •••.

u n -\) : Щ е Vh

i =

— 1,

(3)

где xt = {х\, . . . , х"),

щ =

(u\, . . .

,

u\), функции

=

( f } ........... F?),

F°, Ф. предполагаются

известными,

V£ — заданное

множество

из Er,

натуральное число

1 и начальная точка а заданы.

§ 4]

Градиент функционала дискретной системы.

Условия оптимальности

275

переменных.

При рассмотрении задачи

(1) — (3) в пространстве

Ь Г [ О, N]

будем иметь дело с N векторными переменными, и ме­

тоды § 2

здесь могут оказаться более удобными.

Выведем формулу градиента функционала (1) при условиях

(2),

(3) в пространстве

[О, N],

Т е о р е м а

1. Пусть

функции F°, F h

Ф непрерывны по

со­

ными по переменным

х,

и

при

меУц-,

i = 0, 1, ...,

N— 1.

Кроме того, пусть

|Д,(х + Дх, u + h) — F t (x,

и)1ял < £ (| Д *| £/!-НЛ|£г)

(4)

при всех х, х + Д х и всех и, u + h ^ V i,

i=.О,

1,

...,

N— 1.

Тогда функ­

ционал ( 1) при условиях

(2 ),

(3) непрерывен и дифференцируем

в норме Zir)[О, N], причем его градиент

1'{[щ ]) в точке [ щ ^ и

представим в виде

/'([Ц|])=

,-

/ =

0,

1 , . . .

,

Л ^ - 1 } б 4 г>[0,

N],

где

(б)

Ht (x,

ф, «) =

- * ? ( * ,

«) +

(Ф,

F t (x,

и)),

=

,

д£ L ) ,

(х0, х\,

..., xn)

(6)

[л:,-] =

—

дискретная

траектория

задачи (2 ),

соот­

ветствующая

выбранному управлению

а вектор-функция

[фг] — (Ф-ь Фо, .... фя- i)

определяется из условий

ф;- 1

dH i(xj,

% ,

щ)

i =

0 ,

1 ,

N - 1;

(7)

=

дх

Флг-

i =

дф (*jv>

------- ----- ■

дх

[u£] + ,[hi]^ U ,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть [м,-],

пусть

[х,] и

[Xi] + [Дх£] — соответствующие

этим

управлениям

дискретные

траектории задачи (2 ) }

а

/({«,-])

и

/ ([«ij+ l^ J) = / ( [ « J ) +А/ —

соответствующие значения функционала (1).

Из (2) следует, что

приращение [Дх£] удовлетворяет условиям

Дх£+1 = F t (х£ + Дхг,

щ +

ht) — F t (х£,

щ) (i =

0,.

1, . . .

, N —

1);

Так как

Дх0 =

0 .

(8 )

то из ( 1) получаем

N—1

А/ =

2

[ F U x i +

Axl, щ + ht) — F°i (xh

“£)I +

( ^

p

- ,

AxN) + R lt

-4= 0

где

О )

д

(

дф

+ Ш м)

дФ(%)

д

\

( 10)

\

дх

дх

'

У

С учетом соотношений (7),

(8 )

[имеем

(

дФ (Хш,) .

\

^

X N

( ------ ^

------. & X N J

= —

( %

_ ь & X N ) = —

^

[(Ф ;,

A ^ i+ l) —

i=0

N— \

—

( ф (_ 1 ,

AjCj)] =

— 2

(4*1.

F i (X l +

«£

+ Ю

—

P l ( * l , Щ ) ) +

£=0

N — I

+

S(

■ A *,).

i= 0

Подставляя

полученное выражение в

(9)

и

используя

функцию

ЛГ—1

А / = - £

Г # ;(л:; + Ал:,, ф„

Uj +

At) — Я £(*£, ф£( щ) —

г=о L

_ ( dHi(Xl' J h

Щ) ■■ Ajc() ]

+ /? i -

Из формулы конечных приращений следует

Я г (* £ + Д*£) ф£, u£ +

ht) =

Я, (х£>

ф£, ы£) +

_|_

^ dfff f a + 6 tA*b Фь иг +

бЛ )

Дд.^