Файл: Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие.pdf

тельность удара составляет от нескольких десятитысячных долей секунды до миллионных долей секунды. При ударном взаимодействии тел происходят значительные их дефор­ мации в месте удара. В результате возникают силы упру­ гости большой величины. В случаях соударения тел, встре­ чающихся в технике, величина этих сил такова, что в среднем на 1 см2 действует сила, достигающая значений не­ скольких десятков и сотен тысяч ньютонов. Следствиями удара могут быть остаточные деформации, т. е. деформации, не исчезающие после окончания удара, как это, например, происходит при ковке, штамповке и т. д. Следствиями удара могут быть также звуковые колебания (например, при ударе по гонгу), нагревание тел (нагрев штампов и загото­ вок при штамповке) и др. Если скорости соударяющихся тел достаточно велики, то может произойти даже разруше­ ние материала в месте удара. Например, разрушение высо­ кокачественных сталей происходит при относительной ско­ рости тел, равной примерно 150 м/с; разрушение цветных металлов при меньших скоростях соударяющихся тел (не­ сколько десятков метров в секунду). Установлено, что про­ цессы, происходящие при взрыве, эквивалентны соударе­ ниям со скоростями свыше 1000 м/с.

Процесс протекания удара разбивается на два периода. Первый период длится от начала соприкосновения тел (на­ чало удара) до момента их наибольшего сближения. При этом происходят деформации соударяющихся тел и превра­ щение кинетической энергии в потенциальную энергию деформаций. После того, как тела сблизятся, силы упру­ гости начинают действовать в направлении их отталкива­ ния друг от друга. Этот процесс похож на распрямление сжатой пружины. Второй период удара длится от конца первого периода до момента, когда силы упругости исчезнут, т. е. потенциальная энергия деформаций не превратится снова в кинетическую энергию соударяющихся тел.

В зависимости от упругих свойств тел соударения могут протекать весьма различно. Принято выделять два крайних

Под неупругим ударом понимают такое соударение тел, в результате которого эти тела объединяются. Например, летящий мяч сталкивается с неподвижным шаром из плас­ тилина. После соударения мяч и шар слипаются друг с дру­ гом и движутся вместе как одно целое. К неупругим соуда­ рениям относится и прыжок человека в лодку, стоящую

232

у берега. Здесь также в результате взаимодействия проис­ ходит выравнивание скоростей человека и лодки, скорости становятся одинаковыми.

При идеально упругом ударе все соударяющиеся тела восстанавливают свою форму после окончания удара. Это означает, что в состоянии этих тел не происходят какиелибо изменения, например, нет остаточных деформаций. Вся кинетическая энергия, которая во время процесса удара перешла в потенциальную энергию деформаций, снова пре­ вратится в кинетическую энергию. Идеально упругих тел в природе нет. Однако изучать процесс их соударения зна­ чительно легче, чем соударения реальных тел.

Большинство практических случаев удара, встречаю­ щихся в технике, относится к промежуточным формам удара. При столкновении реальных тел механическая энергия к концу удара восстанавливается лишь частично. Часть энергии переходит в тепло, часть энергии тратится на работу против сил упругости, приводящих к остаточным деформациям. Движение реальных тел после удара отли­ чается от движения идеально упругих тел после удара. В этих случаях принято говорить о не вполне упругом ударе.

§ 95. Центральный удар двух тел

Вы знаете, что ударяя молотком точно по центру шляпки гвоздя, можно одним ударом вогнать его в брусок дерева. Ударив молотком по шляпке несколько сбоку, можно со­ гнуть гвоздь. Результаты соударений будут разными в за­ висимости от того, какой удар происходит — центральный или косой (эксцентричный). Рассмотрим наиболее часто встречающийся в технике не вполне упругий, центральный удар двух тел, одно из которых вначале было неподвижным.

Для того чтобы изучить движение тел после удара, нам не нужно учитывать форму и размеры соударяющихся тел. Достаточно рассмотреть их как материальные точки (см § 62). Ограничимся случаем, когда одно тело, имеющее

233

В предыдущем параграфе мы видели, что при ударе тел в течение короткого промежутка времени возникают боль­ шие силы упругости. На этом основании мы можем не учи­ тывать любые другие силы, действующие на соударяющиеся тела, например силы тяжести. Они во много раз меньше ударных (мгновенных) сил и практически не оказывают никакого влияния на процесс соударения. При изучении динамики материальной точки было введено понятие им­ пульса тела (количества движения), равного /пи произведе­ нию массы т тела на его скорость v (см. § 63). Согласно за-

'to

-О-

положение тел: а — до удара, б — после удара

кону сохранения импульса (см. § 64) силы упругости, воз­ никающие при ударе двух тел и являющиеся внутренними силами, не могут изменить суммы импульсов этих тел:

т&и + т&20 = т&х + m2v2.

Так как мы рассматривали удар движущегося тела по неподвижному, то и2о = 0:

распределяется» между обоими телами: движущееся тело отдаст часть количества движения телу, находившемуся до удара в покое.

Ньютон, изучая соударение тел, предположил, что от­ ношение относительной скорости соударяющихся тел в конце удара к относительной скорости в начале удара есть неко­ торая постоянная величина k, зависящая только от материа­ лов соударяющихся тел. В нашем случае относительная скорость тел в конце удара равна о2 — ^ i и относительная

234

скорость в начале удара равна v1(l, так как второе тело перед соударением находится в покое. Поэтому согласно предпо­ ложению Ньютона можно написать:

(73)

Величину k называют к о э ф ф и ц и е н т о м в о с с т а ­ н о в л е н и я . Опыты показали, что коэффициент вос­ становления зависит только от материалов соударяющихся тел. Одним из способов экспериментального определения

Если известна величина коэффициента восстановления к, то из уравнений (496) и (73) можно найти величины скоро­

которых вначале было неподвижно, произойдет остановка движущегося тела, а покоящееся тело после удара приоб­

ции этого явления выполним опыт. Подвесим на нитях два одинаковых шара (рис. 132). Отклоним один шар на угол а и отпустим его. После удара этот шар остановится, а

235

шар, бывший неподвижным, отклонится на угол с^, почти равный углу а.

Определив скорости тел vt и v2 после удара, подсчитаем величину Е энергии, затраченной на совершение работы против сил внутреннего трения. Для этого достаточно рас­

Выполнив преобразования с учетом равенств (74), найдем:

Из этой формулы видно, какой должна быть масса тх ударяющего тела -по сравнению с массой тг неподвижного тела. В случае забивки гвоздя, сваи и т. д. важно уменьшить величину энергии Е, расходуемой на совершение работы против сил внутреннего трения. Чем меньше эта энергия, тем большую скорость можно сообщить покоившемуся до удара телу и тем больше будет его перемещение за время одного удара при остальных одинаковых условиях. Для уменьшения величины Е необходимо увеличивать массу т х ударяющего тела (молотка, молота, копра) по сравнению с массой т2 другого тела (гвоздя, сваи). Увеличение от­ ношения тх : т2 приводит к увеличению знаменателя в фор­ муле (75) и уменьшению величины Е.

В других случаях (ковка, штамповка, клепка), наоборот, важно увеличить величину энергии Е, идущей на соверше­ ние работы против сил внутреннего трения. Чем больше эта энергия, тем больше будут деформации тела. Поэтому желательно увеличивать массу т2 тела, неподвижного до удара (наковальни, шабота), по сравнению с массой тх уда­ ряющего тела (молота). Уменьшение отношения т х : т2 приводит к уменьшению знаменателя в формуле (75) и уве­ личению величины Е. По этой же причине выгоднее произ­ водить рубку металла зубилом в массивных тисках и на тя­ желом верстаке.

236