Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 199
Скачиваний: 1
332 МЕТОДЫ РЕШ ЕНИ Я ЗЛДЛЧ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ \Гл. 7
Таким образом, условия VI, |
V II также будут выполнены, |
и» к за |
|||
даче быстродействия (7) — (11) применимы все результаты |
§§ |
2, 3, |
|||
в частности, для ее решения можно применить р-метод. |
|
|
|||
Для функционала |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
М{с, t ) — min |
fc(s)[A-(s, t, и) — y{s)]ds |
|
|
||
здесь можно получить более удобное для практики выражение |
|||||
|
i |
|
/ |
|
|
М(с, t) — min v Гф (/, x)u{x)dx— ( c(s)y(s)ds, |
|
(12) |
|||
tt£Ut |
8 |
|
о |
|
|
где t|)(s , т ) — решение задачи (6.6.10— 12) |
(с заменой t на т, |
Т на |
|||
/). Эта формула следует из равенства |
|
|
|
||
i |
|
t |
|
|
|
| c (s) a:(s, |
t, |
и) ds ="v j ф(/, |
x)u{x)dx, |
|
|
о |
|
о |
|
|
|
которое доказывается точно так же, как равенство (6.6.15). В ча стности, если множество Ut имеет вид (10), то минимум в (12) до стигается при и— и(т) = — sigm|)(I, т) и, следовательно,
t i
М(с, t) — — v j" |ф(/, т) |dx — | с (s) у (s) ds. 6 о
При вычислении значений функции
р(Л = т а х М (с , t) = |
i |
t, и) — f/(s)|2dsY/j, |
inf (f|.v'(s, |
||
c6G |
u£Ut \J |
/ |
|
|
l |
G = |c = c ( s ) :c ( s ) e i 2[0,/J, |
j* c- (s) ds < l| |
|
|
|
6 |
удобнее всего воспользоваться соотношением
i
При каждом фиксированном ^ > 0 функционал
i
J ( u ) = j| * (s , t, и) — у (s) |2ds
О
§ 4} |
Прилджения |
3 3 3 |
при условиях (7) — (10) |
был изучен в § 6.6 |
(см. задачу ■(б.б. 1—5 )), |
где были выведены формула градиента, условия оптимальности, а также обсуждены некоторые методы минимизации J(u ).
Поиск минимальных нулей функций М(с, t), р (t) при t ^ i h^ 0 может быть осуществлен, например, методами, о которых говори лось выше, в п. 1. Сходимость p-метода для задачи (7) — (11) сле дует из теорем 3.1—2. Методы решения других более общих задач быстродействия, связанных с параболическими уравнениями с одной или несколькими пространственными переменными, рассмотрены в
работах [35, 50, 51, 53, 121, 122, |
158] и др. |
|
3. |
Рассмотрим задачу |
быстродействия, связанную с уравнен |
ем колебания струны. Пусть имеется однородная упругая гибкая струна 0 -^ s ^ / с закрепленными концами, на которую действует внешняя сила u— u(s, t). Требуется, управляя внешней силой, наи быстрейшим образом привести струну в заданное состояние (на пример в состояние полного покоя).
Математическая постановка этой задачи: пусть управляемый
процесс описывается условиями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
o s 2 |
+ |
т); |
(s, T)6Qi = |
{ 0 < s < / , |
0 < т < 0 ; |
(13) |
||||||
дх2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х (0, т) = |
х (/, т) — 0, |
|
0 < т < 4 ; |
|
|
(14) |
||||
|
x(s, 0) = cp0(s), |
дх(*’ 0) |
= Ф г (5), |
0 < s < / . |
|
(15) |
|||||||
|
|
|
|
ОТ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U = |
u(s, |
х)6 u t = {u(s, |
|
|
|
|
|
0 Ц и (<г) < ! } . |
0 6 ) |
||||
где ф0 (s), |
ср! (s) — заданные |
функции |
на 0 < |
s < / ; |
Фо(5 ) € ^ 2>[0, /]', |
||||||||
<px(s) 6 |
[0, |
/], |
ф£(0) = ф, (/) = 0 (t = |
0, |
1) (обозначения см. в § 6.7). |
||||||||
Каждому |
u = u (s , т) |
при каждом |
t > 0 |
|
соответствует единст |
||||||||
венное решение* = x(s, т, гг) 6 W^iQt) |
|
задачи |
(13) — (15) |
(опреде |
|||||||||
ление решения этой задачи дано в § 6.7). |
|
|
|
|
|
||||||||
Пусть |
на отрезке |
заданы функции yv(s), y\(s) |
такие, |
||||||||||
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уо (s) € № |
[0, |
/], у, (s) 6 WV' [О, |
/], |
уг (0) = |
|
у£ (/) = 0 (i = |
0, |
1). |
|||||
Пусть существуют такие Т и u(s, |
x ) ^ U T, что соответствующее ре |
||||||||||||
шение *(s , т, |
и) |
задачи (13)— (15) |
удовлетворяет условиям |
|
|||||||||
x(s, |
Г , |
u) = y i( s ) , ^ - ^ |
A |
|
= |
y0(s), |
0 < s < / . |
|
(17) |
||||
|
|
|
|
ОТ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Требуется среди всех Т, для которых выполнено (17) хотя бы при одном u— u(s, x ) ^ U T, найти наименьшее. В частности, если в (17)
334 |
|
МЕТОДЫ Р ЕШ ЕНИ Я |
ЗАДАЧ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ |
\Гл. Т |
|||||||||
ух (s) =£/0(s) = 0 , |
то получаем |
задачу |
о |
быстрейшем успокоении |
|||||||||
струны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сформулированная |
задача |
быстродействия |
(13) — (17) |
удов |
|||||||||
летворяет всем условиям I— V II из §'1, |
если принять |
|
|||||||||||
B ^ W ^ iQ t ) , |
|
|
|
X = |
L 2{0, /] X L JO , /]. |
|
|||||||
В самом деле, условия |
I— IV |
очевидны; об условии V уже говори |
|||||||||||
лось в § 6.7 (в представлении |
|
(1.11) можем взять tio(s, т ) = 0 e t/ £ |
|||||||||||
при всех £ > 0 ) . |
Пользуясь методикой, |
используемой в работе [150], |
|||||||||||
можно доказать, |
что если «ft(s, |
т)->u(s, т) слабо в W2^ (Q,), |
то |
||||||||||
|
|
|
i |
т, uk) — x(s, т, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
jU ( s , |
u)|2ds-»-0, |
|
||||||||
|
л |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx (s, t, uk) |
dx(s, |
х, и) |
12ds -> 0 |
(k -> оо ) |
|
|||||||
|
|
дх |
|
|
дх |
|
|
|
|
|
|||
при каждом фиксированном т е [0 , |
/] и, |
кроме того, |
|
||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx(s, т + Ах, и) |
|||
sup |
(Y|x:(s, |
т + Дт, u) — x(s, |
т, |
ы)|2 + |
|||||||||
|
дх |
|
|||||||||||
uEUt |
J \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
' |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx(s, х, и) |
^ds |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
дх
при Дт->-0, 0< ;т, т+ Д т< ;£. Таким образом, условия VI, V II также будут выполнены, и к задаче быстродействия (13)—>(17) примени мы все результаты §§ 2, 3, в частности, для ее приближенного ре шения можно применить р-метод.
Для функционала
М (с, |
t ) = |
min |
Г i с0 (s) H s , |
t, |
u) — y1{s)]-hc1{s) |
dX(St tj U) |
||||
|
dx |
|||||||||
|
|
u£Uu |
J I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
• i/ o ( s ) ] | * , |
C = |
{c0(s), |
c JsJJe Z ^ O , |
/ ] x i 2[0, |
/], |
||||
справедливо |
представление |
|
|
i |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M(c, |
г ) |
= т т |
| |
j i l ) ( s , |
t ) u (s , t) ds dx + j” |
^ф ( s , 0)cp1(s) — |
||||
|
|
|
|
<31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0) Фо (s ) — |
c0(s) yx(s) — Cx {s) y0(s)I ds, |
(18) |
|||||
§ 4] |
Приложения |
|
|
|
335 |
|
где 9 (s , |
т ) — решение задачи |
(6.7.11— 13) |
(с |
заменой |
t на т, T |
|
на t). Формула (18) следует из равенства |
|
|
|
|
||
i |
|
|
|
|
|
|
J | 4 ( s ) * ( s , t, и) + ci(s) |
U) ] ds = J |
Op(s, |
т)u(s, |
х)dsdx + |
||
O L |
|
|
Qt |
|
|
|
|
l |
0) |
|
|
|
|
|
d^js, |
|
0) |
ds, |
|
|
|
dx |
9 i(s)^ (s, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
которое доказывается аналогично равенству (6.7.15). Из (18) мож
но |
получить |
более |
удобную |
для |
использования в пространстве |
|||||||
W20 |
(Qt) формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М (с, |
t) = min С |
f |
|
4- |
& ds ^ dx |
1 ds dx |
|||||
|
|
«ес/ J J L |
|
|
|
J |
||||||
|
|
|
|
Qt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^(s, |
0 ) 9 ! (s) |
|
|
0) |
|
фо (s) — c0 (s) yx (s) — c±(s) y0(s) J ds, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(19) |
где |
g = g ( s , |
T) — решение задачи |
(6.7.18— 19) |
(с заменой t на т, |
||||||||
Т на t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для множества Ut из (16) в соответствии с формулой (19) те |
|||||||||||
перь имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
М(с, t) = |
— \\g(s, т )Ц и ((%)+ |
|
|
°)<Pi(s) — |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
»l>(s, |
Q) |
(s) — с0 (s) у1 (s) — Cj_ (s) у0(s) J ds, |
||||||||
|
|
dx |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
причем минимум в (19) достигается |
при u = |
g(s, |
х)||.£(s, т) 11^,0)(Q ) |
|||||||||
|
При вычислении значений функции |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
p(f) = |
maxAtf (с, |
t) = |
inf Г Г ( |
I a: (s, |
t, |
и) — ^i(s)|2 + |
|||||
|
|
c6G |
|
|
u £ U t |
L J \ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
+ |
dx(s, |
t, |
u) |
■y0(s) |
2J |
dsj /s, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
336 |
|
МЕТОДЫ |
РЕШ ЕНИ Я |
ЗАДАЧ БЫСТР0ДЕР1СТВНЯ |
[Гл. Т |
|||
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
G = |
|с = |
(с0 (s), |
сх (s)) е Ь2[0, /] х La 10, |
I] : J ( |с0 (s) |2 + |
||||
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
-i- K (s)| 2) d s < l| |
|
|
||
удобнее всего |
воспользоваться |
выражением |
|
|
||||
|
|
|
|
р2 (t) = |
inf J (и), |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
dx (s, t, |
u) |
|
Ци) |
= |
j |
x(s, t, u ) - yi{s) |
|
||||
Г2 + |
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При каждом |
фиксированном |
t > 0 функционал J (и) |
при условиях |
|||||
(13) —-(16) |
был изучен в § 6.7 |
(см. задачу (6.7.1— 5) |
при p0= P i = |
|||||
= 1), где были выведены формула градиента, условия оптималь ности, а также обсуждены некоторые методы минимизации J(u).
Поиск минимальных нулей М(с, t), р (t) при t ^ t h ^ 0 может быть осуществлен методами, упомянутыми в п. 1. Сходимость р- метода для задачи (13) — (17) следует из теорем 3.1—2. Методы решения других более общих задач быстродействия, связанных с гиперболическими уравнениями с несколькими пространственными переменными, рассмотрены в работах [40—43, 51, 53, 121, 122]. По поводу приближенного решения встречающихся в этом пара
графе задач Коши и краевых задач см., |
например, работы [20, |
|
207]. |
|
|
Упражнения. |
1. Рассмотреть задачу |
быстродействия (1.1),. |
(1.4) при условии, |
когда и = ь v— (w\ ..., wr) |
является параметром, |
который выбирается из некоторого заданного выпуклого замкнуто го ограниченного множества W из Етв начале движения и в даль нейшем не меняется. Указать способы вычисления функций М (с, t),.
р (t). Дать описание p-метода для этой |
задачи, |
доказать его |
схо |
|
димость. |
|
|
|
|
2. Пусть У — некоторое выпуклое замкнутое ограниченное мно |
||||
жество из Ь2[0, |
/]. _Рассмотреть задачу |
быстрейшего попадания во |
||
множество У при условиях (7) — (10). |
Описать |
p-метод для |
этой |
|
задачи и доказать его сходимость [50]. |
|
|
|
|
У к а з а н и е . |
Воспользоваться результатами |
упражнения |
3.2. |
|
