Файл: Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие.pdf

Выполним следующий опыт. К неподвижной стойке при­ крепим два динамометра и к ним привяжем нити, на кото­ рых подвесим деталь, например шатун двигателя внутрен-

Рис. 38. Равновесие тела, на которое действуют три силы:

а, г — схемы подвески детали, б, д — схемы действия сил, в, е — сложение векторов сил

него сгорания. Точки А' и В' крепления динамометров сна­ чала расположим так, чтобы расстояние А 'В' между ними было меньше Ох0.2, равного расстоянию между Центрами отверстий в шатуне (рис. 38, а). В,этом случае на тело дей-

55

4

ствуют три силы: сила тяжести Р1 и две силы F'2 и Р3 со стороны нитей, направленные под углом друг к другу (рис. 38, б). Мы знаем соответствующее условие равновесия: каждая из сил равна по величине и обратна по направле­ нию равнодействующей двух других сил. На рис. 38, в

намометров, стремясь к тому, чтобы положения обеих нитей приближались к вертикальному. Показания динамометров начнут уменьшаться. Силы, действующие на тело со сто­ роны нитей, уменьшаются по величине и изменяются по направлению. На рис. 38, а, б не штриховые линии показы­ вают все изменения, которые произошли после перемеще­ ния точек приложения динамометров в места Л " и В". За­ метьте, что точка пересечения О" всех трех сил отодвину­

т. е. нити будут расположены вертикально. При этом дина­ мометры покажут величины сил F2 и F3, действующих со стороны нитей на деталь, а сами силы окажутся парал­ лельными друг к другу. На рис. 38, е из одной точки пост­ роены все векторы сил. Для наглядности на рисунке век­ торы F2 и F3 смещены относительно векторов F\ и F[. Сила Fx уравновешивает равнодействующую F[. Равнодей­

Из сравнения рис. 38, б и 38, д также следует, что точка пересечения трех параллельных сил находится бесконечно далеко от первоначальной точки О' пересечения сил.

Есть ли в проведенных опытах и рассуждениях что-то новое, отличающееся от уже известного нам? Да, есть. В случае равновесия тела, на которое действуют силы, направленные под углом друг к другу, можно найти равно­ действующую каких-либо двух сил и ее линию действия, сложив векторы сил (см. рис. 38, б и в ) . В случае равнове-

56

сия тела, на которое действуют параллельные силы, сложив векторы двух сил, можно найти вектор равнодействующей силы (величину и направление) — (рис. 38, е), но положе­ ние линии действия равнодействующей остается пока неиз­ вестным.

Для отыскания линии действия равнодействующей па­ раллельных сил воспользуемся условием равновесия тела, способного вращаться вокруг неподвижной оси: алгебраи­ ческая сумма моментов всех сил, действующих на тело, относительно этой оси должна быть равна нулю.

Найдем.^ например, линию действия равнодействующей сил F2 и F3, Величина сил F2 и F3 измерена с помощью динамометров. Известно также, что сила F2 приложена в точке Ох и сила F3 в точке 02 . Обе силы параллельны и на­ правлены вверх по вертикали. Примем сначала, что осью, вокруг которой может повернуться шатун, является ось, проходящая через точку 02 . Действительно, если обрезать левую нить, то шатун начнет поворачиваться вокруг точ­ ки 02. Момент силы F3 относительно оси 0 2 равен нулю,

Но осью, вокруг которой возможен поворот шатуна, может быть и ось, проходящая через точку 0Х . Если обрезать правую нить, то шатун начнет поворачиваться вокруг т о ч к и ^ . Для этого случая алгебраическая сумма моментов сил F\ и Р3 равна:

Из равенства (15) видно, что точкаС делит расстояние Ох02 между точками приложения сил F2 и F3 в отношении, обратном отношению величин сил F2 и F3. В то же время через точку С проходит линия действия силы Fx и равно­ действующей F'x = F2 + F3, так как Fx является уравно-

57

Вешивающей силой. Силы F\ и F't равны по величине и на­ правлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис. 39, а).

Так как любую из трех сил Flt F2 и F3, действующих на тело, находящееся в равновесии, можно рассматривать как уравновешивающую две другие силы, то возможны еще два случая. Пусть известны параллельные силы Fx и F\, напра-

Рис. 39. Варианты (а, б, в) определения линии действия равнодейст­ вующих двух параллельных сил

вленные в разные стороны. Равнодействующая этих парал­ лельных сил Р'г = Fx + ^2 направлена в сторону большей силы Fx (рис. 39, б). Линия действия силы F'z проходит через точку 02 , причем справедлива пропорция, следующая из равенства (13):-

O A / V

Равнодействующая F3 отстоит от известных сил Fy и Р2 на расстояниях 02 С и Ох02, отношение которых равно об­ ратному отношению величин сил Fx и F.2. Совершенно ана«

58

(рис. 39, в), линия действия которой проходит через точку 0Х .

В том случае, когда на тело, находящееся в равновесии, действует много параллельных сил (больше трех), то любую из этих сил можно рассматривать как уравновешивающую все остальные силы, которые, в свою очередь, можно заме­ нить одной равнодействующей. Для нахождения общей равнодействующей сначала находят равнодействующую каких-либо двух сил, затем складывают ее с третьей силой и т. д. При этом каждый раз определяют линии действия всех последовательно получаемых равнодействующих: сна­ чала двух сил, затем трех сил и т. д., применяя для этого способы, рассмотренные выше. Указанный способ последо­ вательного сложения сил прост, но достаточно громоздок.

С целью упрощения вычислений предпочитают приме­ нять условия равновесия, выраженные в аналитической форме. Проведем одну ось параллелыго данным силам, а другую ось перпендикулярно к ним. Проекция каждой из сил на перпендикулярную к ним ось равна нулю, а проек­ ция каждой из сил на параллельную им ось равна величине данной силы, взятой со знаком плюс или минус в зависимо­ сти от ее направления. Одним из условий равновесия тела, на которое действуют параллельные силы, должно быть равенство нулю алгебраической суммы всех сил, что озна­ чает равенство нулю их равнодействующей 2 7^ = 0.

Однако, как показывает опыт, одного этого условия не­ достаточно для того, чтобы телонаходилось в равновесии под действием параллельных сил Flt F2, Fs, Fi(pm. 40,a). Выясним, почему так происходит. Выделим любые две силы

59

из числа действующих сил. Этот выбор может быть совер­ шенно произвольным, например выделим силы F\ и F2. Сложим все остальные оставшиеся силы F3, Fit и най­ дем их равнодействующую R":

Рис. 40. Равновесие тела под действием произвольного числа параллельных сил:

был подробно разобран выше. Как было установлено, для равновесия тела необходимы вполне определенные соотно­ шения между величинами сил Flt F2 и R" и расстояниями между их линиями действия.

Кроме_условия, требующего, чтобы равнодействующая сил Flt F\ и R" была равна нулю, необходимо, чтобы и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно

60

двух произвольно выбранных осей, проходящих через

Доказательство этого утверждения приводить не будем. Отметим только, что уравнения равновесия (16) и (17) рав­ носильны друг другу.

С помощью полученных уравнений равновесия решаются все задачи о равновесии тела, на которое действует произ­ вольное число параллельных сил. Ниже приведено решение задачи о равновесии тела.

З а д а ч а 2. Балка длиной 10 м закреплена в опорах А к В, расположенных на расстоянии 7 м друг от друга (рис. 41, а). На балку в точке D действует сила F = 5000 Н, направленная вертикально вниз. Сила тяжести Р = 2000 Н приложена в середине балки. Определить силы реакции опор А и В.

61