Файл: Сельскохозяйственная районная планировка учеб. пособие.pdf

Условия нашей задачи могут быть записаны в более

2) X j> 0 .

Это базовая математическая модель экономической задачи по расчету оптимальной специализации совхозов и колхозов.

Для решения таких экстремальных задач, где усло­ вия и цель задачи выражены в виде линейных нера­ венств или уравнений, при наличии множества возмож­ ных (альтернативных) вариантов решения разработан ряд математических приемов или методов линейного программирования. Решение нашего примера проведем симплекс-методом, теория и практическое применение которого доступно изложены в специальной литературе. Выбор метода решения задачи обусловлен видом ее ба­ зовой математической модел«.

Основой решения экономико-математической задачи является развернутая экономико-математическая модель,

которая содержит всю информацию и в которой усло­

320

Здесь обратный знак перед коэффициентами обуслов­ лен тем, что в задаче отыскивается максимум линейной формы.

В уравнении (2.6) записано условие баланса посев­ ных площадей; уравнения (2.7) и (2.8) отражают соот­ ветственно баланс механизированного и конно-ручного труда в земледелии и животноводстве. В последнем урав­ нении (2.9) отражен баланс наличия и поступления кор­ мов и их затрат на животноводческую продукцию.

Экономический смысл дополнительных переменных заключается в том, что в некоторых случаях существует возможность получить максимум валовой продукции при неполном использовании какого-либо из производствен­ ных ресурсов. Эти переменные обозначают величину не­

ко-дни механизированного труда и т. д.

Для упрощения расчетов и их записи решение задачи симплекс-методом производится в симплексных табли­ цах по точному предписанию о выполнении в строго за­ данном порядке определенной цепи вычислений, назы­ ваемой алгоритмом. Алгоритм, который будет рассмат­ риваться, допускает сокращение в симплексных табли­ цах единичной матрицы.

Для решения задачи линейного программирования симплекс-методом необходимо знать одно из базисных решений соответствующей системы условий. Допустимое решение, где число ненулевых переменных не превосхо­ дит числа уравнений, называется базисным. При этом переменные, значения которых определяются, являются базисными, а неизвестные, заранее приравненные к ну­

образованном виде, то есть заполняем первую симп­ лексную таблицу (табл. 27).

В таблице 29 представлен первый вариант сочетания отраслей, когда производство фактически не осуществ­ ляется. Это допустимое базисное (опорное) решение за­ дачи, то есть такое решение, где все базисные перемен­ ные неотрицательны, а небазисные равны нулям. В ка­ честве базисных здесь приняты дополнительные пере­ менные хе, Хв, х7 и х$. Числовые значения небазисных пе­ ременных х и х2, Хз и Хі по определению равны нулям, а значения базисных переменных — соответствующим сво­ бодным членам. Ввиду того, что ресурсы хозяйства пока не используются, сумма валовой продукции (значение целевой функции), максимум которой должен быть най­ ден, равняется нулю (нулю равны небазисные основные переменные задачи).

Решение задачи по расчету оптимального сочетания отраслей сельскохозяйственного предприятия симплексметодом состоит в том, что первый вариант сочетания отраслей постепенно, путем упорядоченного перебора опорных планов улучшается. Если задача составлена правильно и имеет решение, то за определенное число шагов (итераций) будет получен оптимальный план (решение). При этом следует отметить, что любой на­ бор неотрицательных переменных х ь х2, ..., xs, удов­ летворяющий ограничениям (2.6) — (2.9), считается до­ пустимым решением (планом) нашей задачи. Оптималь­ ным планом называется такое допустимое решение, ко­ торое обеспечивает значение целевой функции (2.10) не меньшее, чем любое другое допустимое решение.

322

Не останавливаясь на подробностях теории и техни­ ки расчета, отметим, что улучшение первого исходного варианта плана осуществляется путем введения небазис­ ных переменных (здесь: х и х2, х3 и х4) на место базис­ ных. Дальнейшие вычисления проводят также в табли­ цах, причем номера строчек этих таблиц определяются номерами базисных переменных, а номера столбцов — номерами небазисных переменных. Строчка линейной формы считается нулевой или индексной (Zj—cj) строч­ кой, а нулевым столбцом — столбец свободных членов.

Наличие в индексной строке отрицательных коэффи­ циентов свидетельствует о неоптимальности первого ва­ рианта плана задачи. Для составления второй симплекс­ ной таблицы, в которой будет представлен улучшенный вариант сочетания отраслей, необходимо на основе ко­ эффициентов, помещенных в нулевой строке, определить ключевой столбец, то есть столбец, в котором имеется наибольшее по абсолютной величине неположительное число. В нашем примере таким числом является 560, и поэтому столбец х3 считается ключевым, а х3 целесооб­ разно из небазисных переменных ввести в число базис­ ных (основных).

Затем определяют, какую из базисных переменных следует вывести, чтобы на ее место записать х3. Для этого свободный член в каждой строке таблицы 27 де­ лят на соответствующий положительный коэффициент (элемент) при х3 из ключевого столбца и выбирают наи­ меньшее частное. Строка, содержащая наименьшее не­ отрицательное частное, называется ключевой.

В нашем примере таковой является, как нетрудно убедиться, строка х% таблицы 27. Переменные х3 и х%\ в новой симплексной таблице 28 меняются местами.

Экономический смысл всей этой вычислительной про­ цедуры состоит в том, что мы приступаем к расчету такого нового варианта сочетания отраслей в хозяйстве, который, исходя из наличия кормов, обеспечил бы мак­ симальное развитие скотоводства. Чтобы провести пере­ мещение переменных х3 и х3, составляют вторую симп­ лексную таблицу 28.

Введем обозначения: ац — элементы (коэффициенты) исходной первой симплексной таблицы; а'ц (со штри­ хом) — числа новой таблицы, где і — номер строки (ог­ раничения), / — номер столбца (переменной). Ключевой столбец обозначим через h, а ключевую строку — через г.

Число, которое лежит на пересечении ключевого столбца и ключевой строки, считается ключевым числом (в пер­ вой симплексной таблице оно выделено). В общем случае ключевое число (ключевой элемент) запишется как arh-

Коэффициент, стоящий на месте ключевого числа в новой симплексной таблице, называется главным (иног­

главный коэффициент выделен).

Путем умножения главного коэффициента на все ос­ тальные числа ключевой строки получаем соответствую­ щие элементы в главной строке, то есть в той строке, которая занимает в новой таблице место ключевой.

В общем случае формула запишется так:

а в нашем примере числа главной строки таблицы опре­ деляются таким образом:

а'зо= а'за• а8о=0,01818 • 8000 = 145,4; « « “ Ом-ав^О,01818- (-0,26) =-0,004727.

324