Файл: Гулиа Н.В. Инерционные аккумуляторы энергии.pdf

~

= - R

sin Є sin Ф с о 2 + R cos

Є cos

O U > W P +

ut'J

-f-R cos 9 sin Ф ~ -

-f-R cos 0 cos

OcoWp—

—R

sin 0 sin d>Wp2+R

sin

0 cos

Ф

.

(169)

Теперь,

считая скорость

процессии

постоянной

^ ^ - P = o j , -

рассмотрнм

уравнение

(169)

применительно

к

момен­

ту времени,

когда ось собственного в р а щ е н и я

Z'

совпадает

с

осью Z. В

этот момент угол Ф равен нулю, а

с о с т а в л я ю щ и е

ускорения

материальной частицы по осям X и Y

находятся

в

плоскости

іма-ховика

и обусловливают

•возникновение

в н е м

сается

составляющей

ускорения, направленной

по оси Z, то

она как

раз и являетс я

единственным

ускорением,

которое

д о л ж н о создаваться внешним прецессионным моментом .

И з

уравнени я

(169) получим, что при

у к а з а н н ы х

условиях

это

ускорение

равно:

^ - = 2 R c o s 6 a > W p .

(170)

Д а н н а я с о с т а в л я ю щ а я

ускорения

материальной

частицы

представляе т собой кориолисово ускорение.

Сила,

в ы з ы в а ю щ а я

это ускорение

материальной

частицы

массы dm, д о л ж н а

быть:

dF = dm - ^ - 2 dmR cos

0coWp .

(171)

Момент этой силы относительно оси Y определим умно­

жение м

ее на расстояние

R cos 0 частицы от оси .Y:

dL==dFR cos 0 = 2 dmR 2 cos2

©соWP .

(172)

Е с л и принять, как это было сделано раньше, что вся

мас­

са М маховика равномерно распределена по окружности

ра ­

диуса R, то м е ж д у

элементарной массой dm и бесконечно

ма­

л ы м углом

d© существует с л е д у ю щ а я

зависимость:

М

dm

=

е в .

(173)

J L =

— M R W j ,

cos2

0 d 8 ,

(174)

которое после

интегрирования

по

всей

окружности,

т. е. от

0 =

0 до 6 =

2я,

примет вид:

2-

L

=

- L M R 2 ( B W P \ c o s 2 6 d 0 = MR 2 i . )W i ) .

(175)

о

Этот результат можно было бы получить

т а к ж е

и из

уравнения

(172)

без

интегрирования,

р а с с м а т р и в а я

попар­

но

м а т е р и а л ь н ы е

частицы, расположенны е

под углом

90° друг

к

другу. К а ж д о й

материальной

частице

массы

dnii

с

поляр­

ным

углом

9

соответствует д р у г а я

частица

равной

массы

dm 2

с полярным

углом

0 + 9 0 ° . Момент

d L i 2 , необходимый

для

создания

д в и ж е н и я

этой п а р ы

частиц

(dmi и d m 2 ) ,

с.тре­

буемым ускорением определим по формуле:

d L 1 2 = 2 R 2 u ) W P

[dm , cos2

0 + d m 2 c o s 2 ( 0 + 9 0 ° ) ]

=

= 2 R 2 c o W p ( d m 1 c o s 2 0 + d m 2

s i n 2

0 ) = 2 R 2 ( o W p d i n .

(176)

Та к ка к вся масса М маховика слагается из масс ука­

занных спаренных частиц, то

полный прецессионный

момент

L =

2 R 2 ( o W p - ^ - = M R 2

c o W P ,

(177)

т. е. равен моменту, определяемому уравнением

(175).

Уравнение

(175),

выведенное на основании

второго

зако­

на

Ньютона,

в ы р а ж а е т

основной

закон прецессии.

§

2. Гироскоп

в карданном

подвесе

Р а с с м о т р и м гироскоп в

к а р д а н н о м

Подвесе

(рис. 97).

Воспользуемся

основным законом

прецессии,

чтоб

выяснить,

как будет прец'ессировать такой гироскоп при действии

на

него

внешнего

момента . Н а рис. 97 ось Z

совпадает

с

осью

собственного

в р а щ е н и я маховика

(ротора

гироскопа),

ось

X — с осью

в р а щ е н и я

внутренней

р а м к и

подвеса

и

ось Y —

с осью в р а щ е н и я наружной рамки подвеса.

Внешний

момент,

действующий

относительно

оси

враще -

ми,

л е ж а щ и м и

в плоскости

X — Y . В

результате действия 'Мо­

мента

на

составляющую

Н cos

Ф гироскоп, согласно

осноп'

ному

закону прецессии,

будет

прецессировать вокруг

оси

ї

со

скоростью

Подобным

ж е

образом

момент,

приложенный

к

наруж ­

ной

р а м к е

по

оси

Y, действуя на с о с т а в л я ю щ у ю Н cos

Ф, вы­

зывает прецессию

гироскопа

относительно оси X CG

скоростью

В этом случае вектор момента

L п а р а л л е л е н

составляю­

щей Н sin Ф кинетического

момента

и поэтому не

может

из­

через L r ,

то д л я предотвращения

поворота

наружной

рамки

величина

L r cos

Ф д о л ж н а

быть

равна

L.

В е р т и к а л ь н а я

со­

с т а в л я ю щ а я

L,. sin Ф

будет

восприниматься

подшипниками

наружной рамки .

Р а с с м о т р и м явления, возникающие при изменении ско­

рости собственного

в р а щ е н и я

гироскопа.

О б о з н а ч и м :

L„, —

момент,

п о р о ж д а е м ы й

гиромотором

при

разгоне

ротора;

L y — с о с т а в л я ю щ а я

L m

по

осп

наружной р а м к и

карданова

подвеса;

L z - — с о с т а в л я ю щ а я

L m

по

оси

Z,

воспринимаемая

подшипниками наружной р а м к и к а р д а н о в а подвеса.

Используем

выражение

L ^ L y ^ L ^ s i n

Ф.

у

(І81)

Подставив

уравнение

(181)

в уравнение

(180), получим':

или

w

" - - & 5 r ! '

( , 8 2 )

1

Ф

W p

x

=

-

b ^

_ .

(183)

Уравнение

(183)

показывает,

что

скорость

прецессии,

с о з д а в а е м а я

моментом

гиромотора

при

разгоне

ротора,

пря­

мо пропорциональна

тангенсу

угла

отклонения

внутренней

р а м к и от

ее нормального

положения .

§

3.

Нутация

Колебательное движение оси

гироскопа

(или

его ну­

тация)

обусловлено переходом энергии

вращательного

д в и ж е ­

ния

от

одной оси к а р д а н а подвеса

к

другой

его оси. Оно

гашено силами

трения в подшипниках

к а р д а н о в а подвеса

'или

за счет какого

-либо другого процесса,

способствующего

рас ­

ной, частота нутации д о л ж н а быть

высокой. Высокая частота

нутации наблюдается ,в тех случаях, когда численное

значение

кинетического момента Н велико

по сравнению со

значения­

Чтобы определить частоту нутации f„/ рассмотрим

про­

стой трехстепенный гироскоп. Пользуясь основным

законом

прецессии, м о ж е м з а п и с а т ь ч с л е д у ю щ и е уравнения:

(184)

(185)

где L.v — момент,

действующий

относительно

оси

X;

L y —

момент,

действующий

относительно

оси

Y;

W* — скорость

прецессии относительно оси X; W y

— скорость

прецессии от­

носительно

оси

Y;

Н — кинетический

момент

гироскопа.

В уравнении

(185) перед

L y поставлен минус,

так

к а к поло­

жительными

считаются

только

те

величины,

направления

векторов которых, в соответствии с правилом

буравчика,

совпадают с положительным направлением какой - либо

из

координатных

осей.

Обозначим:

L x — момент инерции

ротора

и внутренней

р а м к и к а р д а н о в а

подвеса

относительно

оси X;

Lv—момент

инерции ротора, внутренней и наружной

р а м о к

к а р д а н о в а

подвеса

относительно

оси Y; f n — частота

нутации.

По

второму

закону Ньютона

д л я вращательного д в и ж е ­

ния имеем:

U=lxWx,

(186)

L v

= lyWv.

(187)

О б ъ е д и н я я

уравнения

(184)

и

(186), а т а к ж е

уравнения

(185) и

(187),

получим: