Файл: Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей.pdf

является гипотеза «доверия»: показатель надежности не меньше требуемого значения Рт. Во втором случае исходной является более жесткая гипотеза «недоверия»: показатель надежности не больше требуемого значения Рт. Вполне естественным поэтому является отмечаемое в последующем различие в методах и объ­ емах испытаний для подтверждения Я0 в выражении (1.153) и отклонения Н0 (принятая Н ) в выражении (1. 154).

Следующим шагом после формулирования нулевой гипотезы Н0 11 альтернативной гипотезы Н является задание уровня зна­ чимости а = 1 —у, равного вероятности ошибочно отклонить Я0, когда она верна. Величина 1—а есть вероятность принятия Я0 (и отклонения Я), когда гипотеза Я0 верна. Поскольку проверка начинается с предположения, что эта гипотеза верна, стремятся добиться такой процедуры проверки, чтобы величина а была малой (обычно применяют а = 0,01 -4-0,10) настолько, чтобы прак­ тически событие, происходящее с вероятностью а, можно было

случае расхождение g(0, 0) оказывается настолько большим, что гипотеза Я0 практически или значимо (при данном а) может считаться недостоверной. Гипотеза Я0 принимается в противопо­ ложном случае. Таким образом осуществляется отмеченное выше стремление придерживаться пулевой гипотезы до тех пор, пока это разумно. Выбор величины а определяется особенностью за­ дачи и некоторыми дополнительными соображениями (напри­ мер, рассмотрением стоимости последствий отклонения Н0, когда

50

Следовательно, если g(0, б) монотонно возрастает по б, то

пусть Fg(x) известна. Тогда, обозначая через S множество зна­

событие, являющееся практически недостоверным, произошло. Это служит основанием для отклонения Н0 при уровне значи­ мости а.

Величину а называют также ошибкой первого рода, опреде­

ляя ошибку второго рода как p= P{/nt?£ S\Ff}.

Из выражения (1.155) следует, что в целях наиболее удоб­ ного представления критической области целесообразно предъ­

явить следующие требования к функции £(0, 0).

1. Эта функция должна быть непрерывна и монотонна по 0 (тогда можно будет проследить увеличение или уменьшение меры расхождения при проверке гипотез).

2. Функция распределения для g(Q, 0) не должна зависеть от 0 (тогда gT можно будет выразить явно вне связи с неизвестным параметром 0).

3. Функция ^(0, 0) должна быть определена V0<=Q.

Но, как можно заметить из сравнения этих требований с условиями теоремы о доверительных интервалах [81], получае­ мых по выборкам из совокупностей с непрерывной функцией

распределения, функция g(9, 0), удовлетворяющая им, обладает

51

находится верхняя доверительная граница 0 для 0, а из соотно­ шения

— нижняя граница 0 для 0 при значении доверительной вероят­ ности у. Наконец из соотношении

щей процедуре принятия гипотез: после выбора Я0, Я и у в слу­ чае, когда Яо={0 = 0о}, Я = {0 < 0о}, находится односторонний

доверительный интервал [0 t, 0] при односторонней доверительной вероятности у. Если оказывается, что 0oe[0i, 0] пли 0о^0, т. е. 0о

«попадает» в интервал [0i, 0], то Яо={0 = 0о} принимается. В слу­ чае, когда Я = {0>0О} или Я = {0 ^=0о}, для заданного у находят односторонний или двусторонний доверительный интервал, (т. е.

[0, Ог] или [0', 0']). Гипотеза Я0 принимается, если 0ое[О, 02], или если 0ое[0', 0']. Здесь [0Ь 0?]= Q — отрезок, на котором опреде­

мальной функцией распределения (.1.103) извлечена выборка /10 объема н=10. По формулам (1.127) и (1.129) найдены оценки р и а среднего значения р

п среднего квадратического отклонения о(р=10; сг=3). Требуется проверить предположение о том, что р = ро=!2 при альтернативе

Решение. 1. Задаемся уровнем значимости а= 1—у = 0,10. Поскольку гипо­ теза И двусторонняя, необходимо в соответствии с изложенным выбрать зна­ чения односторонних доверительных вероятностей yi и у2. Принимаем ум = \'2-

1 — Y

тогда у| = у.2 = 1 — —-— = 0,95.

2. Находим двусторонний доверительный интервал [р, р], для р при

у, = у2=0,95. Выбираем функцию£(0,0) = (р— р)| п — На, удовлетворяющую упомянутым трем условиям и имеющую, как известно, функцию распределе­ ния Стьюдента. Тогда из соотношения (1. 158) находим

52

или

ностям Yi и уг и числу «степенен свободы» п—1 (см. таблицы [63]). Подстав­

интервал [р, р], то согласно изложенному правилу гипотеза Н0 принимается. Аналогично проверяются гипотезы и относительно среднего квадратиче­

Пример 1.6. Проверка односторонней биномиальной гипотезы.

На основе результатов работы [49] покажем, что при проверке гипотез

стями для принятия Но в первом случае и отклонения На во втором являются Р > Рт и Р > Р'

соответственно. При этом Р и Р — границы доверительного интервала для Р,

каждая из которых находится с доверительной вероятностью у, а уровень значимости На равен ct=l—у.

Р - т/п; q = 1 — Р; q — 1 — Р;

т — число успехов в п биномиальных испытаниях.

Каждая из границ Р и Р в приведенных соотношениях вычисляется при доверительной вероятности у ' = ( 1 —у)/2. Д ля вычисления односторонних до­

верительных границ—только Р или только Р—при той же доверительной ве­ роятности следует использовать соотношение

7 (Р) = 2 / (Р) = 7.(l_2aJ,l> Р < Р

или

53

ипринимается при Р < Рт.

Всоотношениях (1. 159) и (1. 160) величины Р и Р определяются при фик­ сированном значении односторонней доверительной вероятности, равном у.

ществляется, если последующие испытания проводить не предполагается. Если

в случае, когда исходной гипотезой является гипотеза «доверия» Я0= { Р ^ Р Т}- Это объясняется тем, что при проверке Я0 первоначально исходят из справед­ ливости Я0.

54