Файл: Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач.pdf

Тогда

последовательность

{ик} будет

минимизировать

функционал

J

(и)

на U : lim J (ик) = J*.

/г-» о о

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Прежде

всего заметим,

что J h(u) =

=

/(u)+a/t £2(и) ^ J ( u )

— oo при любом w et/ n st/ , поэтому

inf J k (u) = J*k >

— oo.

ueua

Далее по условию теоремы существует элемент и*

{]Ua. По­

вытекающую

из

определения

неотрицательности

£2(«),

<ха> 0 и условия (3):

J* = J (и*) ■< J (ик) •< J (ик) -f- а к £2 (ик) =

J k (ик) ■< Л +

eft

■С Jk (u*) + sk — J (ы*) +

a k ^ (u*) +

•<

■C J (uk) +

aA£2 (u*) +

£k,

k — 1, 2 ...........

(4)

Отсюда имеем

J* — J (u*) <

J (и*) <

J (a*) +

a k £2 (и*) +

eA (ft = 1,

2,

. . . ) ,

(5)

и поэтому J{u k) -> J* (k->op). ^

Т е о р е м а

2.

Пусть выполнены все условия 1—4 теоремы

1 и,

кроме того, 5) J (и) полунепрерывен снизу на

U\ 6)

еа/(xa-»-0

(&-*-.

—уоо)

^например, а к = у ,

sft =

k = 1,

2, . . .

7) множество

S c = {« :w ^ f/ n ,

£2(ы )<;С }

компактно

в 5 при лю­

бом С — const^O

(разумеется,

речь

идет

о случаях,

когда

S c не­

дельная точка и* последовательности

{«л}

принадлежит

мно­

жеству

U** = { и : и 6 U\

£2 (и) =

inf £2 (a)},

иеи*

причем если U** состоит из единственной точки и*, то p (ua,

и* ) —>-Q

(£-*-оо) .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из

цепочки

неравенств (4)

имеем

7 ( « а) + a hQ(uh) ^ : J (uh) -\-ahQ{u*) + E h, или

£2 (w/г) < £2 («*) +

—

k = 1; 2,

. . . ,

u*eU*(\Ua

(6)

Oft

342

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ НЕКОРРЕКТНО

ПОСТАВЛЕННЫХ

ЗАДАЧ

[Г а. 3

По условию 6

—^— >- 0 (£ —»оо),

поэтому

Q(«fe) < C = П (а*) +

sup -^ - < о о , £ = 1 ,2 ...........

ftSsl

dk

Следовательно,

{u * }^ S c, k = l ,

2,

... По условию 7 множество S c

компактно,

поэтому из {ик} можно выбрать хотя бы одну подпосле­

довательность

которая сходится по норме В к некоторому

элементу

и* 6 Sc СП U&CZ U.

Покажем, что й*<=17*. В самом деле,

пользуясь

полунепрерывностью

снизу

функционала

/(«),

из (5)

-при £

= £ m - v o o

имеем

J (и*) < J (Я*) <

lim J (икт) < / (и*),

т~+эо

т. е.

J ( u * ) = J * ,

или ц*е£У*.

В

силу

произвольности

предельной

для

любого

й ^ е!/*. По доказанному

Следовательно,

fl(«*) = inf Й(«),

т. е. й*еС/**. Если t/** состоит из единственной

«ес/*

.. .-

{ыь}->-ы* (k—>oo) в норме

точки и*, то

вся

последовательность

5 .

А

Приведем примеры функционалов й (а ) в различных функцио­

ных задач в соответствующих пространствах.

П р и м е р 1. Пусть требуется минимизировать полунепрерыв­

ную снизу функцию

/(и)

на замкнутом множестве

пусть

U* =

{ и : и 6

U, J (и) =

inf / («) > — оо}

и е и

непусто. Положим й (и ) =

|«— й0|2,

где ы0 — некоторая

заданная

точка из

Ет. Согласно теоремам 1,

2, как нетрудно видеть, Q(u)

является

регуляризатором.

Поскольку Q(«) непрерывен

в Ет, то

любая

последовательность {ик}, удовлетворяющая условиям тео­

рем 1,

2, будет иметь предельные точки м *е£/*, наименее удален­

ные от

«о среди точек U*. В частности, если

U* выпукло, то на U*

строго

(точнее, сильно) выпуклая функция

П(ы) = |и— м012 будет