Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 191
Скачиваний: 1
346 |
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ |
[Гл. в |
a J {и) — полунепрерывный снизу функционал на (У с непустым
U¥= {u :u £ U , J ( u ) = J * > — оо}.
Рассмотрим функционал
определенный |
на линейном |
пространстве VMfo, Т] |
вектор-функций |
u(t) — (ul (t), |
..., ur(t) ), |
с ограниченной |
вариацией [137] |
где верхняя грань берется по всевозможным U <.t\<.t2< . ... < .tn=
= Т при всех п = Г , |
2, |
... Заметим, |
что 1Агр 0, Т\ является подпрост |
||||||||||
ранством |
|
[t0, Г ]. |
|
|
|
|
|
и (t) : и (t) ЕU ПV(r) R0. Т\, |
|||||
Покажем, |
что |
множество |
Sc = {и = |
||||||||||
Q (и) < С} |
компактно |
в L[r) [г“0, Т]. |
Из |
Q (« )< C |
следует, что |
||||||||
|Щ (г) < С. |
Тогда для каждой функции и (t) ЕSc |
найдется точка т Е |
|||||||||||
Li |
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
Е[/0, Т] |
такая, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
| ы (т)| < --------- . Следовательно, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IU (о I < |
I и (т) I + |
I и (t) — и (т) I < |
|
|
||||||
|
|
<; |и (т) |+ V |
(ы) "С ■„ С- — \-С — М<Соо |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
:<« |
|
т — <о |
|
|
|
|
|
|
при всех |
t, |
£„•<£< Г , |
и всех u (t)£ S c . |
Тогда, |
считая для опреде |
||||||||
ленности ы(^) = |
0 вне отрезкй |
|
|
имеем |
|
|
|
||||||
Л |
|
|
|
|
|
/* Г-f-T |
|
л г /-{-Т |
|
|
т |
||
f |ц(* +т)— |
|
|
j V |
(и) dt = |
J [ \/ |
(ы) — V(«)]<# = |
|||||||
(о |
|
|
|
|
|
* |
|
|
<» |
<0 |
|
*• |
J |
|
|
|
|
|
г+т |
t |
|
г |
f |
|
|
|
|
=f v (u) dt — f V (ы) dt =
Г+Т |
t |
<0+T t |
|
|
|
|
j |
\/ (u)dt— |
j |
V |
(u) dt < |
2 (С + |
M) т |
7* |
^0 |
* |
U |
|
|
|
при всех т > 0 и всех w (t)^ S c. |
|
|
|
|
||
Таким образом, множество S c |
равномерно |
ограничено и рав |
||||
ностепенно непрерывно в норме |
L[r) [/0, Г ], |
следовательно, S c ком- |
||||
S 2} |
Метод регуляризации А. Н. |
Тихонова |
347 |
|
пактно в |
b\r)[tQ,T ] |
([88], стр. 324— 325). |
Если U* |
содержит хотя |
бы одну |
функцию |
u = u *(t)^ W > [t0, 7], |
то согласно теореме 2 |
|
функционал Q (и) является регуляризатором для рассматриваемой задачи. Более того, утверждение теоремы 2 здесь можно усилить следующим предложением: из последовательности {«й(0}> полу
ченной согласно (3), можно выбрать |
подпоследовательность |
|||
{«fcm(0}> |
которая всюду на |
сходится к некоторому u*(t)^ . |
||
е U*, — этот результат вытекает из теорем Хелли [137]. Заметим, |
||||
что если заранее известно, |
что множество |
U ограничено в7.1Г)[^0, Г], |
||
|
|
|
|
т |
то в качестве регуляризатора здесь можно взять |
Q(w) = V (“)• |
|||
|
|
множества S c |
|
^0 |
3. |
В теореме 2 от |
требовалась компактность |
||
смысле нормы В. Кроме того, в тецремах 1, 2 предполагалось су ществование минимизирующего элемента и*, принадлежащего об ласти определения Q (и), которая, вообще говоря, может быть бо лее узкой, чем область определения функционала J (и) (см. при меры 3—5). Эти ограничения для ряда экстремальных задач могут оказаться слишком стеснительными. Тогда при построении регуляризаторов может оказаться полезной теорема 3. Для ее фор
мулировки нам понадобится |
|
|
|
||
|
О п р е д е л е н и е 1. Функционал Q(w) |
называется равномерно |
|||
выпуклым на выпуклом множестве U. банахова пространства В, |
|||||
если существует функция б(т), |
определенная при т^ О , такая, что: |
||||
1) |
6 ( т ) > 0 |
при всех т > 0 , 6(0) = 0 ; 2) |
6(т)->-0 тогда и только тог |
||
да, |
когда |
т-»-+0; 3) Q (au+ |
(1— a)t>) |
(«) + (1— a )Q (a ) — |
|
— а (1 —а)6(||ы— о||) при всех и, |
tie!/ ; |
O ^ a ^ l . |
|||
|
Очевидно, равномерно выпуклый |
функционал является строго |
|||
выпуклым, и согласно теореме 2.1.1 такие функционалы могут до стигать своей нижней грани на выпуклом множестве не более чем в одной точке. Примером равномерно выпуклого функционала мо
жет служить любой сильно выпуклый |
функционал |
с б (т )= х т 2, |
|
x = c o n s tX ); |
другие примеры см. ниже. |
|
|
Т е о р е м а 3. Пусть U — выпуклое множество, |
выполнены все |
||
условия 1— 4 |
теоремы 1, и, кроме того, 5) J (и) слабополунепреры |
||
вен снизу на |
U, и U* — выпуклое множество; 6) |
0 (&->-оо); |
|
7) функционал Q(«) определен на U, |
слабополунепрерывен снизу |
||
и равномерно выпуклый на U; 8) множествоS c = {и : u^U , Q(u) ^
< Q |
слабокомпактно в В при любом C = c o n s t^ 0 (разумеется, |
||||
речь идет о случаях, когда S c |
непусто). Тогда |
последовательность |
|||
{% } |
сходится по норме В к |
тому |
элементу |
на |
котором |
достигается нижняя грань Q(u) на |
U* :Q (u *)= |
inf Q(u). |
|
||
|
|
|
|
«еи* |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Очевидно, цепочка неравенств |
(4) и вы |
|||
текающие из нее неравенства |
(5), |
(6) сохраняют силу и здесь.при |
|||
12*
348 |
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ |
[Гл. 8 |
|||||
любом |
Из (5) |
следует, |
что последовательность |
{«*} |
мини |
||
мизирует J {и) на U. Из |
(6) |
имеем |
|
|
|||
|
|
{uk} e s c, |
C = |
Q(u*) + s u p - ^ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
ak |
|
|
По |
условию 5) |
множество |
S c |
слабокомпактно. Поэтому из |
{и |
||
можно выбрать |
хотя бы одну |
подпоследовательность |
{«лт }, |
кото |
|||
рая слабо сходится к некоторому элементу U *^ S c^ U . Пользуясь слабой полунепрерывностью снизу функционала /(«), из (5) при k = k m-+oo имеем
/ (н‘) < |
J (;/’) < lim |
/ («j,т ) < У («*), т. |
е. J(u*) — J ( u ) , |
u'ZU*. |
|
m -» o o |
|
|
|
Так |
как £2(и) |
слабополунепрерывен снизу, то |
из (6) при |
|
k = k m-*-oo следует |
|
|
|
|
|
й (u*) < lim Q (ы*т ) < |
Q (и*) |
|
|
|
|
т ~ *о о |
|
|
при любом u*^.U*. Но й* также е U*, следовательно,
Q(u*) = inf Q(u). «€£/•
Однако П (и) — равномерно выпуклый функционал и на выпуклом множестве 0 * достигает своей нижней грани в единственной точке, совпадающей с й*. Поэтому вся последовательность {uh} сходится к й* слабо в В. Далее из определения равномерно выпуклого функ ционала имеем
0 < 6 ( [ Mft- ? I ) < 2 [ Q ( u * ) + |
Q ( « * ) ] - 4 Q ( i i l ± ^ ) > * = 1 , 2 .......... |
||||
Отсюда при *-»-оо |
следует |
6(||их— «*||)->-0, что возможно |
только |
||
при |ик—й* 11-9-0. А |
|
|
|
|
|
П р и м е р 6. Пусть J (и) |
— полунепрерывный снизу выпуклый |
||||
функционал на выпуклом замкнутом множестве U гильбертова про |
|||||
странства Я , пусть |
|
|
|
|
|
U* = |
{u :u £ U , |
J (и) = |
inf J (и) > — оо} |
|
|
|
|
|
uSU |
|
|
непусто. Положим |
Q(«) = ||u— й0\\2, |
где й0— заданный элемент Я. |
|||
Функционал Q(u) |
непрерывен и сильновыпуклый в Я . Слабая по- |
||||
лунепрерывность снизу-й(«) |
тогда вытекает из теоремы 6.1.3, сла |
||||
бая компактность |
множества S c — из теорем 6.1.2, |
6.1.10. |
Следо |
||
вательно, Q(u) = \\и— «о!2 является |
регуляризатором |
для |
задачи |
||
минимизации /(«) |
на U, и любая |
последовательность {uh} |
из (3) |
||
§ 3} |
Регуляризация |
при вычислении |
с погрешностями |
349 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
будет сходиться |
в норме Н к элементу й *е£/*, |
наименее удален |
||||||
ному от й0. Задавая |
й0 по-разному, можно получить приближения |
|||||||
к различным элементам из £/*. |
|
|
|
|
||||
|
Таким образом, в задачах оптимального управления |
из § 6.5 |
||||||
в качестве регуляризатора можно взять |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
Q (a )= J|u(f)|adf; |
|
|
|
||
|
|
|
|
^0 |
|
|
|
|
в задаче о нагреве стержня из § 6.6 — |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
П (и) = J |и (t) |2 dt; |
|
|
|
||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
в задаче о колебании струны из § 6.7 — |
|
|
|
|
||||
|
|
|
s !M |
= l« t e 0 C < iW |
|
|
|
|
|
Пр и ме р 7. |
Пусть J L(u) — полунепрерывный |
|
снизу |
выпуклый |
|||
функционал на |
выпуклом |
замкнутом |
множестве |
U пространства |
||||
L{p ] [tQ, Т] вектор-функций u(t) = (ы1(/), . . . , W Щ) |
с |
нормой |
||||||
|
M |
L(r) = |
(]\u(t)\PEr dt)l/p, |
1 < р < |
+ |
0о; |
|
|
пусть |
^ |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
U* — {и: и £ U, J (и) = inf J (и) > — оо) |
|
||||||
|
|
|
|
иеи |
* |
|
|
|
непусто. В качестве регуляризатора тогда можно взять
^ ( « ) = И л г ) при 1 < р < 2,
‘-р
Q(u) = \и\К) при р > 2 — + — = 1.
b |
р |
9 |
Равномерная выпуклость Q.(u) следует из неравенств Кларк сона [210]; слабая полунепрерывность снизу Q («) и слабая ком пактность множества S c вытекает из теорем 6.1.2, 6.1.3 и из .рефлексивности пространства Lpr)[^0, Т], 1 < р < + оо.
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ С ПОГРЕШНОСТЯМИ
До сих пор при изложении метода регуляризации мы предпо лагали, что значения функционала J (и) при каждом ие/7 вычис ляются точно. Однако на практике вычисления обычно проводятся приближенно и вместо точного значения J(u) получают приближен
