Файл: Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 186
Скачиваний: 5
Отсюда видно, что за единицу скорости принимают ско рость такого движения, при котором за единицу времени тело перемещается на расстояние, равное единице. В ка честве основной единицы длины принят 1 метр, а в качестве основной единицы времени — 1 секунда (см. § 35). Поэтому единицей скорости является 1 м / с = 1 м/1 с и размерность скорости М = [м/с]. Принимая в качестве единиц длины величины, большие метра, например километр (км), или меньшие метра, например миллиметр (мм), и другие еди ницы времени — час (ч), минуту (мин), можно получить другие единицы скорости: 1 км/ч, 1 м/мин, 1 мм/мин.
В зависимости от того, какая решается задача, с какими величинами мы имеем дело, нужно применять соответствую щие единицы скорости. Для решения задач о движении автомобиля, самолета, поезда целесообразно использовать единицу скорости 1 км/ч. В процессе обработки деталей на металлорежущих станках скорости резания удобно опре делять в м/мин, а скорости подач в мм/мин.
В общем случае для решения любых практических задач, связанных с прямолинейным равномерным движением точки, нужно использовать уравнение равномерного движения. Это уравнение представляет собой связь между величинами перемещения, скорости и времени. Измеряя расстояние S0 от начала отсчета до положения точки в момент времени tQ, когда начинает рассматриваться движение, и расстояние S от начала отсчета до произвольного положения точки в мо мент времени t, получим величину перемещения AS точки AS — S — S„ и промежуток времени At = t — t0. Вос пользуемся определением величины скорости (25а) и запи шем величину перемещения: AS = v-At. Или
S~S0 |
= v(t-t0) |
и S = S0 + v(t-t0). |
(26) |
Эта зависимость и называется у р а в н е н и е м |
р а в |
||
н о м е р н о г о |
д в и ж е н и я . |
|
|
В большинстве практических случаев за начало отсчета расстояний можно принять положение точки в начальный момент времени. Такое допущение означает, что расстояние S0 = 0. Логично и дальше упростить задачу: начать отсчет времени с того момента, когда точка находится в месте начала отсчета расстояний, т. е. принять t0 = 0. Тогда уравнение равномерного движения принимает простой вид:
S = vt. |
(26а) |
4* |
99 |
Точка, |
движущаяся |
равномерно и прямолинейно, прохо |
|||
дит путь |
S, |
равный |
произведению |
величины |
скорости v |
на время |
t, в |
течение |
которого этот |
путь |
пройден. |
В случае равномерного движения вдоль прямой вместо векторов перемещения и скорости можно рассматривать алгебраические значения величин перемещения и скорости. Величины Д5 и v считают положительными, если направ ление движения совпадает с выбранным положительным направлением прямой. При движении в противоположную сторону AS и у считают отрицательными.
§ 38. Графики пути и скорости равномерного движения
Чтобы полностью охарактеризовать прямолинейное рав номерное движение точки, достаточно воспользоваться уравнениями (26) и (26а) предыдущего параграфа. Однако этот способ не является единственным. Например, удобно использовать графические изображения.
На рис. 79, а показан график, выражающий зависимость скорости от времени для стола продольно-строгального станка. По горизонтальной оси графика (оси абсцисс) отложено время t, а по вертикальной (оси ординат) — вели чина скорости v. Любые величины t и v представляются в виде отрезков, отложенных по соответствующим осям.
Пусть скорость стола |
при рабочем ходе |
равна |
vPw х . |
Так |
|
как ордината OA, отложенная на графике, должна |
соответ |
||||
ствовать действительной величине |
скорости &р_х , то для ее |
||||
получения необходимо |
умножить |
длину |
отрезка |
OA |
на |
масштаб \iv скорости : vр. х = Мч>" OA.
Масштаб скорости \iv показывает, сколько единиц ско рости содержится в единице деления оси ординат. На прак тике графики обычно строят на бумаге с миллиметровой сеткой. График должен быть удобным для работы и хра нения. Поэтому, как правило, максимальные отрезки имеют длину порядка десятков и сотен миллиметров. Исходя из перечисленных соображений, за единицу деления осей координат целесообразно принять 1 мм. Размерность масштаба скорости получим, разделив размерность скорости
на единицу деления оси ординат. Например, |
= |
С |
|
ММ
м
мин
И Т. Д .
L ММ
100
Для рассматриваемого примера принято OA = 15 мм и
м
Теперь легко определить действительную величину скорости рабочего хода vp- х = \iv-OA = 2-15 = 30 м/мин.
•б)
Рис. 79. Графики зависимости скорости v от времени t (а) и пути S от времени t (б) для стола продольно-строгального станка
По горизонтальной оси графика (см. рис. 79, а) отложены отрезки, пропорциональные времени /. Чтобы определить
действительный |
промежуток времени tlt |
нужно умножить |
||
длину отрезка |
по |
оси |
абсцисс, например |
ОБ±, на масштаб |
времени ц(, т. |
е. |
tx = |
\1ГОБ±. |
|
Размерность масштаба времени найдем, разделив еди ницу времени на единицу деления оси абсцисс, например = [с/мм]. Для рассматриваемого примера принято
101
0Бг |
= |
40 мм и |
\it |
— 0,1 |
с/мм. |
Определим |
продолжитель |
|||
ность |
рабочего хода: tp х |
= цеОБх |
= 0,1 -40 |
= 4 с. |
||||||
|
Из графика |
следует, |
что для любого момента времени |
|||||||
в |
интервале 0 < |
t <С tx |
скорость |
рабочего |
хода |
остается |
||||
неизменной и равной ор - х |
= 30 м/мин. При рабочем ходе стол |
|||||||||
продольно-строгального |
станка |
движется |
прямолинейно и |
|||||||
равномерно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
После того |
как закончится |
рабочий |
ход, стол |
станка |
|||||
изменяет свое направление движения и перемещается в про тивоположную сторону. Это означает, что направление скорости холостого хода будет противоположно направле нию скорости рабочего хода. Пусть величина скорости холостого хода равна vx_х = 40 м/мин. На графике скорости для характеристики холостого хода нужно отложить отрезок
5,^2 = — = ? = 20 мм
в сторону отрицательных значений скорости (вниз от оси абсцисс).
В интервале /2 < t < t2 скорость vx_х не изменяется. Стол станка движется равномерно и прямолинейно. Затем холостой ход опять сменяется рабочим, и цикл повторяется.
Большое удобство графического изображения состоит в том, что оно позволяет сразу видеть, когда движение совершается быстро и когда медленно. Чем больше скорость, тем больше соответствующая ордината на графике, выра
жающем зависимость скорости |
от времени. |
Отрезок |
БХА2 |
|||
больше отрезка БхАх или Б2А3. |
Величина |
скорости |
холо |
|||
стого |
хода |
станка |
больше величины скорости рабочего |
|||
хода: |
-ух.х > |
% х . Но |
этим не |
исчерпываются возможности |
||
построенного графика. С его помощью можно определить путь, проходимый столом станка за любой промежуток времени. Выберем произвольный промежуток времени,
например, равный |
А/ = |
1 с в начале рабочего хода. Вели |
|||||||
чина |
скорости рабочего |
хода |
пропорциональна |
отрезку |
|||||
Б2А3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вспомним, что величины перемещения, скорости и про |
|||||||||
межутка времени связаны соотношением (25а): AS |
= v-A.t. |
||||||||
Подставим в |
это |
уравнение |
значения |
v = |
vp_х и |
At: |
|||
|
|
vP.x = pv Б2А3; At = n r |
Б2Б3; |
|
|||||
|
|
AS = iiv |
• [if Б2А3 • |
Б2Б3. |
|
|
|||
Произведение |
величины |
отрезка |
Б2А3 |
на |
величину |
||||
отрезка Б2БЭ |
есть площадь |
/ |
прямоугольника |
Б2А3АЛБ3. |
|||||
Эта |
площадь |
заштрихована |
на |
рис. 79, а. |
|
|
|||
102
Произведение масштабов скорости \iv и времени \х( обозначим [i's = u^-u./ и назовем полученную величину Us масштабом перемещения или масштабом пути. Теперь перемещение AS представим в виде AS = \i's-f.
Из этого уравнения следует, что величина перемещения пропорциональна площади /, выделенной на графике ско рости. Коэффициент пропорциональности равен масштабу пути и,,.
Для |
рассматриваемого |
примера |
|
|||
|
/ = £ 2 Л 3 |
- £ 2 £ 3 |
= 1 5 |
10=150 |
мм2 ; |
|
|
ii's — \xv • |
\it |
= 2 6 Q'' = |
0,00333 |
м/мм2 . |
|
При |
определении масштаба пути \i's выполнен перевод |
|||||
масштаба скорости \iv |
из |
единиц [ j i j = |
в единицы |
|||
м
с Для этого достаточно перевести минуты в се-
мм
мм
кунды: щ, = 2 — = 2. J JL
мм_ 60 мм
Теперь можно определить величину пути, пройденного столом станка при рабочем ходе за время, равное 1 с:
ASi = us • / = 0,00333 -150 = 0,5 м.
Аналогично вычислим величину пути, пройденного за любой промежуток времени. Например, за время рабочего хода будет пройдено расстояние: А5 = ц'3 •/ = \i's • OA • ОБх = = 0,00333-15-40 - 2 м.
При равномерном движении площадь, ограниченная графиком зависимости скорости от времени, а значит, и путь изменяются со временем. При скорости рабочего хода
иР . х = |
30 м/мин за |
1 с стол перемещается на 0,5 |
м, за 2 с — |
|||
на 1 м и т. д. Запишем эти данные в таблицу: |
|
|||||
Время |
/ в с |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
Пройденный путь |
0 |
0,5 |
1 |
1,5 |
2 |
|
5 в |
м |
|||||
Теперь можно построить новый график, выражающий зависимость пройденного пути 5 от времени t. Как мы уже знаем, для построения графика нужно выбрать масштабы
103