Файл: Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 217

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

чой моделью, поскольку имеется еще и бесчисленное количество переходных явлений и ситуаций между темн, которые описыва­ ются понятиями «неисправность» и «отказ». В показателе (2.44) для элемента системы достаточно ограничиться лишь одним более широким понятием — «неисправность», а сила воз­ действия неисправности автоматически учитывается коэффици­ ентами 1],-, г),-,-,.. .. В случае необходимости отказ элемента си­ стемы можно определить как такую неисправность, для которой

коэффициент

г); (а следовательно, и rpj,

г|0Л, .. .,

равен

единице.

Важной стороной задач

определения и контроля надежно

3.

сти является

приспособленность

методов

расчета

к реальной

структуре системы, а также к организационной схеме изготов­ ления и контроля качества ее элементов. Пусть элементы систе­ мы изготавливаются несколькими отдельными предприятиями, а систему в целом собирает п рассматривает одно специализи­ рованное предприятие. Тогда предприятие — соразработчик для определения, контроля и анализа надежности находит лишь зна­ чения величин qt, qtj,. .., непосредственно относящихся к изго­ тавливаемому элементу. Необходимые для расчета показателей надежности коэффициенты гц, rp-j, ... выдаются соразработчику

специализированным предприятием, имеющим

модель

системы

в целом. Такие коэффициенты целесообразно

задавать

наряду

с допусками на контролируемые характеристики.

Таким образом, показатель надежности (2.44) может ока­ заться удобным и с организационной точки зрения.

2.3.МЕТОД НЕПРЕВЫШЕНИИ

Впредыдущих разделах отмечалось, что вычисление показа­ телей надежности систем, являющихся элементами более круп­ ных систем, в значительной степени основано на определении ве­ роятностей выполнения условий успешного функционирования. Метод непревышеиий позволяет установить численное значение вероятности того, что не произойдет одного или нескольких из событий, описываемых соотношениями вида (2. 2), (2. 7) — (2. 18).

2.3.1 . Одномерные вероятностные модели

Случай, когда рассматривается условие (2.2), в котором ^ и ^2 — случайные величины, представляет собой одномерный вари­ ант задачи о непревышенни, так как при этом искомой является вероятность

 

p _ = P ( £ /> 0 )= f

f{ U )d U

(2.54)

 

и>о

 

или

Р = |'f{U)(lU, при

и е ( — оо,

со),•

 

6

 

 

80

где f{U) — одномерная функция плотности вероятности распре­ деления U, вычисляемая по'совместной функции плотности веро­ ятности f(yu у2) случайных величин / 1 и 12 с помощью соотноше­ ния (1.54).

Пример 2. 6. Простейшая вероятностная модель непревышення.

Система, прочность которой Л,

работает под

нагрузкой

(2. Успешное

•функционирование системы обеспечивается, если t \ > t 2. Найти

вероятность

успешного функционирования системы

 

 

 

1)

если

и (2 случайные величины, имеющие нормальное распределение;

2)

если /,

и (2— распределены

экспоненциально

с параметрами Ai

и А2;

3) если (1 и 12 имеют одмопараметрическую функцию распределения об­

щего вида fix ,, 0|), F(x2, 02), где 0i и 02—некоторые параметры.

 

 

 

—►

 

 

 

 

Решение. 1. Пусть (2= ( ( i, 12) имеет функцию распределения (1.99). Тог­

да с помощью

соотношения (1.54)

можно найти приводившийся уже

выше

результат:

 

 

 

 

 

 

 

P(U >0) = F (Л).

 

 

(2.55)

— К -у*

Здесь F (Л) = (2л) 2 J е 2 dy,

 

 

14 — Р2

(2.56)

 

от +

от

• 2/-1оо1од

 

У I/jV-2 -Г V2 — 2г 12^|^27'

х =

|Х|/|ло — средний „запас прочности";

® i=°i/pi; г»; =

о2/|Х2 — коэффициенты вариации.

В примере

2. I

дано

более полное

соотношение (2.5), учитывающее воз­

можное изменение параметров р и а при наличии неисправностей в системе.

 

2. Пусть

(1 н

t2 независимы

и

имеют

функции распределения F (лр) =

=

1 — е—

 

Д (je2) = 1 — е—Х5Лз.

Тогда

с помощью соотношения (1.54)

легко убедиться, что

 

 

 

 

 

 

 

 

р ( ( /> о ) = р (л > < 2 ) = - г х; , - = — Л ~ , .

 

 

 

 

 

 

 

Л| + Ло

1 + х—1

где

 

 

|Х|

;

1

 

1

 

 

%= — = —

(j-i = — ; р-2

= — .

 

 

 

А]

р.о

 

Л|

 

Ло

 

 

 

3. Если /[ и /2 независимы и имеют одиопараметрические функции рас­

пределения

Fix|,

0!)

и F(x2, 02)

соответственно,

где Oi и 02 — параметры

(например

0i=Ai;

0 2=^2), тогда

согласно работе [96] имеет место достаточ­

но общее соотношение, включающее предыдущий результат

 

 

 

 

 

Р(Ц>0) = Р(<1><2)= „ °2П ,

 

 

 

 

 

 

 

 

U] т

lb

если выполняются некоторые условия, оговоренные в лемме работы [96].

Рассмотрим случай, когда одномерная модель

приводит к

отысканию вероятности

 

Р = Р ! — о о < (< ф (г )],

(2.57)

где ф(т) — неслучайная функция; те[я, Ь].

 

Покажем, что справедлива следующая лемма.

 

81

Лемма I. Вероятность вида (2.57) вычисляется по формуле

 

 

 

 

ь

 

 

 

Р =

J’ f { y ) d y ,

 

где b— inf

ф (т)— нижняя

грань ф (т);

 

f (у) — функция плотности вероятности случайной величины t.

Доказательство.

Рассмотрим множества

В = { —оо<г1^

Сф(т)

b] и Вi =

{—оо<t ^ . b } . Из определения нижней

грани и соотношения 7? =

inf т|з (-г) находим, что BicrB, Bt f) B = BU

ВIП В == ф .

Отсюда

P(Bi)P(B|B,) = Р ( В ,),

Р(В|В,) = 1,

Р (В |Д ,)= 0 .

Далее

Р (В) = Р (В,) Р (В \В,) + Р(В,) Р (В |В,) =

= Р(В)), что и доказывает лемму I.

 

При рассмотрении одномерной задачи естественно возникает вопрос о том, что наряду с условием непревышения вида U— = t1 — 4 > 0 может при 12ф 0 рассматриваться эквивалентное условие x=ti/t2>l .

Найдем функцию плотности вероятности распределения слу­ чайной величины x=tilt2, где t\ н U — распределены нормально со средними pi и р2, дисперсиями oi2, a22 и коэффициентом кор­ реляции г12- Следуя работе [40], где рассмотрена эта задача при г\2 = 0, будем предполагать р2 столь большим по сравнению с а2, что область значений t2 можно считать расположенной вправо от нуля. Тогда, используя соотношение (1.53),

 

 

 

_

!_

У-

с

 

 

 

2 ( 1 - ^ )

II

j4/2—НЧV

 

 

 

 

Or-

(7-I/2 — ,“ l)

(y-l — V-l)

 

 

 

л л

-----------------------------

---------------------

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

ИЛИ

 

 

 

 

 

 

f(*) = a0

г/,ехр(Лг/2 — 2By-\-C)dy =

 

оо

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ао ^ */ехр| —

(v Ay

 

j dy,

о

где

П ' о = [ 2 я а 1а 2 ( 1 — г \ 2 ) Щ \

В =

А

82

с=

2 2

'

■2/'12H-ltJ-2crla2 + Hoai

fV2

2 2

2 О

rh)

 

° l a 2

Интегрируя с учетом принятого допущения относительно t%, на­ ходим

 

 

2

о

/00

(JLJ02 V. +

u.2a j — TioOiO? ('х-,а 2 + p i)

= 1 2л (<3j + a | х.2 — 2г]2*.с1°2)^ X

X ехР

______ (м-1 — И>-)2______

2

(•х,2о^ + 0[ — 2г12 Щ^у.)

 

 

Частный случай зависимости (2.58), когда /42=0, работе [40] и следует из этой формулы. Запишем для элемента вероятности

(2. 58)

приведен в выражение

dP

__l_ ехр

у!

 

где

1 ^2я

2

 

 

 

 

У

fj.0*. — и.]

 

2л]2у.о102

 

 

 

Отсюда следует, что для принятых условий

 

Р (* =

-£ - > 1) = Р (/, > ^а)=/=■ (Л),

(2.59)

где F(h) — функция Лапласа.

(2. 54) находится,

как ока­

Если величина U в выражении

зывается известным из каких-либо

источников, в интервале от

а до Ь, т .е. £/e[a, b\ в то время как для вычисления Р (£/>0) удобно использовать функцию плотности вероятности распреде­

ления f(U)

при (Уе(—оо, оо), то используют очевидное соотно­

шение

ь

 

 

\ f { U ) d U

 

P (£ /> 0 ) = J j---------- (2.60)

 

\ f ( U ) d U

где

[ f ( U ) d U = 1.

Пример 2. 7. Вероятность сохранения устойчивости стержня.

Система представляет собой математический стержень-стойку, защемлен­ ную одним концом и нагруженную эксцентрично на другом. Нагрузка Я0 по­ стоянна. Материал стойки и условия нагружения таковы, что для расчета критической нагрузки допустимо использовать формулу Эйлера

83

Смотрите также файлы