Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 207
Скачиваний: 1
310 |
МЕТОДЫ Р Е Ш ЕН И Я ЗАДАЧ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ |
[Гл. 7 |
||
|
* (т, и0) Ф (тЛ ) Х0 + |
j ф (т, S) [5 (s) «0(s) + |
f (s)] ds, |
|
|
у (x, и — и0) S S J Ф (т, s) В (s) [и (s) — и0 (s)] ds, |
t0 < т < |
t, |
|
|
*0 |
|
|
|
где матрица Ф ( т ,s) определяется из условий |
|
|
||
|
d<D? - s) ■= |
Л (т)Ф (т, s), Ф (s, s) = |
Е, |
|
|
ах |
|
|
|
Е — |
единичная матрица, s, |
%^<t0. Однако матрица Ф(т, |
s) лишь |
|
в редких случаях может быть найдена в явном виде, и поэтому указанными представлениями для х(т, «о) и у {т, и— Ыо) не будем пользоваться — здесь нам важен сам факт существования пред ставления (5).
2.Справедлива оценка
|
|
sup |х(т, |
и)\ < С ,(ы ), |
(6) |
||
|
|
(<,<ъ |
|
|
|
|
|
Ci(u) = [|*0 |+ |
|
I |
|
|
|
|
sup 1В(х) II f|u(T)|dr + |
|
||||
|
|
t |
|
|
|
|
которая |
легко |
получается |
из |
выражения (3) с помощью |
||
леммы |
6.3.1. В |
частности, для у(х, и— и0) |
из представления |
(5) |
||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
sup |
\у(х, и — u0) \ < K t ( \\и(т) — u0(x)\*dxXu , |
(7) |
|||
|
|
|
|
у |
' |
|
где |
K t = su p |В (т) |(t — t0)l/‘ •e x p { sup |
|А (т) |(t — 10)} |
|
|||
|
|
|||||
не зависит от и, и06 Ut.
3.Справедлива оценка
SUp |X (T j, и) — х (та, и) |< |хг — т21‘/. Mt, |
(8) |
и eut |
|
где
Mt = \t — t0|V. sup |A (t) |.sup Ct (u) -f
§ п |
Постановка задачи |
311 |
|
|
|
|
+ sup |В (т) |sup |ы |
<^оо. |
|
ueut llc.^t'o.0 + II/II,L 2(Г) |
[/«.<] |
Для получения этой оценки достаточно |
выразить разность |
|
х (п , а ) —х(т2, и) с помощью (3) и затем воспользоваться нера
венством Коши — Буняковского, оценкой |
(6) |
и ограниченностью |
|||||||
u t В Lir) [t0, q . |
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
|
Если uk {x)dU t, k = |
1, 2, . . . , и uk (x) слабо в |
Lir)[t0, /| с |
|||||
дится к |
и — u{x)<cUt, то |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
sup |
\x{x,uk) — х (т, и) |-у 0 |
(& ->оо). |
(9) |
|||
В самом деле, из оценок (6), |
|
(8) следует равномерная ограничен |
|||||||
ность |
и |
равностепенная |
непрерывность |
|
семейства |
функций |
|||
{л:(тг, Uh)} |
на |
k = \ , |
2, ... По теореме Арцела [137] тогда |
||||||
существует последовательность |
{х (т, ukn)}, |
сходящаяся |
равномер |
||||||
но на [/о, |
/] |
к непрерывной |
функции х (т ). |
Переходя |
к пределу |
||||
при п->-°о в тождестве |
|
|
|
|
|
||||
х ( х ,Ukn) = |
f [A (s)x(s, Ukn) + B ( s ) u kn(s) + f(s ) ]d s + x0, г?0 < т < ^ , |
||||||||
|
|
|
t. |
|
|
|
|
|
|
придем к тождеству |
(3), т. е. х ( х ) —х(х, и) |
— |
решение задачи (1) |
||||||
при и = и (х). |
В силу |
единственности решения |
задачи (1) получа |
||||||
ем, что вся |
последовательность {х(т, uh)} сходится к х(х, и) рав |
||||
номерно на |
[/о, |
• |
перечисленные свойства множеств |
управ |
|
2. |
|
Оказывается, |
|||
ний и траекторий задачи |
(1) — (4) в том или ином виде присущи |
||||
многим |
другим |
важнейшим классам задач быстродействия, |
свя |
||
занным с линейными уравнениями с частными производными, интегро-дифференциальными уравнениями и др. Такие задачи мо-. гут быть истолкованы как задачи быстродействия в подходящим образом выбранных функциональных пространствах и допускают изучение с общей точки зрения, отвлекаясь от природы управляе мого объекта. Здесь мы предложим одну модель задачи быстро действия, охватывающую ряд важных прикладных задач быстро действия; более общие модели с учетом фазовых ограничений рас смотрены в работах [50, 53, 121, 122].
Пусть t — время, to — некоторое заданное начало отсчета
времени t ^ t 0. Пусть при-каждом t, t0< i < + оо, |
задано множество |
||
lit функций и = и(х), определенных при |
и |
являющихся |
|
элементами некоторого банахова |
пространства |
В и |
причем сами |
значения и(х) при каждом т е [^ 0, |
^] принадлежат некоторому ли |
||
нейному пространству. Множества Ut будем называть множества-,
ми управлений, элемент и=и(х) из Ut — управлением. Будем
312 |
МЕТОДЫ РЕШ ЕНИ Я ЗАДАЧ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ |
[Гл. 7 |
предполагать, что множества |
Ut удовлетворяют следующим усло |
|||||||||||||||
виям I— III. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I. |
Множество Ut выпукло и слабо |
компактно |
в |
B t при |
каж |
|||||||||||
дом t, |
t0< t < |
+ oo. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II. |
Если |
u = u (x ) ^ U t, то |
управление |
и(т), |
рассмотренное на |
|||||||||||
отрезке |
|
при любом s, |
|
|
является элементом из Us, |
|||||||||||
т. е. «сужение» |
управления и{т) из Ut |
на |
отрезок |
[г?0, |
s ] s [ ^ 0, t] |
|||||||||||
является управлением из Us. |
|
|
|
|
|
|
|
t, |
t0< t < |
+ oo, |
||||||
III. Существует число Д >0, такое, |
что при всех |
|||||||||||||||
любое управление |
u (x )^ U t |
можно |
доопределить |
на |
отрезке |
|||||||||||
[i, £+Д] так, |
чтобы |
продолженное |
управление |
было |
элемен |
|||||||||||
том Ut+A. |
|
множество Ut из |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Очевидно, |
(2) |
удовлетворяет всем условиям |
||||||||||||||
I— III, |
а именно, здесь Bt = |
bir)[t0,t], |
всякое управление и(т ) е |
|||||||||||||
может быть продолжено при всех т>^, например, так: и(т) = |
||||||||||||||||
= {cti(x), ..., Ог(т)}, |
и в качестве Д |
можно взять |
любое положи |
|||||||||||||
тельное число. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Другим примером множества Ut со свойствами I— III является |
||||||||||||||||
шар в Zir) Ro. Л |
при любом конечном t > t 0: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
и 1= |
{и = и ( т ) е й г) [f0, /]:! и (х) |
|
(т) |
|
|
< R } , |
|
(Ю) |
|||||||
где и0(т) — заданная |
функция |
из |
Lir) [t0, tf], |
R > 0 |
— заданная |
|||||||||||
константа; всякое u(x)^ U t здесь |
может |
быть |
продолжено |
при |
||||||||||||
'x>t, например, |
так: и (х )= и о(х ). |
B t |
|
|
|
|
Ut |
|
|
|
||||||
Возможно, |
что |
пространства |
и |
множества |
не |
зависят |
||||||||||
от t. Такая ситуация возникает, когда управлением служат какиелибо параметры, которые в начале движения должны быть как-то
выбраны |
из некоторого множества |
£/;==!/ |
и в процессе движения |
|||||||||
остаются неизменными. Условия II, III здесь, очевидно, выполня |
||||||||||||
ются всегда. |
|
|
B t |
|
|
|
Ut |
|
|
|
|
|
Итак, пусть пространства |
и множества |
со свойствами |
||||||||||
I— III заданы |
при каждом t>.t0. Далее, |
пусть при каждом |
t, |
t0< |
||||||||
< t < + oo, задано линейное пространство L t функций х (т ), |
опреде |
|||||||||||
ленных |
при |
|
причем |
для |
каждого |
фиксированного |
||||||
т е [^ 0, t\ значение э!и х |
функций |
является |
элементом |
некоторого |
||||||||
гильбертова пространства X (пространство |
X не зависит от t, |
т). |
||||||||||
Пространство |
L t будем |
называть |
пространством |
траекторий, а |
||||||||
функции х(х) |
из L t — траекториями. |
|
из X, |
|
|
|
|
|||||
Пусть х0 — некоторая заданная точка |
и |
пусть |
при |
|||||||||
каждом |
t > t 0 любому управлению |
u el/ j и точке |
Хо |
поставлена |
||||||||
в соответствие некоторая траектория х ( х )= х ( х , |
u)^ .Lt, удовлетво |
|||||||||||
ряющая |
начальному условию |
x(tQ, и ) = х 0. |
Будем |
предполагать, |
||||||||
что выполнены следующие условия IV—V II. |
|
|
|
|
|
|
||||||
§ П |
|
Постановка |
задачи |
|
|
|
|
|
313 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
IV. Если и = и ( х ) ^ и и v = v (x )^ U s, причем |
u(x)z=v(x) |
при |
|||||||||||
/0< т < 'я = т т { ^ ■?}, |
то х(х, |
и )= х ( х , |
v) |
при /о^тг^а |
для любых |
||||||||
t, s > t 0- |
любого <t, t0< t < |
+ oo, |
|
существует управление и0 - |
|||||||||
V. Для |
|
||||||||||||
= u0(x )^ U u |
такое, |
что при |
всех u = u (x )^ U t. справедливо |
пред |
|||||||||
ставление |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х(х, и) = х{х, |
и0) + |
К{х) |
(« — и0), t0 < т < г 1, |
|
|
(11) |
||||||
где x(t0, и0) = х 0, К(х) — |
однопараметрическое |
семейство линей |
|||||||||||
ных операторов, действующих из Ux в Lx, t0<^x<Ct, причем |
|
||||||||||||
|
IIК (0 (и — w0)||x< K tIIи — и0\В( |
|
|
|
|
||||||||
для любого u^Ut, Kt> 0 — |
постоянная, |
не |
зависящая от u ^ U t |
||||||||||
(ср. с (5), (7)). Сразу же заметим, |
что нам будет важен сам факт |
||||||||||||
существования представления |
(11); |
при |
описании и исследовании |
||||||||||
алгоритмов оператор К(х) |
не будет использован. |
|
|
|
|
||||||||
VI. Если uh^ U t, k=.\, 2, |
..., и |
{uh} сходится к ue£/f слабо в |
|||||||||||
B t, то х(х, %)->-х(т, |
и) слабо |
в X |
при всех т<=|7о, |
и всех |
t > t 0 |
||||||||
(ср. с (9)). |
|
х(х, |
u ) ^ L t непрерывны |
по т е [То, <] |
равно |
||||||||
VII. Траектории |
|||||||||||||
мерно по u eU t, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sup |х (т + |
А х, и) —гх (х, и) |= |
( |Ах |, т ) ->• 0 |
при |
|
|
||||||||
u£Ut |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д т-»-0 ; т, т 4 - А т 6 [^о. *] |
|
|
|
|
|
||||||
(ср. с (8)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как видим, траектории системы (1) на |
множестве |
(2) |
или |
||||||||||
(10) удовлетворяют |
всем |
условиям |
IV—V II |
(и даже несколько |
|||||||||
более сильным условиям), если принять за L t линейное простран ство абсолютно-непрерывных функций на [То, *], Х = Е п. Это сле дует из соотношений (5), (7) — (9). Примеры других управляемых объектов со свойствами I—V II см. ниже в § 4.
Итак, пусть имеется управляемый объект (процесс) {х(т, и), u<=Ut, t > t 0} со свойствами I—V II. Пусть в пространстве X задана точка у. Задача быстродействия заключается в том,1чтобы найти
такие Т* и u* = u *(x )^ U T*, что х(Т*, и *)= у , причем для любых |
||
других Т и ие£/т, для которых х(Т, и ) = у |
справедливо неравенст |
|
во Т ^ Т * . Такие Т* и и*(т) £ U\t* |
будем |
называть оптимальным |
решением задачи быстродействия, |
Т* — оптимальным временем, |
|
и*{х) — оптимальным управлением, х(х, и*) — оптимальной тра
екторией. Прежде чем |
переходить |
к исследованию |
поставленной |
задачи быстродействия, |
сделаем |
|
|
З а м е ч-а н и е. В сформулированной задаче |
быстродействия |
||
начальное условие x(t0, |
и) = х 0 мы |
считализаданным. Однако |
|
11 Ф. П. Васильев
