Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf

§ п

Оптимальное управление процессом колёбанця струны

305

(1) в точке и =

u[{s, t) £

(Q) при условиях

(2) — (4)

требуется

последовательно

решить

краевые задачи (2)

— (4) и

(11) — (14).

боте [150].

В силу теоремы 1.4 решение u = u *(t)

задачи (1) — (5)

суще­

ствует, и согласно теореме 2.1.3 и формулам

(9) — (10) для

опти­

мальности и* (t) необходимо и достаточно,

чтобы

, t, и*) [и (s, У) — и* (s, f)] dsit = 2 (х (и’) — у,

х (и) — х (и*))х > ] 0

где г|>(s, t, ип) — решение задачи (11) — (14)

при u = un(s,t).

Далее

полагаем

u„+1 (s, t) = ип (s,

t) + а п [ип (s, t) —ип (s,

0 ],

(s, t) 6 Q,

где <xn = min{l, a *}> 0 ,

a* =

— Я t

(s, t, Un) [un-(t) — un (01dsdt

_________________________ Q_________________________________________________ •

2РоИ I ^ (-s, t. un) —x (s,

t, un) |zdsdt + 20* JJ| xt (s,t, u j — xt (s, t, un) |2 dsdt

Q

Q

(J ' (uri)> un

Un)

> o

2II X («„) — x (u„) ll|

(если a* = 0 или x(s,

t,

un) = x ( s ,

t, й п),

to

un(s,

t ) = u * ( s ,

t) —

dh .

_dg

( ''< “)•■‘ >

- Ш * * +

*

ds

dt

=

<17)

Q

где g = g ( s ,

t) — решение задачи

Неймана

для эллиптического

уравнения

Jg - + - g L - g = - ' l > M ) ,

M ) 6 Q ,

(18)

dgio.t) = _gg(/. 0 =

о

о

- 8<>s,0)

=

d8-(-s’D

= 0 , о< s < 7 .

ds

ds

^

dt

dt

(19)

§

7]

Оптимальное управление

процессом

колебания

струны

307

З а м е ч а н и е .

Все изложение этого

параграфа

велось

для

случая Ро>0,

P i> 0 .

Если

р0 = 0

или

Pi = 0, P o + P i > 0 ,

то в

(5.1)

надо принять

B =

W2l){Q),

X = L 2[0,

/];

причем

х (и) = х (s, Т, и),

х (0) =

л: (s, Т,

0), Ки = у (s, Т, и)

при Pi = 0,

р0=1,.

а

если

же

Pi =

l,

р0 = 0, .то x ( u ) = x t (s,

Т, « ),

x (0 ) = x ;( s , Т,

0), K u = y t{s,

Т,

и). Здесь y(s, Т,

и) — решение за ­

дачи

(2) — (4)

при (p o (s)= (p i(s)= 0 ,

u = u {s, t); x(s, t,

0)

—

реше­

ние

(2) — (4)

при u = 0. Заметим также,

что

если P i= 0,

Ро=1, та

в

(1) — (5)

достаточно требовать

U c z L 2 (Q),

ф1 (s) € L2 [0, /], Фо (s) 6 Wp [0, /],

Фо(0) =

Фо(/) =

0,

а

вместо

(7)

пользоваться

оценкой

(6).

Предлагаем

читателю

подробно рассмотреть эти случаи самостоятельно.

Формулы

для

градиентов

функционалов,

определенных на

сываемыми уравнениями с частными производными,

рассмотрены

в работах [35, 37,

38,

40— 43, 49— 51,

53, 62,

71, 72,

76— 78,

90—

92,

102,

104— 108,

121,

122,

124,

135,

136,151,

158,

159,

162,

163,

173,

183— 185, 202, 203, 208, 209, 237, 270]

и др.

Упражнения. 1. Описать метод условного градиента для зада­

чи (1) — (5) для случаев а)

§о=1, Pi = 0 и б) Ро= 0, Pi = l.

2. Пусть 71(«) = /(u) +

p2||«(s, /)ll^o)(Q), где р2 =

const> 0 , J(u )

взят

из (1). Доказать, что функционал

Ji(u)

при условиях

(2) —

(5)

является сильно выпуклым

в

Описать

метод услов­

ного градиента для

минимизации Ji(u)

при условиях

(2) — (5).

S п

Постановка задачи

309

х =

А(х)х +

В (х)и + f(x),

х >£„;

x(t0) = x0,

(1)

где х=.{х\ ...,

хп), и = ( и 1, ...,

иг) ;

Л(т), Б (т ), f( х)

—

заданные

матрицы порядка

п х п ,

п Х г

и пХ 1

соответственно,

элементы ко­

торых определены

при x ^ t 0 и кусочно-непрерывны

на

каждом

конечном отрезке

т — время; начальный

момент t0 и

начальная точка Хо предполагаются известными.

Пусть заданы функции аД т), (ЗДт),

2, •••. г,

определенные

при всех x ^ to

и на каждом конечном отрезке t o ^ x ^ t < o o , удов­

щие

t] (например, аДт) = — 1, рг-(т) = + 1 ,

x ^ t 0, £ =

1 ,2 ,...,г).

Для каждого t, t0s^t<Z + oo, рассмотрим множество

Ut =

{и — и (т) в 1$* [t0, t\: а г (т) < и1(т)

<

рг (т),

£ = 1 , 2 ,

. . . , г,

почти всюду при t0

<

х < t).

(2)

вательно, слабо компактно в

L2r) [t0, t\.

Каждому u = u (x )^ U t

соответствует и притом единственная

траектория х = х (х , и), U ^ x ^ t ,

системы

(1).

Напоминаем,

что

траектория или решение х{х, и)

задачи

(1)

представляет'

собой

* ( т ) =

^[A(s)x{s) + B(s)u(s) +

f(s)]ds + x0, t 0 <£x<£t.

(3)

Пусть в

пространстве Е п задана

точка у.

Задача быстродей­

ствия заключается в том, чтобы найти такие Т*

и и* = и* (x )^ U T* ,

чтобы х(Т*,

и * ) —у, причем для любых других Т и u=u(x)'^ U T,

для которых

х ( Т , и ) = у

(4)

1. Имеет место представление

х(х, и) =

х(х, и0) +

у(х,

и — и0), £0 <

т < £ ,

(5)

где х(х, и0) — решение задачи

(1)

при некотором u0 — Uo(x)^Ut

(например, и0{х) =

(a t (т),

...,

аД т)),

а у(х, и—и0) —

решение (1),

когда

/(т ) = 0 ,

Хо= 0

и

вместо и

взято

и(х)— и0{х).

При желании

можно воспользоваться

известной формулой Коши