Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf

Г л а в а 8

Регуляризация некорректно поставленных экстремальных задач

§ 1. О НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧАХ МИНИМИЗАЦИИ

Пусть функционал /(«) определен к непрерывен на множестве U из некоторого банахова пространства В, и требуется минимизи­

рационного метода нам удалось построить минимизирующую по­ следовательность {uh} ^ U : J(Uh) —yJ* (£->оо). Возникает вопрос, будет ли Uk-*-и* в В ? Иначе говоря, можно ли из близости значений /(«ft) к /* сделать вывод о близости «/t к и* в норме В и затем, как это иногда делают на практике, в качестве приближения к оп­ тимальному элементу и* взять элемент Uh с достаточно большим номером? Если элемент и*, на котором достигается нижняя грань /(«) на U, не единственный, то и здесь возникает аналогичный вопрос: можно ли по близости значений /(uk) к /* судить о близо­ сти и* к множеству £ / *= {« :«еС /, / (« )= / * } в норме В?

Оказывается, в общем случае ответ на поставленные вопросы является отрицательным. Покажем это на двух простых примерах.

и достигается на единственном управлении u * ( t ) = 0. Рассмотрим последовательность Uh(t)=sinkt, O ^ ^ l , которой соответствуют траектории

Если нарушено хотя бы одно из условий 1) или 2), то задача минимизации называется некорректно поставленной.

Примером корректно поставленной задачи является задача минимизации сильно выпуклого функционала J (и) на выпуклом замкнутом множестве гильбертова пространства Н. В самом деле, существование и единственность минимизирующего элемента* и*> следует из теоремы 2.1.7, а сходимость минимизирующей последо­ вательности {«й} к и*, в Н вытекает из равенства

Для корректно поставленной задачи минимизации приближен­ ное нахождение какого-либо из минимизирующих элементов

e t/ * облегчается: в качестве приближения к и* можно взять один из членов минимизирующей последовательности с достаточно большим номером.

§ 21 Метод регуляризации А. Н. Тихонова . 339

Однако имеются целые классы практически важных задач ми­ нимизации, являющиеся некорректно поставленными. К таким за ­ дачам относятся многие задачи минимизации функций конечного числа переменных, задачи оптимального управления, связанные с системами обыкновенных дифференциальных уравнений или урав­ нениями с частными производными, а также ряд других экстре­ мальных задач. Возникает практически важный вопрос: как пре­ одолеть трудности решения иекорректно поставленных задач мини­ мизации в тех случаях, когда U* непусто и требуется найти не только минимальное значение функционала, но и какой-либо ми­ нимизирующий элемент ,с нужной точностью в той или иной нор­ ме? Или, точнее говоря, как строить в таких задачах минимизи­

торый элемент из U* с определенными свойствами. Ответ на эти вопросы дает излагаемый в следующем параграфе метод регуляри­ зации некорректно поставленных экстремальных задач, разрабо­ танный А. Н. Тихоновым и оказавшийся весьма гибким и удоб­ ным инструментом для теоретического исследования и численного решения таких,-а также других более широких классов некоррект­ но поставленных задач, возникающих в различных областях науки

итехники [151, 217, 222, 225]. Из обширной литературы по теории

иметодам решения некорректно поставленных задач здесь упомя­

нем еще работы [12, 28, 30, 31, 33, 36, 37, 53, 98, 151, 156, 162, 172, 218— 226, 247—250], непосредственно связанные с экстремаль­ ными задачами (библиографию см. в работах [222, 225]). По пово­ ду достаточных условий корректности постановки экстремальных задач см. работы [153, 156, 186].

§2. МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ А. Н. ТИХОНОВА

1.Пусть U — некоторое множество банахова пространства В. Пусть функционал J (и) определен на множестве U, причем

U* = {и: u £ U , J (и )= inf J (и) — J *}

нес/

непусто. Метод регуляризации некорректно поставленных экстре­ мальных задач, разработанный А. Н. Тихоновым [218—221], заклю­ чается в том, что сначала исходную задачу минимизации J (и) на U заменяют семейством задач минимизации специальным образом подбираемых функционалов /<*(«), зависящих от числового пара­