Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf

В

самом деле,

с

учетом условий ( К 1),

(2) имеем

t

(с, х (t, и))Еп =■■(i|) (t),

х (t,

и)) =

J

(■ф(т), х(х,и)) dx +

(г|) (t0), х0) =

ta

i

t

= J ГСФ, x) +

(Ф, *)] dx +

(“ф (t0), x0) =

j [— (Л*ф,

x) +

U

t

to

+

(Ф, Ax + Bu +

/)] dx + (ij> (t0),

x0) =

^ (ф (т), В (t ) u (t ) +

+ f(x))dx + (ty{t0), x0).

Отсюда и из определения М(с, t) сразу получаем

(1).

В частности, если Ut имеет вид (1.2), то минимум в 1-м сла­

гаемом (1) достигается на управлении

..., ыг(т)} с

компонентами

и//тг 1

a j(t).

если

(т) ф (x))f >

0;

i '= l , 2,

. . . , г ,

1 рг(т),

если

(^* (х) ф(т))£ <

0;

*0 < г < г ,

и, следовательно,

М(с,

0 = J ] [ f

(В* (х) ф (x))i af fx) rf-r -b j

(В*(т)ф (т)), р; (т )Л ]

+

■'=I

" t

N~

r~

t

+ j M>(t), f(x))dx+ (Ф(^о)> ^o)-

(c> y)> .

to

где

— i-тая

компонента

вектора

N f — множество

тех

x £ [t0,

t], для которых (5* (т) г|? (т)^ >

0, a NT — дополнение ко мно­

жеству

N t до отрезка

[/0, t].

Аналогично, если

Ut имеет вид

(1.10), то минимум

в (1)

до­

стигается при

и (т) = «о (т) + RB" (х) ф (г) |В* (х) ф (т) §[£) ^ ^

поэтому

М(с, t) =

R II В* (г) Ф(т) \L(r)u

+

f (5* (г) ф(х),

ц, (т)) dx +

t

2

"

и

f(x))dx Н- (ф(г?0), х0) — (с, у).

+ j’ (Ф('с),

to

§ 4]

Приложения

329;

М(с, т) = 0, т > s ,

(3),

уравнения

(3), известен,

то возможно применение метода деления

отрезка пополам, метода

хорд, а в случае гладкости М(с, т)

по

т метода

Ньютона. Если

при этом М(с, т) строго монотонна

при

корень наименьшим

среди всех корней ^ s . Если известно, что-

М (с, т) на отрезке

[s, Г] обладает левыми и правыми производ­

ными по т, причем

inf

. дМ(с, х±0)

g = cQnst^

s<T<T

от

(4>

Следуя этой работе, можно доказать, что { t „ } ,

м о н о т о н н о возра­

стая,

стремятся к минимальному корню уравнения (3)

на отрезке

[s,

Т],

а в том

случае, когда

это уравнение не

имеет

корней на

[s,

Т],

т о тп> Г

при некотором

0.

330

МЕТОДЫ РЕШ ЕНИЯ ЗАДАЧ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ

[Гл. 7

Отдельно остановимся на одном важном частном случае, когда

Ut =

{u =

и (т) в Lir) |70,

tJ : и (т) 6 V почти всюду на [^0, (]},

t^>t0,

(5)

где

V — выпуклое замкнутое

ограниченное

множество из

Оче­

видно, тйкие множества Ut, t> to,

удовлетворяют условиям

I— III

§ 1. Можно показать, что в этом

случае функционал М {с, т) при

всех x ^ U имеет левые и правые производные,

причем [95]

.

дх

-L

== max min (с, А (т — 0)х -f В (х — 0) и -\~f(x— 0)), т>^0;

хбХсднек

------——

'

= min min (с, Л (тф 0),г +

В (т +

0)и +/ (т -f

0)), х > ^ 0,

дх

х£хс,х “sv'

где

Хсл — {х : х ^ Х х,

М(с, х) = (с,

х— г/)},

V взято из

(5).

Поль­

зуясь

этими

формулами,

с учетом кусочной

непрерывности

А(х),

В (х),

f(x), ограниченности V и оценки (1.6)

имеем

inf

дМ (с у х ±

0)

> g ( s ,

л > — °°>

дх

s < T

<

r

где

g(s,

Г) = — [ sup \\А{х)\\-supcr («) + sup ||В (т)|| max |u| +

s <

t < T

u£U T

sCx<CT

uCV

- f SUP \f(v\]

I c l < 0 .

• ( 6)

s < T < r

Тогда

для поиска

минимального

корня уравнения (3) на отрезке

[s, Т]

можно воспользоваться методом

(4)

с g = g ( s , Т).

З а м е ч а н и е .

Согласно

теореме

2.2 оптимальное время Г*

является

минимальным корнем уравнения р (^ )= 0 при t ^ t 0.

Если

известно,

что

p(t)

на

некотором

отрезке {^0,

Л

обладает

левой и

правой производными по t [95], причем

inf

dp(f. f 0)

> g >

— oo,

g =

const < 0,

< о<«Г

at

то

для

поиска Г*

на [£0, Л

можно также

воспользоваться мето­

дом

из

работы

[66]:

tn+ i = t n +

— p{tn),

п — 0, 1, 2 . . . .

Если

T *^[t0, Г], то последовательность

I&

монотонно возрастая,

стре­

{^ },

мится к

Т*.

Если

же

Т * > Т ,

то

tn> T

при некотором п, и тогда

этот же

метод можно применить на некотором

отрезке [Т, Г + Я ],

где / / = co n st> 0 . Вместо функции p(t)

здесь можно использовать,

S 4

Приложения

331

=

dsa

(s,

t ) 6 Q

, = { 0 < S < Z ,

o<

t < 0 ;

(7)-

ox

дх(0,х)

_

0

0 <

t

< Z ,

x (s,

0) =

0,

0

s -C Z;

(8)

ds

dx(l,

x)

= v

[«(t )— x {1,

t )],

0 < x < i ;

(9>

ds

и = « (т )6

Ut =

{и (т)£ L2[0,

Z]: |м ( т )

|< 1

почти всюду на [О,

ZJ},

( 10).

где

Z, v —

заданные

положительные

постоянные; Z >0.

Каж ­

дому

u— u(x)^ U t

при

каждом

Z > 0

соответствует

единст­

венное

решение,

или, как

будем

говорить,

траектория

х —

= x ( s ,

т, и) задачи

(7) — (9)

(определение

решения

этой,

задачи дано в §

6.6). Пусть y = y ( s ) — заданная функция на отрез­

ке

O ^ s ^ Z

и пусть

существуют такие

0 и u,{x)^.Ut,

что

соот­

ветствующее решение x(s,

т,

и) задачи

(7) — (9)

удовлетворяет ус­

ловию

x(s,

Т,

it) — у (s),

0 < s < Z .

(1 1>

одном и = и (т )е !/ т , найти наименьшее.

Сформулированная задача быстродействия (7) — (11) удовлет­

воряет всем условиям I— VII

§

1,.если принять Bf =

L2[0,

Z], L t==

= Ь 2(Q 0, Х = Ь 2[0, /]. В самом

деле, условия I— IV

очевидны; об

условии V уже говорилось в §

6.6 (в представлении

(1.11)

можем

взять uo( x ) = 0 ^ U t при всех

Z > 0 ). Пользуясь методикой

статей

x(s, т, «fe)-vjc(s,

т, и) в L2[0,

Z] при каждом фиксированном т е [0 , Z],.

если только

uh= u h(x)-^ u — u(x)

слабо в

L^O, Z] (k-^-oo), а также-

получить соотношение

i

sup

f |х (s, x +

Ат,

и) — х (s,

т, и) I2 ds —> 0

«eut

J

.

при Дт->-0,

0< -T ,

т - f At <Z .