Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf

Т е о р е м а 2. Пусть

выполнены

все

условия теоремы 1 и

пусть функции

'дФ

d fj

dF°t

щ

дх ’

дх ’

дх ’

ди ’

ди

удовлетворяют условию Липшица по совокупности (х,

u ) ^ E nx V i 7

i = 0 , 1,

N— 1,

с константой L >

0

(эти условия полностью анало­

гичны условиям

(3.5— 9), и поэтому подробно выписывать их здесь

не будем). Пусть, кроме того,

\Fl (x, ы ) | < Л + 4 М >

Л . Л = const> 0

(19)

при всех х ^ Е п, u<=V\-,

и множества

Vi, i —0,

1, ..., N— 1,

из

(3)

замкнуты и ограничены в Ет. Тогда

градиент

функционала

(1)

при ограничениях (2), (3) удовлетворяет условию Липшица.

Доказательство этой теоремы полностью аналогично

доказа­

тельству

теоремы 3.2;

предлагаем

читателю

провести

его

само­

стоятельно.

3.

Перейдем

к выводу необходимых

условий

оптимальнос

для задачи ( 1 ) — (3).

Т е о р е м а

3. Пусть выполнены все условия теоремы

1.

Пусть

[ui] — оптимальное управление,

[xj]

— соответствующая

ему тра­

ектория системы (2 ),

т. е. I ([«*]) =

inf / ([«<]),

где нижняя грань

берется по всем

[и*]

из условий

(2) , (3). Пусть

[фг]

—

решение

dHi (**, ф*. к*)

N — 1

(20)

Щ — Ui < 0 , i = 0 , 1 ,

; ди

при всех «г^Уг, для которых’« { ] + а («4 — «’) € F f

при любых

а,

0:£3а;?:1, причем если

ut

* —i внутренняя точка множества

Vu то

dHi X**. Ф* ■“*)

(21)

ди

функции Н[(х, ф, и) определяются равенствами (6 ).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим в формуле (11) xt ='х1, ф, = ф^

= и}; получим

д /

N—1

дНш(х*п , ф; , ит)

( )

— 2

ди

К + °№ ]ID -

22

Очевидно, при таком выборе

[Лт ]

управление [uj*] +

и

тогда в силу оптимальности

[ы*г] из

(2 2 )

получим

„

( dHi(x\, ob!, и,)

, a(u( -

, \

+о(а||[Л/]||),

0 < а < , 1 .

0 <

А/ = — ^------ - - - - -

Ul)J

при а-»-+0, сразу придем

к неравенству (20). Если

щ — внут­

ренняя точка Уъ тй в (2 0 )

можно положить

dHjjx* , tp*, и\)

Щ = Щ + 8

д и

•eV,- при некотором е > 0 ,

что сразу приведет к равенству (2 1 ). Д

Если Vi — выпуклое множество, то условие (20),

очевидно,

выполнено для любого u ^ V i.

Если Vi выпуклы при всех t = 0, 1,‘ ...

..., N— 1, то неравенства (20)

в силу формулы (5) равносильны

Таким образом, согласно теореме 3

оптимальным может быть

.лишь управление

[и*] 6 U,

удовлетворяющее

условиям

(20).

Од-

«ако условия (2 0 ) не дают ответа на вопрос,

как связано управле­

ние [щ] с

экстремальными

точками

функции Ht (x),

ф*, и)

на

множестве

V*. В

частности,

нельзя ли по аналогии с

системами

{х\, % , и]) = шах Ht (х\, ф,, и), i = 0, 1, . . . , N — 1?

(23)

условиями

(2 0 ), так

как неравенства

(2 0 )

могут

выполняться не

только в тех точках,

где имеет место

(23),

но и в

других точках,

© которых,

например,

дЩ {х\, ф ,. и;)

К сожалению, оказы-

-----------------------= 0 .