Файл: Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие.pdf

по осям координат. Зададимся масштабом времени \it — = 0,1 с/мм и масштабом пути \xs = 0,1 м/мм. Обратите

внимание на то, что сейчас строится новый график и для • его построения выбираются новые удобные масштабы. Величину масштаба времени ц{ выберем равной величине масштаба времени, принятой при построении графика 1 скорости. Это облегчит сравнение графиков скорости и пути. Масштаб пути \is = 0,1 м/мм представляет новую

пропорциональна соответствующей площади под графиком скорости.

Переведем значения t и S, указанные в таблице, в длины отрезков по осям абсцисс и ординат, применив выбранные

масштабы: величина абсциссы равна — мм и величина

ординаты — мм. Полученные значения запишем в таблицу:

По этим данным строим график, выражающий зависи­ мость пройденного пути S от времени /. На рис. 79, б изоб­ ражена указанная зависимость для скорости рабочего хода станка wp х = 30 м/мин. Кружками показаны точки, соот­ ветствующие данным таблицы. Все точки находятся на одной прямой ОВх. Конструкция продольно-строгального станка выполнена так, что в момент времени tx происходит изменение направления движения. Расстояния, отсчиты­ ваемые от начального положения стола, начинают умень­ шаться. Поэтому график пути для холостого хода, осуще­ ствляющегося с постоянной скоростью vx_х = 40 м/мин, будет изображаться прямой Bj.B2 . Когда закончится один цикл перемещения стола, результирующее перемещение окажется равным нулю. Стол станка возвратится в исход­ ное положение. На графике пути это соответствует времени 4, когда ордината точки Вг равна нулю. Затем цикл работы станка повторяется, повторяется и график пути с измене­ нием времени. Прямая В2В3 соответствует новому рабочему ходу и т. д.

104

Выше мы видели, что по графику зависимости скорости от времени можно судить о величине скорости и ее направ­ лении в любой момент времени, а также о пройденном пути. Теперь рассмотрим построенный график зависимости прой­ денного пути от времени. Можно ли по этому графику установить величину скорости? Для ответа на заданный вопрос рассмотрим наклон графика пути, его «крутизну». Выберем на графике (см. рис. 79, б) две произвольные точки.

отрезков и физические величины связаны между собой посредством масштабов:

Величины этих двух отрезков определяют наклон гра­ фика или его крутизну. Любой наклон графика по отно­ шению к выбранным осям координат количественно можно характеризовать или углом, или одной из тригонометри­ ческих функций угла. В нашем случае отношение двух отрезков Д3Д2 к ДХД3 есть тангенс угла а± наклона (см. рис. 79, б):

ДзДъMills = tgai.

Выполним преобразования с учетом соотношений, приве­ денных выше:

В общем случае для любой задачи, в которой точка или тело движутся равномерно, величина скорости v пропор­ циональна тангенсу угла ее наклона графика, выражаю-

105

щего зависимость перемещения AS от времени t, к оси абсцисс:

v = - tea .

Иногда сокращенно говорят так: величина скорости пропорциональна наклону или «крутизне» графика пути.

Коэффициент пропорциональности равен отношению Ь?_

масштабов пути и времени.

Для рассматриваемого примера определим по рис. 79, б

В заключение напомним, что графики пути и скорости являются наглядным выражением аналитической зависи­ мости — уравнения равномерного движения. Все задачи, связанные с равномерным движением, могут быть решены или аналитически, или графически. Предпочтение нужно отдать тому способу, который в данных конкретных усло­ виях проще и нагляднее.

§ 39. Неравномерное движение точки

Выше был рассмотрен самый простой случай движения, когда скорость для любого момента времени оставалась постоянной. Теперь обратимся к более сложному случаю, когда скорость может изменяться со временем. Пусть вектор скорости изменяется только по величине, а направление его сохраняется. Условие постоянства направления вектора скорости означает, что точка движется прямолинейно. Траектория точки и в этом случае будет прямой линией.

Однако, зная траекторию, мы ничего не можем сказать о том, быстро или медленно проходила точка отдельные участки траектории, останавливалась она или нет, и т. д.

Величина средней скорости имеет тот смысл, что если бы точка двигалась равномерно со скоростью 0с р , то перемеще­ ние AS за промежуток времени будет тем же самым, что

106

и при действительном движении точки с переменной ско­ ростью. При неравномерном движении скорость точки будет разной в каждом месте траектории и в каждый момент времени. Однако, если выбрать промежуток времени А/ очень маленьким, то можно считать, что в данный момент

Одним из самых простых примеров' неравномерного прямолинейного движения является свободное падение тела малых размеров, которое можно рассматривать как мате­ риальную точку. Пусть выполнены измерения расстояний S, пройденных точкой, начавшей движение из состояния покоя, и времени /. Численные значения S и / приведены ниже:

уменьшать промежутки времени. За промежуток времени от / = 0,5 с до t = 1 с, т. е. Л/2 = 0,5 с, перемещение равно

= 7,355 м/с.

Аналогично подсчитаем vcp и для остальных интервалов времени:

от / = 0,9 с до / = 1 c:A/ s = 0,l с; AS3 = 4,9033-

107

мится отношение -г— при неограниченном уменьшении At.

§ 40. Ускорение в направлении траектории

При неравномерном движении точки ее скорость непре­ рывно изменяется. Величина, по которой судят об измене­ нии скорости, называется у с к о р е н и е м . Пусть в момент

с направлением вектора изменения скорости. В слунае прямолинейного движения векторы v и Av направлены вдоль прямолинейной траектории. Вектор ускорения в на­ правлении траектории обычно отмечают индексом «т», т. е.

108