Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 202
Скачиваний: 1
§ 3] |
р-Метод |
323 |
|
|
— ^ (4-f-l> ^A+l) У) — ( * 4 W/j-j-i) Л-(4-Н» Ws-|-i)
С Иjc(^, tl*+i) — x(4+i), йж )||<28г*(КА— Г|, |
Г ) - * 0 , |
(&->-oo). |
|
Таким образом, р (Г |:) = 0 , а так как р (£ )> 0 |
при *о < ;4 С 4 , |
k = |
|
= 0 , 1, 2, ... , то р ( 0 > 0 при t&^.t<zT*. Следовательно, |
Т* — |
оп |
|
тимальное время. |
|
|
|
Пусть и* — и,* (т) ^ U T* — произвольная слабая предельная точ ка последовательности {ик} в Вт*- (напоминаем, что ик= и к {х) предполагаются продолженными на [4, Т*}). Тогда существует под
последовательность |
{u*rt}, |
сходящаяся |
слабо в В т* к и*. |
В силу |
||
условия VI х(%, ик |
)-> х(т, |
и*) |
слабо |
в X при всех т, 4<^т-<;.Г*. |
||
Покажем, что х{Т*, и * ) = у . |
Возьмем |
произвольное с е Х |
Очевид |
|||
но, справедливо неравенство |
|
|
|
|
||
(с, х(Т*, |
и*) — у ) < |
(с, |
х ( Г , |
и*) — х{Т*, икп) ) + . |
|
|
+ И Чйкп)— Их (*кп’ Г “ /, Л + И И
Первое слагаемое в правой части этого неравенства стремится к 0,
так как х{Т*, ukn)->- х(Т*, и*) |
слабо в X, второе слагаемое стре |
||||
мится к 0 в силу условия V II; |
третье слагаемое стремится к 0, |
по |
|||
скольку |
“ |
* п ) — |
^ В = = |
P ( ^ |
f t n |
\\ХК , |
|||||
при п~>~оо. Левая часть этого неравенства не зависит от п, поэто
му при n-voo получим |
(с, х(Т*, и *)—у ) ^ 0 |
при всех с е Х Взяв, |
||
в частности, с = х ( Т * , |
и *)— у, отсюда будем |
иметь х(Т*, |
и * ) = у . |
|
Это значит, что и* — оптимальное управление, а х(х, и*) |
— опти |
|||
мальная траектория. Д |
|
|
||
2. |
Выше мы предполагали, что величины 4 , хк, ск при каждом |
|||
k = 0 , |
1, 2,... определяются совершенно точно. |
Однако на практике |
||
эти величины могут быть найдены, вообще говоря, лишь прибли женно, и каждый шаг итерационного процесса будет реализован с некоторыми погрешностями. Опишем такую модификацию р-метода, для сходимости которой достаточно определить величины 4 , хк, ch
приближенно, |
лишь •бы погрешность |
вычисления |
этих величин с |
|||||
ростом номера k уменьшалась в определяемом ниже смысле. |
||||||||
|
А |
именно |
пусть задача |
последовательность |
{б&}, бь^О k=i |
|||
= 0 , |
1, |
.... 6ft->-0 (k-^oo) и функция а (р ), определенная и непрерыв |
||||||
ная |
при р^гО, |
0 < а (р )< С р |
при |
р > 0 |
(например, |
§* = ——-— , |
||
k = 0 , |
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
1....... сс (р )= 0,5 р или а (р )= 0 ,9 р ) . В качестве начального |
||||||||
приближения, |
как и выше, |
возьмем |
4, х0, с0= |
(х0— у) ||д:о—у II-1, |
||||
считая |
р (4) =Н *о— г/11>0. Пусть |
известно (k — 1)-е |
приближение |
|||||
(А > 1): 4 - i; ■**—i £ |
; Ck—i Ф 0, Cfe i 6 G |
324 |
МЕТОДЫ Р ЕШ ЕНИ Я ЗАДАЧ |
БЫСТРОДЕЙСТВИЯ |
[Гл. 7 |
||
такое, что |
|
|
|
|
|
при |
4 - i) |
> |
а(||л*_1 — У ||), Р ( t ) > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 < Д -< 4 - 1 . |
|
4 <С 4 <С •••< I 4 - i <^7’- |
|
|
В качестве следующего момента 4 |
возьмем произвольное число, |
||||
лишь бы |
|
|
|
|
|
f e _ , < 4 < 7 , |
М (сн , 0 > |
° |
при |
4_1 < f < 4 , М (сн |
, 4 ) < V |
|
|
|
|
|
( 1) |
Существование такого 4 следует из непрерывности М (cfe_ь t) и су
ществования |
нуля |
этой функции на отрезке |
4 -г < Д < ;7 ’, (напоми |
||
наем, что |
M (cft_ 1, 4 - 1)^ a (| U fe_i— (/||) > 0 |
из-за |
£/||> |
||
^ p ( 4 - i ) > 0 , |
a |
T )^ i0 в силу теоремы 2.1). Так как р ( 4 > |
|||
> 0 при 4 < Д < ;4 - 1 |
по предположению, |
а р (4 |
(cfe_i, |
/ )> 0 при |
|
4 _ i < * < 4 в силу выбора 4 , то р ( 4 > 0 |
при 4 ^ * < 4 - |
Далее вы |
|||
берем такие cfee G , |
х (4 , «л) |
|
чтобы |
|
|
|
|
а(||-'Т — */|)<М (<4. |
4)- |
|
(2) |
||||
В частности, если взять такие ch^ G , |
xk 6 X ik, |
для которых р (4 ) = |
|||||||
= M ( c h, |
4 ) = ||л'{,— t/Ц, |
то условие (2), конечно, |
будет выполнено, |
||||||
ибо у нас 0< ^ а (р )< ;р |
по условию. В то же время получение таких |
||||||||
точных |
cft6G , |
хк £ X t/. |
с |
условием |
р (4 )= М (с л , |
4 ) = IU-ft— у|| для |
|||
выполнения (2) необязательно. Заметим, |
что если р ( 4 ) > 0 и а(р ) |
||||||||
монотонно возрастает |
(например, |
а ( р )= 0 ,9 р ), то неравенство |
|||||||
|
q ^ |
« (Р (4)) ^ |
а (lU'ft— |
у ||) |
M { c k , |
i k) |
j |
||
|
|
Р (4) |
Х |
Р (4) |
|
^ |
Р (4) |
^ |
|
вытекающее из (2), можно рассматривать как условие на относи
тельную погрешность, возникающую при замене р (4 ) на M (ch, tft). |
||||
Итак, |
пусть с* GG, uk £ U tk, x(tk, |
uk) — xk 6 X th, удовлетворяю |
||
щие условию |
(2), найдены. Может |
случиться, что М (ск, 4 ) = 0 . |
||
Тогда из |
(2) |
следует а(||*ь-г-г/||) = 0 . Однако сх (р )= 0 тогда и толь |
||
ко тогда, |
когда р = 0 . Следовательно, |
хк = y £ X tk. |
Тогда р ( 4 ) = 0 |
|
и в силу теоремы 2.2 4 = 7 ’* — оптимальное время, |
ик= и * — опти |
|||
мальное управление; итерационный процесс на этом заканчивается.
Если же М (ск, 4 ) > 0 . |
то |
|
|
||
4 |
0, |
р (4) ^ 7W(ск, 4 ) |
-4 у, и, |
имея 4> 4 6 Xfk |
|
|
ск =£0, |
ck £ G, |
0<а(\\хк - у \ \ ) < М ( с к, |
4 ), р (* ) > 0 |
|
при |
|
|
|
|
|
|
|
4 ■С t "С 4> 4 < 14 |
4 "С т, |
||
р-Метод |
325 |
процесс продолжаем дальше. Модифицированный p-метод описан
полностью. |
! |
Как видим, в отличие от p-метода п. 1 задача определения |
|
минимального корня уравнения M-(ck-i, t ) = 0 при |
здесь |
может решаться приближенно: достаточно ограничиться нахожде
нием такого, th, |
лишь |
бы выполнялись |
условия (1); значение |
||
|
р ( у |
= шах М (с, У |
= |
inf |х — у | |
|
|
|
c£G |
x & X <k |
|
|
также может быть заменено приближенным М (ск, у , |
удовлетво |
||||
ряющим (2). |
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
2. Пусть выполнены условия теоремы |
1. Тогда ре |
|||
шение "задачи быстродействия может быть получено как предел последовательностей, полученных с помощью модифицированного
.p-метода, а именно: 1) lim 4 = |
Т* — оптимальное время; 2) |
лю- |
fe~»oo |
последовательности {uk}czU lk |
яв |
бая слабая предельная точка ы* |
ляется оптимальным |
управлением, а лз(т, и*), ta ^ T ^ T * , — опти |
|||
мальной траекторией. |
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Последовательность |
{4 } монотонно воз |
|||
растает и ограничена |
сверху |
величиной Т, поэтому |
существует |
|
lim 4 = Т*. Из непрерывности |
р у следует, |
что |
р С У -^ р У *) |
|
А—>00 |
|
|
|
|
(&->-оо). Покажем, что р ( Г * )= 0 . Как и при доказательстве теоре мы 1, будем считать, что все управления we£/t при О < Г * — 4^ Д продолжены на отрезок У , Т*], и условимся рассматривать только
такие у |
для которых Т*— У < Д. Из (1), (2) |
имеем |
О < |
ct ( Нл:* — р|1)<М (<у у < M ( Cft, " y _ |
M(ck, 4 + i ) + s<4-i |
Поэтому а О У — г/||)-ИЗ (£-voo), так как б^-э-О по условию, а соот ношение
lim [М(ск, tk) — М(ск, 4 + ,)] = О
к —>эо
доказывается так же, как в предыдущей теореме. Но а(р)->-0 тог
да и только тогда, когда р->-0. Поэтому ||л';г— г/||->-0 |
(k-^co), |
а тогда |
||
и 0< р (4)-< 11*й — z/11-Я ) (k -уоо), |
следовательно, |
р ( Г * )= 0 . |
Кроме |
|
того, так как р У > 0 при |
/е=0, 1, 2, |
..., |
то р У > 0 при |
|
Таким образом, Т * — оптимальное время. Утверждение 2) доказывается точно так же, как и аналогичное утверждение в теореме 1.
Полезно заметить, что для практической реализации описан ных выше двух вариантов p-метода необязательно иметь числен ное значение момента Т, при котором объект (у, Т)-управляем. Здесь важен лишь сам факт (у, Г)-управляемости при каком-либо конечном T > t 0. Кстати, если объект не является (у, Т)-управляв-
326 |
МЕТОДЫ Р ЕШ ЕН И Я ЗАДАЧ |
БЫСТРОДЕЙСТВИЯ |
[Гл. Т |
мым |
ни при каких Т, t0< T < z-{-°°, |
то задача быстродействия не? |
|
имеет решения. При решении конкретных физических задач в (1). в качестве Т обычно берут либо максимальное Т, допустимое раз рядной сеткой ЭВМ, либо какое-нибудь физически «разумное» для данной задачи время Т. Если при этом выяснится, что р (/ )> 0 прито в первом случае остается признать, что рассматривае мая задача не может быть решена с помощью данной ЭВМ, а во
втором случае — объект не может быть переведен из начальной, точки х0 в точку у за физически «разумное» время.
В заключение заметим, что описанный выше p-метод своими' основами восходит к работе [263]; различные модификации р-мето- да позднее рассматривались для конечномерных 1 задач быстродей ствия без фазовых ограничений, например, в работах [57], [200],. [264]; при наличии фазовых ограничений и запаздывания в работе [52]; на бесконечномерные 1 задачи p-метод был обобщен и иссле дован в работах [50], [51], [53].
Аналогично p-методу можно построить так называемый х-ме-
тод [121], связанный с функцией х (/) = sup М(с, t). Оказывает-
(c,t/)=—I
ся, что х-метод является естественным обобщением известного ме тода моментов. Метод моментов для конечномерных задач впервые был предложен и исследован Н. Н. Красовским и подробно изло жен в его книге [139]; применение этого метода к исследованиюзадач быстродействия, связанных с некоторыми типами уравнений, с частными производными, см. в работах [40]—[43], [62]. Обобщениеметода моментов с анализом его сходимости для бесконечномер
ных задач быстродействия в весьма |
общей постановке проведена |
в [121]. |
|
Заслуживает внимания и так называемый сг-метод [122], свя |
|
занный с функцией o ( t ) = supp(c, t), |
где ,р(с, t) представляет со- |
ах |
|
бой нижнюю грань всех тех т среди x ^ t , для которых М{с, т )^ 0 > Внешне сг-метод очень прост и заключается в построении последо вательности {Y-jt} по закону 4-и = о (^ ), k = 0 , 1, 2, ..., однако вы числение значений функции cr.(f) далеко не всегда просто. Методы, близкие к 0 -методу, для конечномерных задач были предложены еще в работах [135], [197], [268] и др. Для бесконечномерных задач быстродействия о-метод был предложен и исследован в работе-
[122].
Подавляющее большинство описанных до сих пор в литерату ре итерационных методов решения задач быстродействия явно или неявно связаны с функционалом М(с, t) и получающимися из него функциями р (t), x(f) или a(t) и являются теми или иными моди фикациями упомянутых выше р-, х-, о-методов. Это обстоятельства.
1 Здесь имеется в виду размерность фазового пространства X.
$-4] |
Приложения |
327 |
подчеркивает важную |
роль величин М(с, t), р(t), %{t), a(t) |
при |
изучении задач быстродействия. Систематическое изучение этих величин для линейных задач быстродействия в весьма общей по
становке проведено в работах [51], [53], [121], [122]. |
|
|
Упражнения. 1. Выяснить геометрический смысл p-метода и его |
||
.модификации в случае Х = Е 2. |
{х(т, и), u^.Ut, |
|
2. Пусть управляемый объект |
удовлет |
|
воряет условиям I—V II, и» пусть |
У — выпуклое замкнутое ограни |
|
ченное множество из X.
а) Положив |
|
М(с, £ )= m in min (с, х — у), |
p{t) = max/И (с, t), |
*ex, i/ev |
c£G |
показать корректность этих определений; сформулировать и дока зать аналоги теорем 2.1— 5 для этого случая.
б) Дать описание p-метода для задачи быстрейшего попада ния из точки х0 на множество У и доказать его сходимость.
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ
Мы здесь ограничимся рассмотрением задач быстродействия, связанных с системой i(l.l) и с уравнениями теплопроводности и колебания струны.
1. Начнем с задачи (1.1— 4), которая удовлетворяет всем ус ловиям I—VII из § 1. Вместо множества (1.2) здесь можно взять (1.10) или любое другое множество Ut из L {[t0, £] (t > t 0), удовлет воряющее условиям I— III. Для приближенного решения получаю щихся при этом задач быстродействия можно воспользоваться р- методом (§ 3 ) .
Для функционала |
|
|
|
М(с, |
t) = min (с, x(t, и) У)е. |
|
|
|
a£Ut |
'П |
|
|
|
|
|
здесь можно получить более удобное для практики выражение |
|
||
• М(с, t ) = |
(В* (т)ф(т), и (х))ег dx + |
|
|
+ [ ( ♦ М Л 1 ) ) £ „ Л + ( ' К У > х 0)еп— (с, У)еп, |
О) |
||
to |
|
|
|
где ф(т) — решение задачи Коши:
Ф(т) = — Л*(т)ф (т), t0 < x < t ; q (t) = c. |
(2) |
