Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf

данного множества

С Х . В таких задачах в качестве управле­

ния следует

взять_ пару

(«(т ),

х0) = и ( т),

вместо,

множества Ut взять(/, = Utx X t 0,

вместо

B t — пространство B t—

= B tx X . Если

множество

X to выпукло,

замкнуто

и ограничено

в X, a Ut удовлетворяет условиям

I— III,

то Ut также -будет удов­

летворять условиям

I— III

в 5(. В этом случае в условиях IV—V II

ми (1), где u — w = ( w i, ...,

wr) является параметром, выбираемым

из некоторого множества

WczET в

начале движения и в дальней­

шем не меняющийся. Показать, что если W — выпуклое замкнутое-

ограниченное множество из Ег, то

все условия I—V II для такого

управляемого объекта выполнены.

У к а з а н и е . Принять Ut= W ,

B t= E r, при всех t > t 0, Х = Е п —

ных траекторий х(х,

и), t o ^ x ^ t ,

когда и = и (х)

пробегает

все

множество

Ut, т.

е.

Xt= x { t , Ut),

t > t 0. При t — t0 естественно при­

нять

X fo =

{x0}

—

это множество в данном случае

состоит

из

одной начальной точки Хо.

Л е м м а

1.

Если выполнены условия I, V, VI, то множества

Xt выпукло, замкнуто, ограничено в

X и,

следовательно,

слабо

компактно в X.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Нетрудно видеть,

что из представления.

(1.11)

вытекает

тождество

х{х,

а м + (1 — а)г/)г=ах(т,

и) +

+ (1— ct)x(x,

v),

t ^ x s ^ t ,

справедливое при всех и, v ^ U t,

t > t 0, и.

любых вещественных а. Отсюда

и из выпуклости

Ut

следует вы­

пуклость Xt. Ограниченность множества Xt является

следствием-

ограниченности Ut и свойства V:

И * , и)1* "<11л:(^> «о) Их -j- Kt\\u — и0\\в{ <||х (t, «0)||х + KtD,

где

'

D =

sup ||и— о||в, — диаметр множества Ut.

u , v £ Ut

1

§ 2]

Критерии управляемости и оптимальности

315

которому u e.U t. Однако по условию VI xhn = x(t, uhn)-+x{t,

u )^ X t

слабо в X. Следовательно,

x(t, u ) = x ^ X t, что и требовалось. Сла­

бая компактность Xt следует из теоремы 6.1.2. ±

При изучении задачи

быстродействия большую роль

играет

функционал

М(с, t) = min (с, x — y)x = min (с, х (t, и) — у)х =

хе х(

иgut

= min (с, х)х — (с, у)х,

(1)

х

О п р е д е л е н и е

1. Описанный

выше управляемый

объект

{х(т, и), и ^ и и

t>ti>}

будем

называть (у, Т) -управляемым, если

существует управление

« = и (т )е 1 / г ,

такое,

что

соответствующая

траектория х(т,

и),

t o ^ r ^ T ,

удовлетворяет

условию

х(Т, и )= у ,

иЛи, иначе говоря,

у ^ Х т.

Т е о р е м а

1.

Пусть выполнены условия

I,

V, VI.. Тогда для

(у, Г)-управляемости объекта

{х(т, и), u ^ U u t>U>}

необходимо

и достаточно, чтобы М(с, Т)^.О при всех

с^ Х ,

или в эквивалент­

ной форме min (с, х) •< (с, у)

для любого

c e l .

Для

того

чтобы

хехт

М(с,

Г * ) ^ 0 при любом

с е Х и для любого

t,

сущест­

вовал

элемент с(е Х ,

такой, что M (ct,

t)> 0 .

Иначе говоря,

Т*

—

минимальное время

среди всех T > t0,

для

которых

объект

(у,

Т)-

управляем.

Т*

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Условия оптимальности

являются

прямым следствием условия (у, Г)-управляемости,

поэтому доста­

точно доказать первое утверждение теоремы.

Н е о б х о д и м о с т ь .

Пусть объект

(у,

Г)-управляем.

Тогда

У 6 Хт и М(с, Т) = min (с, х — у ) < ( с , у — у) =

О

"

х £ Х т

S 2]

Критерии

управляемости

и

оптимальности

317

Н е о б х о д и м о с т ь .

Если объект (у, Г)-управляем,

то соглас­

но теореме

1 М(с, Г) ^

0

при

любых

с ^ Х

и,

следовательно,

р (7 ) =

шах М{с, Т) < 0 .

Однако,

как

было

замечено

выше,

p ( t ) ^ 0

с £ в

при всех t ^ t о. Поэтому р(Г) = 0 .

М(с,

Т) ^ р ( Г )

Д о с т а т о ч н о с т ь .

Если

р (Т )= 0 ,

то

= 0

при

всех

c^ G .

В

силу соотношения (2)

тогда

М(с,

Т) ^ . 0

при

всех

с е Х

По теореме

1 этого достаточно для (у, Г)-управляемости. А

Таким

образом,

для

решения

задачи

быстродействия

надо

уметь находить наименьший нуль функции р (0

при t ^ t 0. С этой

целью

полезно

выяснить

некоторые

свойства

функции

р (t) = max min (с,

х — у),

дать

по

возможности

простые

способы

c6G x t X f

вычисления ее значений.

Т е о р е м а

3.

Пусть выполнены условия I,

V,

VI.

Тогда

зна­

чение функции р(^)

при любом t ^ t 0 выражает

собой

расстояние

от точки у до множества Xt и представимо в виде

р (t) =

inf \х — у\ =

1 х{ — у\ =

(cit xt — y) = M (ct, t),

(3)

х £ X t

где xt = Р х

(у) — проекция точки у

на множество

X t,

ct =

х*~

у

■

при

г/£

X , и с, = 0 при г/£ Xt.

II Xt —

//II

Если y £ X t,

то М(с,

t)

достигает своего максимума на

G

в един­

ственной точке Ct.

проекции Xt

у на

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Существование

точки

множество

Xt следует

из

теоремы

2.3.1.

Покажем,

что

пара

(с;,

xt) ^ G x X t

образует

седловую

точку

функционала

(с, х— у)

переменных (с,

x ) ^ G x X t в следующем смысле:

(с, xt— y ) ^ { c t,

xt— y ) ^ { c t, х— у)

при л ю б ы х х е Х ,

c^ G .

(4)

Если y ^ X t, то Xt= у,

с4 = 0, и неравенства

(4), очевидно,

выполне­

ны. Поэтому пусть y £ X t. Тогда ct=

(xt— у) \\xt— г/||-1, и справедли­

вость левого

неравенства

(4) следует из неравенства Коши — Бу-

няковского:

(с, xt — г/) <||с||-||х<— г/1|<||х,— у\\= (ct, xt — y)

при всех c e G . Правое неравенство

(4)

равносильно

(с*, х— Х /)^ 0,

или

(xt— у,

х—X;) ^

0, х ^ Х и

и

является' прямым

следствием

свойств

проекции из теоремы

2.3.1.

Соотношения

(4)

доказаны.

Из правого неравенства

(4) сразу следует

U t — y \ = { c u xt — y ) =

min fo , x — y) =

M(ct, t).

x £ X t