Файл: Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей.pdf

Таким образом, задача проверки гипотезы # о={0 =0о} в значительной сте­ пени сводится к вычислению доверительного интервала [O', 0'] для 0 при зна­ чении доверительной вероятности у с последующим использованием проце дуры: гипотеза Н0 принимается, если 0е[0', 0'] в двустороннем случае или если 0 е [0 ь 0] н 0е[0, 02] в односторонних случаях.

Приведем в виде примеров некоторые соотношения для опре­ деления границ двусторонних доверительных интервалов пара­ метров распределений и функций параметров, используемых в последующем. Односторонних границ не рассматриваем, так как они вычисляются на основе выражений для границ двусто­ ронних интервалов.

Пример 1.7. Доверительный интервал для отношения параметров ц и а нормального распределения.

Рассмотрим следующую задачу: найти доверительный интервал J0=[Л, й] для отношения /;= р/сг двух параметров нормального распределения ц и о,

если по выборке tn найдены их оценки ц и сг.

Решение. 1. Найдем вначале возможные приближенные соотношения.

1

T - i ( l+-r)s при ,и<

55

в) Точное решение задачи [41] может быть получено следующим обра зом. Пусть случайная величина t со средним значением р и дисперсией о2 рас­ пределена нормально с функцией распределения Р(—°°<t^lx) = Р (0^ П < оо ). где U= x—t, Hr = .v—р и Ог2 = о2. Тогда величина

где /i= (.V—p)/0 = Lit;/cT, имеет нецентральное распределение Стыодента с пара­

метром нецентралыюсти (смещения) 5 = (u(./a) f n = ft f^n. Функция этого распределения имеет вид

Р ( — ос < 7 < 0 ) = Р — ■< [— — ft j у п <0 — ft - / п

у, w — переменные интегрирования.

56

На основе соотношения (1. 158) показано [23], что отсюда можно получить выражения

где 6(я, Vi. А) и 6(я, у2, Л) — границы доверительного интервала для пара­ метра 6 нецентрального распределения Стыодеита (табулированы в ра­ боте [103]).

В заключение раздела остановимся на некоторых понятиях теории статистических решений, связанных с методами контроля качества продукции.

Уровень значимости а, определенный выше, называется также о ш и б к о й п е р в о г о р о д а . Вероятность |3 того, что по ошибке будет принято Я0, когда верна альтернативная гипотеза Я, назы­ вается о ши б к о й в т о р о г о рода, а разность 1 — (3 (0) — ф у н к ц и е й мо щно с т и . Одной из задач теории статистиче­ ских гипотез является построение критической области такого вида, чтобы функция мощности принимала возможно большие

является наиболее мощной критической областью для проверки Я0 относительно Я [86].

Здесь f1 (-) и fo( - ) — плотности распределения случайной величины t при гипотезе Н = Н{ и при гипотезе Я ={0 = 0О} соот­ ветственно; Я 1 — фиксированная гипотеза из множества возмож­ ных гипотез Я, причем Я!={0 = 0|}; К(а) — некоторое число, выбираемое из условия, чтобы ошибка первого рода была не большей, чем а.

Случай, когда

широко используется в задачах контроля. Пусть качество неко­ торой продукции характеризуется параметром 0, а 0] и 02— брако­ вочный и приемлемый уровни, так что при 0 = 0i продукция счи­ тается непригодной для использования (брак), а при 0 = 0О— годной. Тогда ошибкой второго рода будет вероятность принять гипотезу Яо={0 = 0о) (о том, что продукция годная), в то время как в действительности справедлива гипотеза Я] = {0 = 01} (про­

ошибки первого рода а есть вероятность ошибочного отклонения годной продукции. Величину а называют р и с к о м пост ав -

57

(1. 167) заданными, проводят последовательно испытания. После

где (1—|3)/а и |3/(1—а) — некоторые граничные значения к, вы­ ражаемые через а и р. В первом случае испытания следует про­ должить, так как решение не может быть принято ни в пользу Н0, ни в пользу Н х. Во втором случае принимается Н0 (и про­ дукция принимается), в третьем — /7, (продукция бракуется). Такая процедура называется последовательной.

Пример 1.8. Последовательная процедура контроля в нормальном случае. Пусть контролируется некоторая характеристика t качества продукции.

Величина t распределена нормально с неизвестными параметрами ц и ст. Про­ дукция считается годной, если /^7" и негодной, если />Г, где Т — некоторая

ражении (1. 167) следует вместо 0Ои Oi положить Л- и Лр .

Требуется построить процедуру преимочного контроля последовательного типа по данным выборки.

Решение. Пусть осуществлена выборка tn объема л, по данным которой с помощью соотношений (1. 127) и (1. 129) найдены оценки цист параметров

ц и ст. Учитывая, что случайная величина/ = Aj/ л = (Т — y.)^fn!o следует не­ центральному распределению Стыодента (см. пример 1.7) с функцией плот­

стям Рт и Рт.

58

Расчетами установлено*, что функция X(t) монотонна по t —l i п и, следова­ тельно, вместо правила (1. 169) можно сформулировать более простое: испы­ тания продолжаются, если

При /13гЛ„р продукция принимается; при к ^ Лор — бракуется. Значения

чисел ЛПр и Лор табулированы и помещены в Приложении (табл. П. 2). Пара­ метры менее удобной процедуры контроля с вычислением X табулированы в работе [103].

Недостатком последовательных процедур является то, что они не позволяют планировать объем испытаний. Это возможно сделать при использовании процедуры контроля типа «однократ­ ная выборка». Она основана на рассмотрении оперативной ха­ рактеристики контроля, которая имеет вид

t — контролируемая величина;

л'пр — приемочное число такое, что при t^Lxnv продук­ ция принимается.

Величина я(0) есть вероятность того, что испытания (измере­ ния) закончатся принятием гипотезы Я0, когда истинное значе­

ние параметра 0 равно 0.

1.2.3.Оперативная характеристика

вбиномиальном случае

Проводятся испытания по схеме Бернулли, описываемой соот­ ношениями (1.119) и (1.120). Продукция принимается, если случайная величина t — возможное число дефектных изделий в выборке п—не превышает некоторое число л'пр. Найдем выра­ жение для оперативной характеристики. По определению я(Р) = = Bi(/i, Р, Хдр). Если величины (1. 167) заданы, то очевидно, что должны выполняться соотношения

я (бо) = /7(-*пР. 0о, п ) = \ —а; л (0 1) = /г (л:|1р, 0ls я) = Р. (1.172)

откуда могут быть найдены две величины: необходимый объем испытаний п = п(а, |3, 0О, 0i) и приемочное число хПр = *пр(а, р, 0, 0,)-

* Расчеты производили Ю. К. Малюгин и В. М. Буров.

59