Файл: Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие.pdf

пишем равенство (53) в другом виде:

Ньютона мы установили следующий факт: отношение ~

величины силы F, вызывающей движение тела с ускорением, к величине а этого ускорения было всегда одним и тем же во всех случаях движения тела, когда мы пренебрегали раз­ мерами и формой тела, т. е. рассматривали его как матери-

альную точку. Причем отношение — характеризовало физи­ ческое свойство тела—его инертность. И когда мы ввели поня­ тие массы т тела, как меру инертности тела, то это позволило

F

выразить основной закон механики в виде равенства — = т. При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси отношение-^- величины момента силы М, вызывающего вра­ щение тела с угловым ускорением, к величине е этого ускоре­ ния есть также вполне определенная величина для данного тела, равная Ът^Ь Продолжая аналогию, можно предполо­ жить, что величина Sm/f должна характеризовать инерт­

ность твердого тела при его вращении.

Обратимся к опыту. На валу центробежной машины за­ крепим массивный диск. На шкив, установленный на этом же валу, намотаем нить. К концу нити привяжем динамометр и потянем его с постоянной силой F (рис. 120). Линия дей­ ствия силы F проходит от оси вращения на расстоянии, рав­ ном радиусу шкива г. Поэтому на вал центробежной машины действует постоянный вращающий момент М = F -г. Под действием этого момента вал и диск начнут разгоняться из состояния покоя. Секундомером измерим время tu необ­ ходимое для достижения определенной угловой скорости со, измеряемой с помощью тахометра.

Затем установим на вал центробежной машины еще один диск, имеющий вдвое большую массу и те же линейные раз­ меры. Снова будем разгонять систему, потянув динамометр с прежней силой F. Измерим время ?2» которое потребуется для достижения угловой скорости, равной угловой скорости в первом опыте. Сравним время разгона 4 и t2 в обоих опы­ тах. Мы увидим, что время /2 будет примерно в 2 раза больше времени /х .

Наконец, выполним еще один опыт. Установим на вал центробежной машины диск точно такой же массы, как и в

191

первом опыте, но имеющий наружный радиус в 2 раза боль­ ший (масса сохраняется за счет уменьшения толщины диска). Измерим время ts при тех же условиях, что и в предыдущих опытах. Время t3 оказывается примерно в 4 раза больше времени tt.

Во всех трех случаях под действием постоянного момента силы происходило равноускоренное вращение. Так как в конце опытов угловая скорость дисков всегда была оди­ наковой, а время разгона — разным, то это означает, что величины угловых ускорений е изменялись от опыта к опыту.

Рис. 120. Схема опыта с вращающимися дисками

Какие же выводы можно сделать по результатам изме­ рений? Под действием постоянного момента силы вращаю­ щиеся тела приобретают угловую скорость не сразу, а посте­ пенно. Под действием постоянного момента силы разные вращающиеся тела получают разные угловые ускорения. Ве­ личина углового ускорения зависит от массы вращающегося тела и от его размеров. Все эти факты указывают на то, что вращающиеся твердые тела обладают свойством инертности. Следовательно, опыты подтверждают наше предположение, сделанное выше: величина 2/п/Г/ характеризует инертность твердого тела при его вращении.

192

Моментом инерции J тела относительно какой-либо оси вращения называется сумма, составленная из произведений массы mi каждого малого элемента тела на квадрат расстоя­ ния г,- этого элемента до оси вращения.

Заметьте, что момент инерции тела, являющийся мерой инертности вращающегося твердого тела, зависит не только от его массы, но и от распределения массы в теле относи­ тельно оси вращения. Другими словами, размеры и форма тела оказывают значительное влияние на его вращательное движение.

Из равенств (53) и.(54) находим:

Величина момента внешней силы (вращающего момента), приложенного к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, равна моменту инерции тела относительно этой оси, умно­ женному на величину углового ускорения тела.

Уравнение (55) называют основным уравнением динамики для вращательного движения твердого тела вокруг непо­ движной оси. Оно используется при решении задач о враще­ нии твердых тел.

§ 76. Момент инерции тела

Для решения практических задач о вращении твердых тел нужно знать, в каких единицах измеряется момент инер­ ции тела, и уметь определить его численное значение. В соот­ ветствии с определением момента инерции тела и формулой

Вычисление момента инерции произвольных тел пред­ ставляет достаточно сложную задачу. Сравнительно просто вычислить моменты инерции тел вращения. Приведем без доказательства значение моментов инерции тел, эскизы которых показаны на рис. 121.

Момент инерции однородного сплошного круглого ци­ линдра относительно его оси вращения г (рис. 121, а):

где т — масса цилиндра; г — наружный радиус.

Момент инерции однородного полого круглого цилиндра

где г2 — наружный радиус обода.

Момент инерции однородного тонкого стержня относи­

определить значение момента инерции тела относительно

осей. Приведем без доказательства одну важную для практики формулу, позволяющую определить момент инер­ ции J тела относительно какой-либо оси, если известен мо­ мент инерции Ус того же тела относительно оси, проходящей

194

через центр тяжести, при условии, что обе оси параллельны:

Например, определим момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через один из его концов (рис. 121, г).

Момент инерции тонкого стержня относительно централь­ ной оси равен в соответствии с формулой (58):

относительно оси, проходящей через центр тяжести, меньше, чем момент инерции / того же тела относительно любой дру­ гой параллельной ей оси.

Для большинства тел, применяемых в машиностроении: коленчатых валов и шатунов двигателей внутреннего сго­ рания, роторов паровых и газовых турбин, винтов самолетов, деталей часового механизма и многих других — математи­ ческие методы определения моментов инерции малопри­ годны, главным образом потому, что они оказываются недо­ статочно точными. Поэтому моменты инерции тел обычно определяют опытным путем.

§ 77. Вращательное движение тела под действием постоянного вращающего момента

Изучая прямолинейное движение тел под действием по­ стоянной силы, мы установили, что равнодействующая дви­ жущих сил и сил сопротивления, действующих на тело, согласно второму закону Ньютона равна произведению

195

массы на ускорение (формула 50а):

^ дв — = та-

По аналогии для вращательного движения тел под дейст­ вием постоянного момента силы (вращающего момента) напишем:

В этом выражении М д в обозначает движущий вращающий момент, а Мс — момент сил сопротивления. Рассмотрим каж­ дую из этих величин.Среди моментов сил, действующих на вра­ щающееся тело, обязательно имеются моменты сил, действую­ щие в направлении вращения и которые на практике мы соз­ даем намеренно. Например, со стороны патрона токарного станка, в котором закреплена обрабатываемая деталь, на нее действует вращающий момент. В электродвигателе электро­ магнитные силы создают вращающий момент, действующий на ротор двигателя. Назовем эти моменты сил движущими вращающими моментами. Причиной их возникновения явля­ ются процессы в том или ином двигателе. Работа двигателя внутреннего сгорания обеспечивает вращение вала компрес­ сора, соединенного с ним. Работа электродвигателей позво­ ляет осуществить вращение обрабатываемой детали или ре­ жущего инструмента в станках.

В направлении, противоположном вращению тела, дей­ ствуют моменты сил сопротивления. Для их преодоления мы и создаем различные машины и механизмы, чтобы осущест­ вить необходимое вращение вала насоса, компрессора и т. д. На вал любого двигателя со стороны вала приводной машины действует момент сил сопротивления. К моментам сил сопро­ тивления относятся также моменты сил сопротивления той среды, в которой происходит вращение. Например, момент аэродинамических сил, действующих на винт самолета, пред­ ставляет собой момент сил сопротивления воздуха. На диски рабочих колес гидравлических турбин и центробеж­ ных насосов действуют моменты сил трения жидкости.

Разность величин движущего вращающего момента и мо­ мента сил сопротивления представляет собой результирую­ щий момент внешних сил, который в соответствии с основным уравнением динамики вращающегося тела равен произве­ дению момента инерции тела на величину углового ускоре­ ния. Теперь нетрудно сделать практические выводы о враще­ нии тела в зависимости от величины действующих моментов сил.

196

Если величина движущего вращающего момента больше величины момента сил сопротивления (Л4ДВ > Мс) и с тече­ нием времени они не изменяются (остаются постоянными), то тело будет вращаться с постоянным положительным угло­ вым ускорением (е > 0), т. е. равноускоренно. Примером этого служат процессы ускорения всех вращающихся частей станка после включения электродвигателя.

Если величина движущего вращающего момента меньше величины момента сил сопротивления (7ИДВ < Мс ) и с тече­ нием времени они не изменяются, то тело будет вращаться с постоянным отрицательным угловым ускорением (е <; 0), т. е. равнозамедленно. Вспомните, как постепенно замед­ ляют скорость вращения винты приземлившегося самолета после выключения двигателей.

Наконец, движущий вращающий момент 7ИДВ в любой момент времени может быть равен моменту сил сопротивле­ ния Ме (УИДВ = Мс). При этом угловое ускорение отсут­ ствует (е = 0) и тело вращается с постоянной угловой ско­ ростью, т. е. равномерно. Равномерно вращаются сверло и фреза в процессе резания, обрабатываемая деталь на токар­ ном станке, колеса самодвижущихся экипажей при их дви­ жении с постоянной скоростью и т. д. Во всех этих случаях необходимо действие движущего вращающего момента, на­ правленного в сторону вращения, именно для того, чтобы преодолеть моменты сил сопротивления, всегда направлен­ ные в сторону, противоположную вращению.

Общий метод решения практических задач о вращатель­ ном движении тела под действием постоянного вращающего момента совершенно аналогичен методу решения задач о пря­ молинейном движении тела под действием постоянной силы (см. § 67). Сущность его заключается в следующем:

необходимо выделить тело, вращение которого рассмат­ ривается;

выяснить, какие движущие вращающие моменты прило­ жены к телу;

выяснить, какие моменты сил сопротивления действуют на тело;

найти результирующий момент сил и приравнять его произведению момента инерции тела на угловое ускорение в соответствии с равенством:

М^ — Mz = 1г.

Из этого равенства может быть найдена одна неизвестная величина при определенных (заданных) трех других вели-

197