Файл: Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 208
Скачиваний: 0
Метод наименьших квадратов по существу уже использо
вался выше при определении коэффициентов [^,..., |
РдГ_, линей |
||||
ной функции регрессии (1.90). По формулам (1.87) |
могут быть |
||||
найдены оценки этих коэффициентов, если |
вместо |
вектора |
щу |
||
и матрицы Haijll |
использовать |
вектор |
выборочных средних |
||
Щх=Ци, Ц2, ..., Цд-) |
и выборочную матрицу ||о;.,-||, где ст,-.,- = |
j, |
|||
а а,-, ст,- и д,ц находятся из формул |
(1. 136) |
и (1. 137). |
|
||
Если процедуры н методы точечного оценивания параметров |
|||||
распределения в |
настоящее время исследованы |
достаточно |
|||
полно, то методы такого оценивания для функций распределения
находятся еще |
в стадии разработки. Основываясь |
па |
данных |
|||||||
работ [41, 72], приведем некоторые известные здесь |
результаты. |
|||||||||
Наибольший интерес представляет несмещенная оценка F(-), |
||||||||||
для которой |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
,'V/[MiA-,v, Q)]-=F(xn , 0), |
|
|
||||
где E(.vjY, 0 ) — функция распределения |
случайного |
вектора /лг; |
||||||||
|
|
0 — вектор параметров |
функции распределения. |
|||||||
Учитывая, что |
для |
аддитивных |
функций вида |
|
А' |
|||||
0="У bfih |
||||||||||
где |
bi — постоянные |
коэффициенты, |
несмещенная |
/=1 |
||||||
оценка |
||||||||||
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = |
2 |
bfii |
(0,- — несмещенные оценки 0,), и принимая во вни- |
|||||||
i=i |
аддитивный |
характер |
операции |
интегрирования, |
заклю |
|||||
мание |
||||||||||
чаем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
F (xN, 0) = j' |
... / |
(Ы |
П dy,, |
|
(Ы42) |
||
|
|
|
|
|
— |
« |
|
/=1 |
|
|
где /(■) — несмещенная оценка совместной плотности распреде ления компонентов 'вектора 1\.
В работе [72] показано, что несмещенной оценкой для плот ности /V-мерного нормального распределения с функцией распре
деления, определяемой по формуле |
(1.98), |
при |
tii = tij>N яв |
||||
ляется выражение |
т{'1- А [ я |
( „ - |
1 |
) Г |
^ |
||
|
/{УыУ- |
||||||
|
|
fn—N —1 , |
~ |
|
X |
|
|
|
|
|
Г | ------:----- ) I а и |1/2 |
|
|
|
|
|
|
Л’ |
ЛГ |
|
|
тЛ-Л' —з |
|
X |
■—1— У У аЧ(у, - |
а.) (уJ |
—Pj ! |
(1. 143) |
|||
|
п — 1 |
J |
jLA |
1 |
|
J |
|
|
|
/=i |
j=\ |
|
|
|
|
46
где o,-j| — определитель матрицы IIcrfjll; |
|
oij — элементы матрицы ||g’j'||, обратной к |
з1} ||; ot .= |
= ai ajQij'
р,- и р ; —-величины, определяемые из соотношении (1.136) и (1. 137) при /г,- = /?/= /7;
л — число наблюдений за N компонентами /.у. Плотность вероятности (1.143) полагается равной нулю, если
квадратичная форма
У У 2 % , - £ , ) % - ? , ) > « - 1 -
уяоЫ /штI
В соответствии с изложенным выше несмещенная оценка для функций /V-мерного нормального распределения (1.100) есть
Р (Л"д')—Р {/'к) — |
Гр т^ ) [я(л-1)ГЛ72 |
ft |
|
|||
Г |
|
|
|
J. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
А" |
|
|
N |
|
|
|
у |
|
qUz-.Zj |
Е [ j |
dzt. |
(1. 144) |
/*w<1 |
/=1 |
|
i =1 |
|
|
|
|
/= 1 |
|
|
|
||
Здесь |
А/ — |
-'■/ — ц/ . |
|
|
(1. 145) |
|
_ |
1 |
|
|
|||
Q'j — элементы матрицы |
Ндб'Н, обратной |
к корреляционной ма |
||||
трице lle/jll- |
(N —1) из соотношения (1.144) |
можно |
||||
В одномерном случае |
||||||
получить [104] |
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
^ |
|
V/z^O-l |
|
||
|
|
|
I |
|
|
|
||
|
Р (—со <[ f <1 x) — F (Л) ~Jp. (a, a) v/i+'E: [0, 1] |
|||||||
|
|
|
|
о* |
|
|
|
|
Здесь |
|
|
|
|
V Л й. < о |
|
||
|
|
|
п — 2 |
р х — и |
|
|
х — и. |
|
г |
, |
+И 4 . |
а = |
; |
, |
|||
------ ; |
А= —^ |
Л = |
------ |
|||||
" |
2 I п |
н—1 |
|
|
|
|
|
|
[I. 146)
■;(1. 147)
У^-(о, а) |
— неполная бета-функция, определяемая |
из |
уравнения |
(1. 114), |
где следует положить вместо 0, т и d -\-1 |
величины А*, а |
|
и я; F(h) — интеграл Лапласа (1.103). Отметим, |
что оценка |
||
(1.146) |
отличается от обычно используемой |
|
|
|
F(/i)zzzf (А). |
|
(1.143) |
47
Пусть, например, п==4, Л=1,50. Тогда F(h)= Q ,933 в то время как
Jr (в,в) = /,(1,1)--= I.
/1±
Для закона распределения Венбулла с функцией распределе ния (1.132) из работы [72] с учетом соотношения (1.142) сле дует, что
F (л-)= Р (0 < t < |
л-)= ^ |
^ |
\ у '- 1 |
|
п—2 |
dy , |
(1.149) |
|||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
где |
T — |
если с —известно. |
|
|
|
|
||||
|
|
;=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
с = 1 |
(однопараметрнческип экспоненциальный |
закон) |
|||||||
из выражения |
(1.149) получаем |
|
|
|
|
|
||||
|
f |
|
П |
- L U i - |
J -)" -3 rf!(= |
i _ ( i |
- 4 |
. Г 1. |
(i. 150, |
|
|
|
|
U{0. J \ |
JJL/i |
/ |
\ |
rtJJ.] |
|
||
Для |
гамма-распределения |
с функцией |
плотности |
вероятности |
||||||
/(г/) = Х“Г-1 (а) уа~1е~1у [у > |
0) |
при неизвестном X |
|
|
||||||
Д (а-)= |
- Ц ! / - ’ 11 |
- |
|
Т-1 Л- |
|
|
|
rf,,, |
||
|
\ |
|
|
|
||||||
|
|
F1IX J |
|
|
|
«) ' /1 (A I \ |
Л U / |
|
||
|
|
о |
|
|
|
о |
|
|
|
|
где .ve[0, /гр];
К и а — параметры гамма-распределения. Наконец, для закона Пуассона
P (/ = v ) = M e 4 r , v !
(1. 151)
(1. 152)
где АТ — параметр закона, в работе |
[35] при Т<СТ0 получена |
|
оценка |
|
|
P(i=v) = b(nx, Р*. |
v), |
|
где |
|
|
Р,;= \ ~ Т / Т 0; л* = |
2 |
/ /; |
|
:=1 |
|
ti— время до наступления отказа в i-м испытании.
48
Следовательно, оценка F(x) функции распределения Пуас сона имеет вид
F (л-) = Bi(n*, Р*, л-).
Характерно, что если функцию распределения Пуассона по лучают предельным переходом из биномиального распределения, то ее оценка как бы вновь возвращается к биномиальной форме.
1.2.2.Интервальное оценивание
ипроверка статистических гипотез
Вряде случаев точечное оценивание является необходимым, но недостаточным для целей проверки тех или иных предполо жении (гипотез) относительно неизвестного параметра 0 млн
неизвестной функции распределения F(xx , 0). Действительно,
оценки 0 и F = F{-) |
являются функциями от |
выборки |
tn и по |
|
этому сами представляют собой случайные |
величины |
или |
слу |
|
чайные векторы. |
Функцию распределения |
0 обозначим |
как |
|
Р(—о о < 0 ^ 0 ) = F(0, 0) и назовем выборочным распределением
оценки. Выборочная функция распределения Д(0, 0) позволяет установить, что с определенной вероятностью может выпол
няться соотношение 0 ^ 0 или 0>0. Для получения содержатель ных заключений относительно 0 или F(xx , 0) на основании вы
борки tn вначале формулируется интересующий конкретное при ложение вопрос (гипотеза) относительно 0. Например, этот вопрос (подлежащий проверке) может состоять в том, что среднее значение ц в совокупности с функцией распределения F(x, 0) (пли в генеральной совокупности) равно некоторой фиксирован ной величине р0. Будем это записывать так: Я0 = {р.= ро}, где Нп— исходная («нулевая») гипотеза. Для того чтобы добиться еще большей определенности при формулировании Я0, указывают также противоположную (альтернативную) гипотезу Я, которая в условиях примера может выражаться в виде Я = { ц .^ р 0} или Я = { ц < р 0}, а также в виде Я = {pi> 110}- В первом случае Я яв ляется двусторонней альтернативной гипотезой (неравенство
может осуществляться «сверху», когда р > р 0, и «снизу», когда р < ц 0), во втором п третьем случаях — односторонней.
При рассмотрении гипотезы говорят, что она содержит один элемент, если множество Я0(Я) = {■} состоит из одного элемента
(например, |
Я ={р = р.0}). |
Гипотеза, содержащая один элемент, |
называется |
прост ой . В |
противоположном случае она назы |
вается с л о ж н о й (например Я0= {р<ро})• |
||
Важно подчеркнуть, что нулевая гипотеза выражает заранее |
||
выбранную точку зрения. |
Поэтому, например, система гипотез |
|
относительно показателя надежности Р вида
49