Файл: Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие.pdf

На шпиндель станка действует центробежная сила, тоже равная 1,11 кН. Для уравновешивания этой силы на планшайбе станка нужно по­ местить массу /яд в точке, лежащей на диаметре, проходящем через ось вращения и центр тяжести детали, со стороны, противоположной рас­

положению центра тяжести:

§73. Упражнения и вопросы для повторения

1.На материальную точку, движущуюся по инерции, начинает действовать сила постоянной величины, направленная в сторону, про­

тивоположную перемещению. Опишите дальнейшее движение точки.

2.На материальную точку, движущуюся по инерции, начинают действовать две силы, равные по величине и направленные в противо­ положные стороны. Изменится ли движение точки?

3.Приведите примеры явлений, в которых проявляется инертность

тел.

4.Почему опасно выходить на ходу из автомашины? В каком на­ правлении вы можете упасть?

6. Изменение скорости тела составляет 2,5 м/с в течение проме­ жутка времени, равного 1 с. Это изменение движения вызвала постоян­ ная сила. Затем точно такая же сила подействовала на другое тело и вызвала изменение его скорости на 3,5 м/с в течение 0,5 с. Найдите отношение масс обоих тел. Какое из двух тел имеет большую массу?

7. Сила, величина которой равна 50 Н, может сообщить массе тх ускорение 10 м/с2 , а массе т 2 ускорение 30 м/с2 . Какое ускорение под действием той же силы получат обе массы, если их соединить вместе?

8. На тело, имеющее массу 20 кг, действуют две силы, величина каждой из которых равна 50 Н. Найдите величину и направление ускорения тела для следующих трех случаев: силы действуют в одном направлении, в противоположных направлениях, под углом 90° друг к другу.

9. Автомобиль начинает движение из состояния покоя по горизон­ тальной дороге. Разгоняясь равноускоренно, он прошел расстояние 100 м за 10 с. Масса автомобиля равна 800 кг, а сила тяги — 1,8 кН. Чему равна сила сопротивления?

10. Лыжник, имеющий массу 70 кг, движется по ровной поверх­ ности с постоянной скоростью 12 м/с. Попадая неожиданно в сугроб, лыжник останавливается за 1,2 с. Определите среднюю силу тормо­ жения.

186

биль действует на мост, когда он проходит через его середину, если радиус кривизны середины моста равен 50 м.

13.Пассажиры самолетов не испытывают неприятных ощущений, если их вес не увеличивается более чем вдвое. Какое максимальное ускорение в горизонтальном полете допустимо при этом ограничении?

14.К концу нити длиной 1,2 м привязан шарик, имеющий массу

0,1 кг. Другой конец нити закреплен на оси. Между осью и шариком к нити прикреплены два таких же шарика на расстоянии 0,4 и 0,8 м от оси. Вся система вращается в горизонтальной плоскости, причем внешний шарик движется со скоростью 6 м/с. Найдите натяжение каждого из участков нити. Где произойдет обрыв нити, если постепенно ускорять вращение?

15. С какой скоростью должен выполнять летчик петлю Нестерова радиусом 1 км, если в верхней точке петли он не испытывает реакции ни от сидения, ни от привязной системы?

16.В чем различие между центростремительной и центробежной

силами?

17.Почему иногда «заносит» конькобежца на повороте дорожки?

Глава одиннадцатая ОСНОВЫ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ 74. Твердое тело как система материальных точек

В задачах, рассмотренных выше, размеры и форма дви­ жущихся тел не играли существенной роли. Мы изучали силы, действующие на тело, находили зависимость между силами и ускорением тела, принимая его за материальную точку. В технике встречается ряд случаев, когда это ока­ зывается недостаточным, так как именно размеры и формы тел определяют характер интересующего нас движения. Например, оказываются весьма важными для надежной ра­ боты двигателя внутреннего сгорания размеры и форма коленчатого вала, шатунов и поршней. То же самое отно­ сится к деталям часовых механизмов, всевозможных меха­ нических регуляторов, приборов и т. д. В дальнейшем бу­ дем рассматривать недеформируемые тела, или, как гово­ рят, абсолютно твердые тела.

Для того чтобы можно было воспользоваться уже из­ вестными закономерностями движения, полученными для материальной точки, мы можем мысленно разделить рас­ сматриваемое тело на такие отдельные элементы, чтобы раз­ меры и форма каждого из них не играли роли в движении элементов. Например, при рассмотрении вращения ротора турбины размеры элементов должны быть намного меньше наружного диаметра ротора, скажем доли миллиметра по

187

сравнению с дециметрами и метрами. Таким образом, за­ дачу об изучении движения твердого тела в механике за­ меняют задачей об изучении движения большого числа материальных точек, т. е. задачей, которую мы уже решили. При этом, чтобы найти движение твердого тела, нам не нужно знать внутренние силы, действующие между эле­ ментами, составляющими тело. Согласно третьему закону Ньютона все они взаимно уравновешиваются.

При поступательном движении твердого тела все его точки движутся одинаково (см. § 49). Поэтому все практи­ ческие задачи об определении движения поступательно перемещающегося тела можно решить методами-, рассмот­ ренными выше.

При вращательном движении тела отдельные его точки движутся по-разному, поэтому необходимо получить новые зависимости для данного случая.

§ 75. Основные уравнения динамики для вращательного движения твердого тела

Рассмотрим вращательное движение твердого тела. Мы знаем, что это движение характеризуется тем, что остаются неподвижными все точки тела, лежащие на прямой, назы­ ваемой осью вращения. Примеры вращательного движения были приведены в §50 и 51. Теперь мы должны установить, какие физические величины характе­ ризуют вращение твердого тела, и выяснить' зависимость между

ними.

Одной из величии, опреде­ ляющих вращение тела, являет­ ся момент силы. Напомним, что величиной момента силы относи­ тельно какой-либо оси называет­ ся произведение величины силы

на длину перпендикуляра, опущенного из точки О, через которую проходитесь, на линию действия силы (см. § 17).

Представим вектор внешней силы F в виде суммы век­ торов FT и Ри, проходящих через точку А и направленных вдоль касательной Т и нормали Я: F = FT + Fn (рис. 119). Найдем величину моментов сил FT и Ри относительно оси вращения. Момент силы /*\ относительно оси вращения

188

в соответствии с определением момента силы равен:

Кроме внешней силы F, на тело действуют силы упруго­ сти со стороны связей (реакции связей) в тех местах, где рас­ положены подшипники. Подшипники фиксируют ось враще­ ния в пространстве. Они позволяют телу свободно вра­ щаться, но не допускают никаких поступательных перемеще­ ний тела. Величины моментов сил реакций связей равны нулю, так как их линии действия проходят через ось враще­ ния. Таким образом, момент относительно оси вращения создает только составляющая F T внешней силы F .

Теперь разобьем все твердое тело на отдельные малые элементы и применим к каждому элементу второй закон Ньютона. В общем случае на каждый элемент действуют внешняя сила Ft и внутренние силы ft со стороны других элементов тела, поэтому

FiJrfi = m i - a i ,

где mi масса И Й ; — ускорение каждого элемента.

Изучая динамику материальной точки при криволиней­ ном движении, мы установили, что второй закон Ньютона можно написать отдельно для касательных и нормальных

Так как линии действия нормальных составляющих сил проходят через ось вращения, то величины моментов этих сил равны нулю. Поэтому будем рассматривать для каждого элемента только первое равенство для касательных сил. Умножим обе части равенства на расстояние г,- от оси враще­ ния до выделенного элемента, т. е. на радиус окружности, по которой он перемещается:

Всего таких равенств будет /, по числу малых элементов, на которые мы разбили тело. Сложим все равенства:

Предположим, что на тело действует только одна внешняя сила F, приложенная к малому элементу, расположенному

189