Файл: Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие.pdf

значения работ в уравнение (68а):

Конечная скорость тела равна:

-,/" fee2 „,

§ 90. Энергия вращающегося твердого тела

Для определения энергии твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, можно поступить точно так же, как и при определении энергии тела, движущегося посту­ пательно. Только исходным уравнением будет уравнение динамики для вращательного движения тела (см. § 75 и 77):

Произведение Л4д в ф равно работе ^4ДВ движущего вращаю­ щего момента. Так как направления момента движущих сил М д в и углового перемещения ф совпадают, то эта работа всегда положительна Л д в = Млв ф.

Произведение Мс ф равно работе Л с момента сил сопро­ тивления. Направление действия вращающего момента Мс противоположно угловому перемещению ф, поэтому работа Л с всегда отрицательна Л с = —Мс ф. Из последних трех равенств имеем:

Л д в - ( — Лс ) = /еф, Л я в + Л с = Уеф.

В том случае, когда действующие моменты Мдв и Мс не изменяются с течением времени, угловое ускорение е тела остается постоянным.

Из кинематики известно, что при постоянном угловом ускорении тело вращается или равноускоренно, или равнозамедленно. Угловое перемещение ср определяется через угловую скорость со,, в начальный момент времени, угловую скорость со в момент времени, когда тело повернется на угол ф, и постоянное ускорение е при помощи выражения,

220

полученного в § 52:

ф : 2е '

Из формул, приведенных выше, находим:

Теперь рассмотрим величину - ~ в этом выражении.

Мы знаем, что для изучения движений твердого тела его представляют как сумму большого количества малых эле­ ментов и к каждому элементу применяют закономерности, полученные для движения материальных точек (см. § 74). Каждый малый элемент вращающегося твердого тела имеет массу mi и линейную скорость vt = г;со, где со — угловая скорость, общая для всех точек тела.

Кинетическая энергия малого элемента равна:

Если мы сложим величины кинетических энергий всех малых элементов, то получим кинетическую энергию вра­ щающегося тела:

co2m,r? со2

Ек = 2 EKi = I — ? 1 — = -g- • 2 т-Д.

Здесь величина со2 вынесена за знак суммы как общий множитель. Величина 2 т г г | нам уже известна. Она равна моменту инерции тела J = 2/П;Л?. Поэтому величина кине­ тической энергии вращающегося твердого тела' равна

Таким образом, в выражении (69) в правой части на-

/со2

ходится разность кинетической энергии —^— в момент вре­ мени, когда тело под действием вращающего момента по­ вернется на угол ф, и кинетической энергии тела •—1 в на­ чальный момент времени. Следовательно, суммарная ра­ бота, совершаемая над любым вращающимся твердым телом, равна изменению кинетической энергии тела. Этот вывод полностью совпадает с выводом, полученным в § 89 для тела, движущегося поступательно,

221

Работа движущего вращающего момента равна сумме изменения кинетической энергии вращающегося тела и ра­ боты момента сил сопротивления.

Этот результат имеет весьма важное прикладное зна­ чение, так как вращательные движения тел наиболее рас­ пространены в технике. Рассмотрим следующую задачу.

З а д а ч а 26. Двигатель внутреннего сгорания приводит во вра­ щение компрессор. Частота вращения вала двигателя равна 1000 об/мин. Момент инерции всех вращающихся частей равен 0,2 кг-м 2 . Внезапно кратковременно уменьшилась нагрузка на компрессор (например, упало давление воздуха). Это привело к тому, что в течение небольшого промежутка времени вал успел повернуться на 15 оборотов, а вра­ щающий момент двигателя был больше момента сил сопротивления, действующего со стороны компрессора, на 5 Н • м. Необходимо опреде­ лить изменение угловой скорости вала двигателя, которое при этом произойдет.

Для решения задачи воспользуемся выражением (69а). Найдем все величины, которые можно подсчитать по условиям задачи. Раз­

сделать, установив на валу двигателя маховое колесо. Отличительной особенностью этого колеса является массивный обод. Сосредоточение массы вблизи наружного диаметра увеличивает момент инерции махо­ вого колеса (см. § 76). Определим увеличение угловой скорости вала

222

Сравнивая полученные результаты, мы видим, что угло­ вая скорость вала двигателя увеличивается значительно меньше при большой величине момента инерции вращаю­ щихся частей. Это объясняется тем, что большая часть ра­ боты «избытка» движущего вращающего момента над мо­ ментом сил сопротивления увеличила кинетическую энер­ гию дополнительно установленного махового колеса. Однако чрезмерное увеличение момента инерции махового колеса нежелательно, так как его размеры и масса возрастают, а вы­ игрыш от уменьшения изменения угловой скорости вала становится не так существенным.

Например, увеличим момент инерции вращающихся частей в 10 раз по сравнению с первоначальным значением: J" = 10У = 10-0,2 = = 2 кг-м2 . Тогда

со'

Таким образом, при J' — 5J мы получили — = 1 , 0 4 и при J" = со0

со"

= 10У =1,02. Момент инерции увеличился значительно, а откло-

пение угловой скорости от начального значения со0, хотя и уменьши­ лось, но не так существенно.

Коленчатый вал двигателя внутреннего сгорания всегда вращается неравномерно вследствие изменения давления газов, образующихся при сгорании топлива, за время каж­ дого рабочего цикла, а также вследствие неодинаковой работы отдельных цилиндров двигателя. Если изменения угловой скорости будут слишком велики, то возникают нежелательные вибрации тех механизмов, которые соеди­ няются с двигателем. В результате уменьшается их дол­ говечность и надежность работы.

Поэтому установка махового колеса всегда желательна в тех случаях, когда необходимо уменьшить изменения угло-

223

вой скорости, происходящие во время работы машин и ме­ ханизмов.

Маховое колесо применяют и в тех случаях, когда в те­ чение небольшого промежутка времени требуется затратить большое количество энергии. Например, в механических прессах, крупных ножницах для разрезания металла и т. п. Время, в течение которого осуществляется нужная нам де­ формация заготовки, обычно мало по сравнению с време­ нем, необходимым для выполнения подготовительных опе­ раций (установки заготовки, выемки изделия и т. п.). Поэтому во время выполнения подготовительных операций двигатель увеличивает угловую скорость махового колеса, и происходит процесс накопления кинетической энергии. Эта энергия расходуется на совершение механической ра­ боты в течение кратковременного рабочего хода. Конечно, можно было бы обойтись и без махового колеса, но в этом случае нужно установить двигатель большой мощности, который значительную часть времени будет работать вхо­ лостую, что невыгодно с экономической точки зрения.

§ 91. Закон сохранения механической энергии

В предыдущих параграфах были рассмотрены виды ме­ ханической энергии: потенциальная энергия — энергия, связанная с поднятием тела над Землей, и энергия, свя­ занная с упругими деформациями; кинетическая энергия —• энергия, связанная с движением тела. Мы также устано­ вили, что при поступательном и при вращательном движе­ нии тела мерой механической энергии является работа, зависящая от величины действующих сил или вращающих моментов и перемещения тела. Так как силы и моменты сил всегда являются результатом взаимодействий тел, то и при рассмотрении механической энергии нужно учитывать энергию всех взаимодействующих тел или, как говорят, системы тел."

Если мы поднимем тело над поверхностью Земли и предо­ ставим его самому себе (освободим от удерживающих его связей), то оно будет падать под действием силы тяжести.

После начала падения тела запас потенциальной энер­ гии системы начинает уменьшаться, а кинетическая энер­ гия системы увеличивается. Можно доказать, что величина кинетической энергии Земли при рассмотрении относитель­ ного движения тела и Земли очень мала, поэтому практи­ чески вся потенциальная энергия системы, состоящей из

224

тела и Земли, превращается в кинетическую энергию рас­ сматриваемого тела. Именно на этом основании условно

в кинетическую энергию тела. На самом деле, всегда нужно рассматривать энергию системы тел и возможные превра­

и потенциальной энергии не изменяется.

Точно также для любой системы тел, взаимодействующих между собой с силами тяготения и силами упругости, всегда оказывается постоянной суммарная потенциальная и кине­ тическая энергия. Например, мы можем бросить тело с не­ которой высоты на пружину, расположенную вертикально. В данном случае имеется система, состоящая из тела, пружины и Земли. Для всех этих тел сумма потенциальной энергии тяготения, потенциальной энергии упругости и кинетической энергии будет оставаться постоянной. При движении количество энергии каждого вида может изме­ няться, энергия может переходить из одного вида в другой и от одного тела к другому, но общий запас механической энергии остается неизменным. В этом и заключается закон сохранения механической энергии: полная энергия системы

потенциальной и кинетической энергии.

Обратите внимание на следующее обстоятельство. В этой формулировке ничего не говорится о внешних силах, дей­ ствующих на рассматриваемую систему тел со стороны дру­ гих систем, а также о силах трения. Предполагается, что внешние силы и силы трения отсутствуют. Однако наши знания об окружающем мире говорят о том, что все движе­ ния на Земле сопровождаются трением. Поэтому закон со­ хранения энергии в механике в более общем случае форму­ лируется так: изменение полной энергии системы при пе­ реходе из одного состояния в другое равно работе, совер­ шенной при этом внешними силами и силами трения.

Например, при падении тела с большой высоты его ско­ рость вследствие действия возрастающих сил сопротивле­ ния воздуха становится постоянной. Парашютист, совер-