Файл: Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие.pdf

Op =

Е • е .

Зависимость

эта

была впервые

установлена английским

ученым Гуком

и называется з а к о н о м

Г у к а.

Каков же физический смысл коэффициента пропорцио­

нальности?

Это легко

установить,

если

сделать

допущение, что

А/ =

/, а значит е =

1. В этом случае Е =

ар . Можно ска­

зать,

что Е — это такое напряжение растяжения, которое

ность сопротивляться

упругой

деформации растяжения.

Коэффициент пропорциональности Е называется

м о д у ­

л е м у п р у г о с т и п р и р а с т я ж е н и и

( м о д у ­

л е м п р о д о л ь н о й

у п р у г о с т и ) .

Величина Е для различных материалов различна.

Например, для стали Е я» 2-Ю5

Н/мм2 . Для практических

Гука

при

растяжении.

Получить

его

несложно, если учесть,

что

гтл

IV

г-, Ш

или

Тогда

-p- = E--j-

Д ' =

1 П Т -

(95)

Следовательно,

абсолютное удлинение,

полученное

бру­

сом, прямо

пропорционально

продольной силе и длине

бруса

и

обратно

пропорционально

площади

поперечного

сечения

и

модулю

упругости.

§ 132.

Расчеты на прочность

при

растяжении

1.

При

проверочном расчете, как мы уже отмечали,

надо

определить

действительные напряжения и

сравнить

<*р = -/г«£ [ ар].

'

(96)

откуда F^s-^-j.

(97)

§ 133. Сжатие. Смятие

Деформация с ж а т и я

аналогична рассмотренной де­

бруса в противоположные стороны (см.

р

рис. 194, б).

Однако

при

растяжении

|

они были направлены от тела, а

при

сжатии — к

телу.

Внутренние

силы

упругости при

сжатии распределяются

по сечению, как и при растяжении, равно­

мерно, ибо металл во всех точках попе­

речного сечения испытывает одинаковую

деформацию.

Значит

и величина

дей­

У/Ж////////////'/'<

ствительных

напряжений

при

сжатии

подсчитывается

аналогично:

Рис. 198.

Взаимо­

N

действие

тел, при­

(98)

водящее

к дефор­

мации

смятия

где N — равнодействующая внутренних сил упругости (про­

дольная

сила);

F — площадь

поперечного

сечения

бруса.

Для сжатия

полностью применим закон Гука и его ма­

Особенностью

деформации сжатия

является то,

что

оно

может сопровождаться

деформацией

с м я т и я .

Смя­

тие

возникает на

опорной

поверхности а — б (рис.

198)

10*

291

ствительных

напряжений определится

так:

Och = -JT,

(99)

где Р — равнодействующая внешних

сил, приложенных

к

опорной

поверхности

контактирующих

тел;

F — площадь

опорной поверхности контакта тел.

§

134.

Задачи с

решениями

З а д а ч а

27. Стальные стержни /

и

2 (рис. 199) круглого

сече­

ния соединены между

собой и вертикальной стеной посредством шар­

ниров. На шарнирный

узел В действует вертикальная с и л а Р = 10 кН.

Углы а = 30°

и р = 60°. Определить из условий прочности необходи­

мые диаметры

стержней.

Рис. 199.

Стержневая

Рис.

200.

Разложение

сил

шарнирная

конструк-

(к

задаче

27)

ция — кронштейн

(к

задаче

27)

Р е ш е н и е .

1.

Определение

внешних

сил, действующих на

стержни.

Вертикальная сила Р действует на

шарнир,

которым

соединены

оба стержня,

поэтому

силу

Р следует

разложить,

чтобы узнать ее со­

ставляющие,

действующие

на каждый

из стержней

в отдельности.

В соответствии с рис. 200 получаем:

на

стержень

/

действует

сила

Рх

— Р • tg «;

Р

на

стержень

2

действует

сила

Р а

=

—:—тг-.

Подставив

соответствующие

величины, получаем Р, я» 5,78 кН =

= 5,78-Юз

Н ;

рг^

П ) 5 4 к Н

=

11,54.103 н.

тии),

как

известно, следующая:

_

N

К ]

Для

данной

задачи, учитывая, что Л'1 =

Р 1 и N2

= P2 зависи­

мости

запишутся

так:

4

откуда

У я - [ а р ]

У я [ а с

Таким

образом,

для определения

диаметров

стержней

необходимо

Для

конструкционной

стали,

из которой

сделаны стержни,

принимаем

(по

справочнику)

[ар]

=

100 Н/мм2

и

[а с ]

=

= 100 Н/мм2 .

После

подста­

новки

всех

числовых

данных

0

определяем

dx

:> 8,6

мм

и

d2

5г

12,2 мм.

28. На

конце

З а д а ч а

а

коленчатого

рычага

(а

=

=

450

мм;

6 =

150 мм) под­

вешен груз

Р =

15 кН

(рис.

201).

Достаточно

ли

стерж­

Рис. 201.

Схема

подвески

груза на

ню

1,

изготовленному

из

коленчатом рычаге (к

задаче 28)

конструкционной

средне-

углеродистой

стали,

иметь

диаметр

d =

15

мм,

чтобы конструкция

была

достаточно

прочной?

1. Общая

схема решения.

Под действием силы Р рычаг стремится повернуться по часовой

стрелке. Этому препятствует стержень 1,

во всех поперечных

сечениях

которого,

очевидно, возникают нормальные напряжения

растяжения.

как а : b =

3, то на

плечо OS действует сила Рх

= ЗР, т. е. 45 кН.

С такой же

силой рычаг действует на стержень

1.

3. Определение

внутренней силы, действующей в стержне 1,

Применив метод

сечений, выясняем, что равнодействующая внут­

4.

Определение

действительных

напряжений.

Формула

для

расчета

напряжений при

растяжении

следующая:

N

Для

данного

случая

/V =

Pi = 45

кН

и

F — ——

=

^

=

= 176

мм2 . Таким

образом,

после подстановки получаем

о р =

4 5 1 ^ ° 3

=255

Н/мм2 .

5.

Заключение

по

проверяемой

конструкции.

Необходимо сравнить действительные напряжения с допускае­

мыми. По справочнику определяем [ар 1 =

100 Н/мм2 . Итак, а р > [ а р ] ,

т. е. стержень

не прочен.

§

135.

Упражнения и вопросы для

повторения

1. Трос свит из 20 проволок диаметром

d~

1 мм;

допускаемое

напряжение материала

проволоки [ а р ] =

1 МН/м2 . Какой

груз

можно

безопасно поднять

этим тросом?

2. Какую силу Р надо приложить к стальному стержню диамет­

ром d =

12 мм и длиной / =

4 м, чтобы он удлинился

на 0,5 см?

Какое

напряжение возникнет при действии этой

силы?

3. Какая существует зависимость между нормальным напряже­

нием

и относительной

деформацией

при

растяжении

(сжатии)?

4.

В

чем отличие

деформации сжатия

от

деформации

смятия?