Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 215
Скачиваний: 1
|
Задача оптимального управления со свободным правым |
концом |
26ST |
|
венно, |
f(t) — известная вектор-функция; моменты t0, |
Т и началь |
||
ная точка Хо заданы. |
|
|
||
Т е о р е м а |
4. Пусть f°(x, и, t), Ф (х) определены при х е £ п, |
|||
и ^ Е г, |
Т], |
непрерывны по совокупности своих |
аргументов |
|
вместе с частными производными по переменным х и и, и выпол нены условия Липшица (5), (7), (9); пусть компоненты матриц A(t), B(t) и вектор-функции /(.*) кусочно-непрерывны на [£0, Т]. Тогда функционал (39) при условиях (40) непрерывно дифферен
цируем в L p [ t 0, Т], |
и его градиент /'(«) |
в точке |
|
|
|||||||
|
|
|
u = u ( t ) £ L 2{ |
[t0, Т] |
|
|
|||||
вычисляется по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
J ' ( u ) = |
^ °(*(0 . |
и(Ц, |
t)----- t0 < t < T , |
|
(42) |
|||||
|
|
|
|
ди |
|
|
|
|
|
|
|
где x(t) = |
x(t, и) |
решение задачи |
(40) при u = u(t), ф(г!) = |
ф(г!, и)— |
|||||||
решение задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ц = |
u(i)> |
----- АГт , |
t0 < t < T , |
$ ( T ) = - - |
дф(* (Т)) - . |
||||||
|
дх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(43) |
матрицы |
A *(t), |
B*(t) |
получены |
транспонированием |
матриц |
||||||
A(t), B (t). Кроме того, |
градиент |
Г {и) |
удовлетворяет |
условию |
|||||||
Липшица на Lir)[t0, Т]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Справедливость формулы (42) |
устанав |
|||||||||
ливается |
дословным |
повторением |
доказательства |
теоремы 1. |
|||||||
Далее, из формулы (42) по аналогии с (33) здесь получим |
|||||||||||
\J' (u + h) - |
J' (и) Ц г) < |
{4U J |
( |Дх ( 0 12 +| h (t) Р) di + |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
to |
|
|
|
|
|
|
+ |
2su p rl|5*(0IP ||Аф(0 |
Р ^ } 7'. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
to |
|
|
|
|
Отсюда видно, что |
для |
|
доказательства |
выполнимости |
условия |
||||||
Липшица для градиента /'(и) достаточно получить оценки (26), (35). Оценка (26) для |Дх(£)|, очевидно, справедлива и здесь, причем в качестве константы Сь как нетрудно проверить, можно
взять Ci = Дша^ехр (Лт ах (Т— /0)), |
где |
|
|
Апах ” sup |
IIA (t) II, |
Bmax = |
sup IIВ (t) ||. |
(0« < Г |
|
|
/0 |
Далее, для Дф(/)==i|)(£, |
u + h ) — ф(£, и) |
из (43) с учетом условия |
|
(7) будем иметь |
|
|
|
2 7 0 МЕТОДЫ М И Н И М И З А Ц И И В Ф У НКЦ И О НАЛ ЬНЫ Х ПРОСТРАНСТВАХ [Гл. 6
I Аф (*)1 < л тахj I Дф (Т) I dx + L I Ах (Т) I +. L | ( I Ах (t) \+ \h(t)\)dt.
. t |
w |
Используя оценку (26) и лемму |
1, приходим к оценке (35). А |
При необходимости нетрудно выписать явное выражение кон |
|
станты Липшица для градиента |
через величины Лшах, .Вшах, L, |
Т— 10; предоставляем сделать это читателю. Напоминаем, что зна ние константы Липшица для /'(и) может оказаться полезным при использовании некоторых методов минимизации.
Укажем достаточные условия выпуклости и сильной выпуклос
ти функционала (39) при условиях |
(40). |
|
|
||
Т е о р е м а |
5. |
Пусть выполнены все условия теоремы 4. |
Пусть |
||
функция Ф (х) |
выпукла по х на Е п, |
а /°(х, и, t) |
выпукла по сово |
||
купности переменных (х, и), т. е. |
|
|
|
||
/° (ах + (1 — а) у, |
аи + (1 — а) v, t) < а/°(х, и, |
t) + (1 — а) f° (у, v, t) |
|||
|
|
|
|
: .. ... |
(44) |
при любых а, Os^cts^l, х, у е Е п, и, у е £ ,. и t ^ [ t 0, Г ]. Тогда функ ционал (39) при условиях (40) является выпуклым и достигает своей нижней грани на всяком выпуклом замкнутом ограниченном
множестве U из Lir)[t0, |
Т], причем для оптимальности u = u *(t ) е |
|||
в задаче |
(39) — (41) |
необходимо |
и достаточно выполнения |
|
неравенства |
|
|
|
|
. |
“*«)■<> |
- |
1 Г (0 ф(г, и*), |
u ( t ) - u ' ( t ) y rd t > 0 , |
*0 |
|
|
u(t)eu. |
(45) |
|
|
|
||
Если u*(t) — внутренняя точка множества U, то условие (45) равно сильно условию
J' (иГ) s= |
ди |
|
-------u*) = 0, |
t0 < C t< T . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
(46) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если же вместо (44) |
имеет место неравенство |
|
|
|
||||
|
/°(ах + (1 — а ) у, |
а и + ( \— a ) v , |
*)< a / °(x , |
и,./) + |
|
|||
|
+ (1 — а)!°(у, |
v, |
t) — а ( 1 — a)x|u — о|2, |
%— const> 0 |
(47) |
|||
при всех a, O ^ a ^ l , |
х, |
у ^ Е г, и, v ^ E r, |
|
Г ], |
то функционал |
|||
(39) |
является сильно выпуклым на bir) [t0, Т], |
и |
задача |
(39) — |
||||
(41) |
имеет и притом единственное решение на любом замкнутом, |
|||||||
выпуклом множестве I) с : |
|70, Т]. |
|
|
|
|
|||
£ 3] |
Задача, оптимального |
управления |
со свободным |
правым концом |
271 |
||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Нетрудно проверить, |
что решения зада |
||||||||
чи (40) обладают свойством: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x(t, |
— a)v) = ax(t, и) + (1 |
— a)x(t, v) |
|
|
||||||
при |
любом |
а и любых u=u(t),v=v (t) £ W [ t 0,T\. Тогда выпуклость |
|||||||||
[сильная выпуклость] |
/(«) на L2r) [/0, Т] |
является простым след |
|||||||||
ствием выпуклости Ф (х) |
и условия (44) |
[условия (47)]. Сущест |
|||||||||
вование-оптимального |
управления |
ы =й*(7) |
в |
задаче |
(39) — (41) |
||||||
на всяком- |
выпуклом |
замкнутом |
ограниченном |
множестве |
U из |
||||||
L P |
[tQ, Т\ |
тогда следует из теоремы 1.4; |
условия |
(45), |
(46) |
выте |
|||||
кают .из теоремы 2.1.3 и формулы (42). Последнее утверждение вытекает из теоремы 2.1.7. ^
П рям ер 1. Пусть требуется минимизировать функционал
г
/(“) = т 1 ( * 2 + “а)Л
о
при условиях х = — ах + и, 0 •<£<^Т, x(0) = x0, u = |
u(t)(z Ьг[О, Г ], |
||||||||||
где а, х0, |
7’ > 0 |
— заданные числа. |
|
|
|
|
|
||||
Здесь |
Ф г=0 |
и /° = — |
(х2 + |
и2) |
удовлетворяет условию |
(47), |
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Т] |
|
|
|
поэтому /(а) сильно выпуклый |
и на |
L2 [О, |
достигает |
своего |
|||||||
минимума в единственной точке u = u* {t). Поскольку |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
н г — Y (х2 + и2) + ф (— ах + и) |
|
|
|||||
и задача |
(43) |
имеет вид ф = аф -Ь х, ф (Г) = 0 , |
то |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
J' {и) в — Ж - = — и (f) + ф (t). |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ди |
|
|
|
|
|
|
Условие |
(46) |
тогда приводит к оптимальному управлению u*(t) = |
|||||||||
S3 i|)(i£), 0гс;г^7\ Этот же результат был получен в |
примере 3.2.1 |
||||||||||
с помощью принципа максимума. |
|
|
|
|
|
||||||
Две-.интересные задачи вида |
(39) — (41) |
рассмотрим в следую |
|||||||||
щем .параграфе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Упражнения. 1. Пусть1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J (и) = J |
(Ф — axz) dx, где |
х = |
и (t) £ Lz [0 , |
1], |
х (0 ) = 0 ,, а = |
const, |
|||||
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При каких значениях параметра а функционал J (и) |
будет выпук |
||||||||||
лым? Сильно выпуклым в L2 [0, |
1]? |
Будет ли J (и) |
непрерывным |
||||||||
в L2 [0, 1]? |
Дифференцируем ли он в L2 [0, 1]? |
|
|
|
|||||||
272 |
МЕТОДЫ М И Н И М И З А Ц И И |
В Ф У НКЦ И О НАЛ ЬНЫ Х |
ПРОСТРАНСТВАХ |
[Гл. 6 |
||||||
|
2. Пусть: а) |
функции f°(x, |
и, t), |
f(x, |
и, t), Ф (х) непрерывны |
|||||
по |
(л:, и, |
t ) ^ E nx E rX[to, |
Г ]; б) f(x, |
и, t) |
удовлетворяет условию |
|||||
Липшица |
(4); |
в) |
\г(х, |
«+/г, |
t)—f°(x, |
и, |
t) |^C(|/i|2-j-|«||ft|), |
|||
C = const. Доказать, |
что тогда |
функционал |
(1) при условиях |
|||||||
(2) |
непрерывен в |
b P [ t 0, |
7 ]. |
|
|
|
|
|
||
|
3. Пусть: а) /°(х, и, t), Ф (х) |
непрерывны по совокупности сво |
||||||||
их аргументов при (х, и, |
t ) e E nx E rX^[to, |
Г ]; |
б) /°(х, и, t) выпук |
|||||||
ла по и. |
Доказать, |
что тогда функционал |
(39) при условиях |
(40), |
||||||
(41) достигает своего минимума на любом выпуклом замкнутом
ограниченном множестве U из |
L P [t0, Т]. |
У к а з а н и е . Показать, |
что J (и) слабо полунепрерывен |
снизу в L p [ t 0, Т].
4. Пусть выполнены все условия теоремы 5 (кроме, быть мо
жет, условия (47)), |
U —■выпуклое замкнутое ограниченное мно |
жество из L p [ t 0, Г], |
g(x, t) — непрерывна по (х, t ) ^ E nX [/о, Т] |
и выпукла по х. Если существует хотя бы одна траектория x(t, и),
удовлетворяющая условиям (40), |
(41), и такая, что g (x (t,u),t)z^L 0, |
||||||||
g (x (t), |
то |
задача |
(39) — (41) |
при |
дополнительном |
условии |
|||
0=S=0, |
|
имеет решение. Доказать. |
|
||||||
5. |
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д (х, и, |
t) = |
(х, 0 |
+ £ / а /(*, |
t)ul(i = 0 , 1 ,...,«), |
||||
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
где Я , |
/г/ непрерывны |
по [(х, |
t ) e E n x [ t 0, Т ], |
|/‘(х, 0 1 < Л М + |
|||||
+ As, |/г/(х, ЯI < |
Мг = const > 0 ) . Доказать, |
что тогда |
функцио |
||||||
нал ( 1) |
при условиях (2 ) достигает своей нижней грани на любом |
||||||||
выпуклом замкнутом ограниченном множестве U |
из L p [ t 0, |
Т]. |
|||||||
У к а з а н и е . |
Доказать слабую непрерывность J (и) в Ь р [70, Т\. |
||||||||
6 . |
Пусть выполнены все условия теоремы 5 (кроме, быть м |
||||||||
жет, условия |
(47)), и пусть |
|
|
|
|
|
|||
|
|
U = { u = u ( t ) e L p [ t 0, T ] :u ( t ) e V |
|
||||||
почти всюду |
при t o ^ t ^ T } , |
где |
V — выпуклое множество из Е т. |
||||||
Доказать, что тогда принцип максимума (36) является необходи мым и достаточным условием оптимальности в задаче (39) — (41).
У к а з а н и е . Доказать выпуклость функции —Н (х, ф, и, t) |
по и |
|
и воспользоваться неравенством |
(45). |
|
£-1 7. Пусть заданы у (t) £ b P [t0, |
Т] и точка у 6 Е п. Доказать, |
что |
функционал |
|
|
тт
J(u) = a J|«(*;|»df + р.||х(*, и) — y(t)\2dt + у|х(Т, и) — у |2
*0
