Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 208
Скачиваний: 1
300 |
МЕТОДЫ М И Н И М И З А Ц И И В ФУНКЦ И ОНАЛЬНЫ Х ПРОСТРАНСТВАХ [Гл. 6 |
|
J(u ) |
в) |
дать описание метода скорейшего спуска для минимизации |
при условиях (2) — (4), t/==L2[0, Г ]; |
||
|
г) |
дать описание методов условного градиента, проекции гра |
диента |
для минимизации J (и) при условиях (2) — (5); |
|
д) доказать, что точка u*(t) минимизирует J(u) при условиях
(2)— (5), тогда и только тогда, когда
НШ U «*)> «’ (0) = т ‘пЯ(1|)(/, t, и*), и),
|и|<1
где
|
|
Н (гр, и ) = v i]ju + р « 3 . |
|
|
|
|
У к а з а н и е . |
Заметить, |
что #(ф , и) |
выпукла |
по |
и, |
|
J (и) = -----------—----------,. и воспользоваться |
теоремой |
2.1.3 |
(ср. |
|||
с работой |
[105]). |
|
|
|
|
I (и) |
2. |
Пусть |
требуется |
минимизировать функционал |
|||
= fu2(t)dt при условиях (2) — (5), и, кроме того, x(s, Т, и) — y{s),
где y(s) — заданная функция. Укажите примеры штраф ных функционалов на условие x(s, Т, u) = y(s), Рассмот рите случай
|
|
|
i |
|
|
Pk {u) = |
k^\x(s, Т, и) — y(s)\2ds |
||
|
|
|
о |
|
и укажите методы минимизации функционала J h (u) = J (и) + Р к (и) |
||||
при условиях (2) — (5). |
|
|
||
3. |
Как ввести |
в |
задаче (1) — (5) |
штрафной функционал на огр |
ничение sup |л- (s, /) |< |
1? |
Рассмотрите |
|
|
|
Q |
|
|
|
|
РА(и) == £ J J |шах {х (s, t) — |
1; 0} la dsdt. |
||
|
|
Q |
|
|
|
§ 7. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОМ |
|||
|
|
КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ |
||
Пусть имеется однородная упругая, |
гибкая струна |
|||
длины I |
с закрепленными концами, на которую действует внешняя |
|||
сила u=.u(s, t). Требуется, управляя внешними силами, к задан ному моменту Т привести струну в состояние, как можно мало отличающееся от заданного состояния (например, состояния по коя) [35, 40, 162, 227, 270].
Математическая формулировка этой задачи: минимизировать • функционал
S 7] |
|
Оптимальное управление |
процессом |
колебания |
струны |
301 |
||||||||||
J («)'== Pi J |
|xt (s, Т, |
и) — у0 (s) I2 ds + |
р0 J I л (s, Т , и) — ух(s) |2 ds, (1) |
|||||||||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
при условиях |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
xtt = |
xts + |
и (s, f); |
(s, t) 6 Q = |
{0 < |
s < |
l, |
0 < |
t < T}, |
(2) |
||||||
|
|
|
* (0 , |
t) = |
x(l, 0 |
= 0, |
|
0 < f < 7 \ |
|
|
|
(3y |
||||
|
|
x (s, 0) = |
ф0 (s), xt (s, |
0) = |
|
фl (s), |
0 < |
s < |
/, |
(4) |
||||||
|
|
|
|
|
|
u = u ( s , t ) e u , |
|
|
|
|
|
(5)' |
||||
где £/— заданное |
выпуклое ограниченное |
замкнутое множество из. |
||||||||||||||
W{2 в(Q); |
ф; (s), |
t/i(s) (i = 0, 1)— заданные функции Ha_0<s.</, |
||||||||||||||
Ф о (5 ),г/о (5)б ^[о ,/]; |
?1!(s), y1( s ) 6 ^ [ o )/], |
Ф; (0) = ^ ( 0 |
= |
|||||||||||||
|
= |
Hi (0) = |
Hi (!) = 0 (£ = |
0, 1); |
х\= |
|
|
|
|
* х |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дР ' |
|
|
|
|
|
д*х |
;.Ро. р! = |
const > 0 , |
р ? ]+ р ? > 0 . |
|
||||||||
|
|
|
|
ds2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
WiP) (G) |
пространство |
Соболева |
[210J функций 2 = |
2 (sx, ■.. |
|||||||||||
sm), |
определенных |
на |
множестве |
G cz Em, |
обладающих |
всеми |
||||||||||
обобщенными частными производными [до |
порядка |
|
р включительно, |
|||||||||||||
и имеющих конечную норму |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
I|z|L( > |
|
|
|
|
|
dri+ - + rmz{s) |
2 ^ > '/l |
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
I |
|
dsf1.. . dsrrn |
|
|
|
||||||
|
|
wp' (О) - ( Г |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
a |
(Xrl+r,+...+rm<p |
|
• |
|
m |
|
|
|
|
|||
Пространство W2Pl(G) является гильбертовьш |
со [ |
скалярным произве |
||||||||||||||
дением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sf( |
|
2 |
|
dri+ —+rm z (s) |
( З О + . - . + ^ т у ( s ) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
* |
|
m |
|
|
|
|
|
||||
(Z. У ^ у З ) ^ |
°<Л+-+гт <Р |
|
dsf1. . . d s rm |
|
ds[‘ |
. . . 3s 'm ) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В частности, в |
W^iQ) норма имеет"вид |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
U (s > 0 ИдагО) (Q) — |
( I й IIl ^Q) + 1 u s I I , (Q) +.11 |
|
|
/ж |
|
|||||||||
WV [0, /]: IIф0(s)\wC^ Q = (|]фо ( |
S |
) |
+ |
II4 |
(s)||it0in + .IIФ '(8)l! i[W]У К |
|||||||||||
■Заметим также, что согласно теоремам вложения Соболева [210J пространство V^2P) [0, /] состоит из (р— 1) раз непрерывно диффе
3 0 2 МЕТОДЫ М И Н И М И З А Ц И И В Ф У НКЦ И О НАЛ ЬНЫ Х ПРОСТРАНСТВАХ [Гл. 6
ренцируемых функций <p(s), у |
которых |
производная |
ф<Р-1)(в) |
||
абсолютно непрерывна, a q><P)(s)eL2[0, /]. |
|
|
|||
Итак, будем |
рассматривать |
задачу |
(1) |
— (5). Отметим, что в |
|
частном случае, |
когда y0(s) |
= 0 на |
[0, Z], p0 = Pi —1 |
мы име |
|
ем дело с задачей о наилучшем успокоении струны к моменту Т;
если |
же при этом, in f/ («) = |
0, |
то можно |
говорить |
о полном |
|
|
|
Ыб£/ |
|
|
|
|
успокоении струны в момент Т. |
|
|
|
|||
|
Под обобщенным решением задачи (2) — (4), соответствующим |
|||||
управлению |
и = и (s, t) 6 |
(Q), |
будем |
понимать |
функцию |
|
x(s, |
t)==x(s, |
t, и), такую, что: |
|
|
|
|
1)x ( s , t ) e w i l)(Qy,
2)граничные условия (3) удовлетворяются в среднем, т. е.
т
J х2 (s, t)d t -> 0 при s -> + 0 и s - * / — 0;
а |
начальное |
условие |
х (s, 0) = |
q>0(s) |
также |
удовлетворяется в |
||||||
3) |
||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
среднем, т. е. J | jc (s , f) — <р0 (s)|а d s ^ |
0 |
при ^ -* - + |
0; |
|
|
|||||||
4) |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
справедливо интегральное тождество |
|
|
|
|
|
|||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j <Pi(s) Ц (s, 0) ds + J J [^ tj, — * ST]S + |
иц] dsdt = 0 |
|
|||||||||
|
о |
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
при всех Т) = t] (s, t) 6 W™ (Q), |
Л (0, t) = |
л (l, t) = |
ц (s, T) = 0. |
|||||||||
Пользуясь методикой, |
используемой |
в |
работе |
[150], |
можно |
|||||||
доказать, что при всех |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
« ( s ,0 € L a(Q), |
Ф1(5 ) е М 0 ,/ ], <p0 ( s ) 6 W2 * [0, /], |
Фо(0) = Ф0(0 = 0 |
||||||||||
решение задачи |
(2) — (4) существует, |
единственно и удовлетворяет |
||||||||||
неравенству |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
oS<T (I 1х (S’ ®| |
2 |
+ |
|
|
|
|
|
“IwQ) + |
|
||
|
+.11Фо'ЦОр,,!] + |
IIФ1 11с-.Ю.ч); |
Со = |
const > |
0. |
(6) |
||||||
А если же функция u{s,t) 6 |
|
(Q), Ф о (в )6 ^ [0 ,/ 1 , |
Ф1( 5 ) 6 ^ 1)[0,/] |
|||||||||
<Pi(0) = |
фг (/) = 0 |
(i = 0, 1), |
то можно показать, |
что x ( s ,t ) |
непрерыв |
|||||||
на в Q, |
принадлежит W p (Q), |
при |
каждом |
t |
определены |
значения |
||||||
xt (s, t) |
почти всюду на [0, /], |
xt 6 L2[0, /], |
и x(s, |
t) |
непрерывна по t |
|||||||
в норме L2[0, /]; |
кроме того, |
справедлива оценка |
|
|
|
|||||||
8 7] |
Оптимальное управление процессом колебания струны |
303 • |
oS<r [^° J |
I * (М ) I2 * |
+ Pi j I Xt(S>*) I2 |
+ I*1Ц*)((Й< |
||||
< |
( IIu llwO) + |
II Фо l!^ (% ,i] |
+ II 9 l llK7(i)[0i;]) '■ |
(7 ) |
|||
Ci = const>0, независимая от и, фо, фь |
, |
|
|
||||
Задача (1) — (5) является частным случаем задачи |
(5.2). Что |
||||||
бы убедиться в этом, достаточно в |
(5.1) положить £ |
= Wll)(Q); |
|||||
X —L 2[0, /] X L 2[0, Z] — |
пространство пар функций |
|
|||||
z (s) = |
(г0 (s); |
zx(s)); у (s) - |
(у0(s); ух(s)), . . , ; |
|
|||
zt (s), y i( s ) e L 2[0, /] |
(i = |
0, |
1) |
|
|||
со скалярным произведением 1 |
|
|
|
|
|||
|
|
/ |
|
|
i |
|
|
(2, У)х = Ро J Уо (s) 20 (S) |
+ Pi | Уг (s) Zi (s) ds |
|
|||||
и с нормой
ll2k = (Po«2ollii[o,] + Pil|2illil[0,,]),/-;
далее:
х(и) = |
(x(s, Т, ы); |
x,(s, Т, и)) в Л; |
x(0) = |
(x(s, Т, |
0); xt {s, |
Т, |
0)), |
|||||||
где x(s, |
Т, 0) |
— решение задачи |
(2) — (4) при u(s, |
£ )= 0 ; |
К и = |
|||||||||
= (y(s, |
Т„и); |
yt(s, |
Т, и )), где y(s, |
t, и) — решение задачи |
(2) — (4) |
|||||||||
при ф0(«) =ф ](«) = 0 , |
причем оператор К, действующий из |
№2° (Q) |
||||||||||||
в Х —Ь2[0, 1]x L2[0, |
/], |
очевидно, |
линеен, |
а его |
ограниченность |
|||||||||
вытекает из оценки |
(7). |
С использованием нормы в I |
и принятых |
|||||||||||
обозначений функционал |
(1) |
запишется в виде У(«) = |
||х(ы)— у\\^, |
|||||||||||
где y —{yi{s); |
yo(s)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из |
результатов |
§ 5 |
тогда вытекает, что функционал (1) при |
|||||||||||
условиях (2) — (5) |
выпуклый и дважды непрерывно дифференци |
|||||||||||||
руемый на U, причем градиент его удовлетворяет условию Лип |
||||||||||||||
шица с константой L=2||./(||2< :2 C J. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и = u(s,t) |
и v = |
v(s, t ) = |
u(s, t) + |
h(s, fyZ W p (Q), |
|
|
|||||||
и пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л: (s, t, и), |
x (s, t, |
v) = |
x (s, t, |
u) + Ax (s, t)— |
|
|
|
||||||
1Здесь считаем Po>0, P i> 0 . |
О случаях |
Po=0 или Pi = 0 см. замечание в |
||||||||||||
конце параграфа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
304 МЕТОДЫ МИНИМИЗАЦИИ В ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ |
[Гл, 6 |
||||||
соответствующие |
этим |
управлениям |
|
решения |
краевой |
задачи |
|
(2) — (4). Приращение |
функционала |
тогда запишется в виде |
|||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
J {u + h ) — У («) = |
2р0 1 [я (s, Т, и) — «/x(s)]Ajc(s , T)ds + |
|
|||||
|
i |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2Pi j [*< (S, t,u) — y0(s)] Axt (s, T)ds + |
|
|
||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
+ Po J I Ля (s, T) |2 ds + |
J |
|Дя, (s, T) |a ds. |
(8) |
||||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
Так как функция Ax(s, |
t) является |
решением |
краевой |
задачи |
|||
(2) — (4) при ф0(э) = ф !(у ) = 0 , u=ft(s, |
t), то к Ax(s, |
t) применима |
|||||
оценке (7) и поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
Ро f I Л я(s, T)\*ds + |
f |Axt(s, T)j* ds = |
I Ля(s, T )& < |
C?| ft&<i> . |
||||
0 |
|
0 |
|
|
|
|
2 |
Это значит, что первый дифференциал функционала |
(1) при усло |
||||||
виях (2) — (4) имеет вид |
|
|
|
|
|
||
(J'(u), h) = |
2(x(u) — y, х ( и + h) — x(u))x = |
|
|||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
=2р0 j [х (s, Т ,и ) — у1(s)] Дя (s, Т) ds +
|
о |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
+ 2pi J [x, (s, T, и) — y0(s)] Ля, (s, T) ds. |
(9) |
||
|
о |
|
|
|
На практике может оказаться более удобным следующее вы |
||||
ражение для первого дифференциала: |
|
|
||
|
С1' (“). h) = |
t, U)h(s, t) dsdi, |
( 10) |
|
|
|
Q |
|
|
где ф (s-, t, |
u) = *j>(s, t) является обобщенным |
решением краевой |
за |
|
дачи |
|
|
|
|
|
Ч>« = Ч>.«, (s. t)£Q ,' |
|
(11) |
|
|
[ф (0 ,0 = |
Ф (/,0 = 0 1 0 < ^ < |
Г , |
( 12) |
где |
4»(s, |
4><(s, T) = — c0(s), |
C < s < / , |
(13) |
|
|
|
|
|
c0(s) = |
2p0 [x (s, T, и) — yx(s)], Cx(s) = 2px [xt (s, T , u) — y0(s)], |
|
||
|
|
0 < з < Л |
|
(14) |
