Файл: Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей.pdf

где к — постоянный коэффициент; а — коэффициент жесткости; /о— длина стержня.

Величина Рр является случайной, так как значения а и /0 имеют опре­ деленное рассеивание относительно средних значений М[а] = Ц| и М[/о] = ц».

А. Соотношение Эйлера полностью описывает величину Рр, а значения рI, Ц2, от,, 02 известны.

Б. Есть факторы Л, /2, ..., Cv, влияющие на Яр, которые соотношением Эйлера пе учитываются (например, факторы технологические: режим изго­ товления материала стержня, характеристики сырья и т. д.), и дополнитель­ но к этому значения pi, р2, О; и а-< неизвестны.

Решение. А. Будем считать, что Рр следует усеченному нормальному за­ кону распределения: Рр> 0. Тогда согласно соотношению (2. 60)

(1.77).

Если соображение о нормальности распределения Яр представляется со­ мнительным или требует проверки, а функции плотности вероятности а и /0 известны, можно найти вероятность Р(Яр>Я) методом статистических ис­ пытаний, рассмотренным выше и подробно изложенным в работе [35].

Б. В данном случае основываемся па экспериментальных значениях а и данных но измерениям 10.

Пусть по опытным данным в соответствии с выражениями (1. 127) и (1. 128) определены оценки

Л«

Тогда оценками условного математического ожидания п дисперсии являются

84

где р*— оценки коэффициентов регрессии, учитывающих при ;'=

^=1, N степень влияния факторов tь h , . . ty на величину у,

^PvV u < ;\г — оценка множественного коэффициента корреляции междуЯр и вектором (б, б , . . tK)\

° 2 = |А" ( wj + t/p + Д; + ^2)'

Щ= 0|/pi ■ ^2 “ 02/Р-2!

Д1, До, Aj, Д, —оценки поправок Д; , До, Др Д2. Пренебрегая усеченмостыо-

°у

Нижняя и верхняя границы доверительного интервала [Р, Р] для Р с учетом

монотонности функции F(h) по А находятся при этом на основе соотноше­ ний (1. 164):

Столь подробно разобранный частный пример позволяет те­ перь с большей ясностью изложить некоторые общие моменты оценки и контроля надежности на этапе проектирования. Разу­ меется, они сохраняются и в условиях приведенных ниже более усложненных вероятностных моделей и состоят в следующем.

1. На этапе проектирования исходными данными являютс принципиальная и конструктивная схемы системы и физические условия ее успешного функционирования, выражаемые в виде соотношений непревышения. Эти соотношения формируются на основании рассмотрения условий работы системы, физической теории прочности, условий устойчивости, тепловой стойкости и т. д. Величины, входящие в условия непревышения, находятся, теоретическим путем или экспериментально.

83

2. Для определения и контроля надежности системы на эта­ пе проектирования сначала формируется показатель ее надеж­ ности. Наиболее сложным является случай, когда система вхо­ дит в более крупную систему, так как при этом нарушение от­ дельных условий непревышенпя в некоторых случаях может быть компенсировано благоприятным сочетанием характеристик системы в целом.

Одним из общих выражений для показателя надежности иевосстанавлпваемой системы как элемента более крупной систе­ мы является выражение (2.44), в котором коэффициенты гр, г),-,-,.... наряду с системой допусков, выдаются разработчику

•системы разработчиком более крупной системы. Предваритель­ но при рассмотрении характеристик, входящих в условия непревышения, путем статистического моделирования пли эксперимен­ тально должны быть установлены функции плотности вероятно­ сти этих характеристик. Эти функции используются разработ­ чиком системы для расчета вероятностей непревышенпя Эти же функции используются разработчиком более крупной систе­ мы для определения упомянутых коэффициентов ip-, гр,-....

3.Параметры функций плотности вероятности, такие как

•средние значения, дисперсии и коэффициенты корреляции, нахо­ дятся из соотношений (1.72) — (1.81), если соответствующая характеристика получена расчетным путем. Если характеристика ■системы определяется экспериментально, то используются оцен­ ки этих параметров.

4.В некоторых случаях условия непревышенпя не полностью описывают механизм разрушения, прогара и т. д., а предвари­ тельные данные позволяют найти условные средние значения и условные дисперсии, учитывающие влияния дополнительных факторов. Тогда в значениях <7,-, рд,-.. . вместо безусловных мате­ матических ожиданий и дисперсий следует подставить соответ­ ствующие условные величины.

Иногда вместо введения условных параметров распределения в расчетные соотношения вводятся опытные коэффициенты согла­ сования, имеющие определенные выборочные распределения. Тогда расчетные средние, дисперсии и корреляции умножаются на выборочные средние значения коэффициентов согласования.

5. Таким образом, уже на этапе проектирования имеют де как правило, не с точными значениями параметров р, а, р, а с их

•оценками вида

N

где ^ р — расчетное значение какой-либо характеристики;

рь (3j — выборочные средние и коэффициенты регрессии,

■86

найденные путем обработки имеющихся статисти­ ческих данных;

%— среднее значение коэффициента согласования. Подставляя вместо р,, a, q, ... их оценки в выражения для q-lr

qa, находят приближенные оценки <7*, q^. Более точным при этом было бы использование несмещенных оценок для qi, qv [см. фор­ мулы (1. 142) — (1. 152)].

• • •. Ль тш> ■• •> 113 формулы, аналогичной (2.44), находят оцен­ ку Р для показателя надежности Р

и Р доверительного интервала [Р, Р], который с заданной дове­

рительной вероятностью у «накрывает» истинное значение по­ казателя Р.

С целью приближенного установления границ Р и Р может

быть использован метод статистических испытаний [35], основан­ ный на том, что моделируются выборочные распределения оце­

нок р, a, q,..., входящих в выражение (2.64). В результате на­

ходят выборочную функцию распределения F(P, Р) оценки Р. Полагая приближенно, что условия для цитируемой в § 1 . 2 ' теоремы о доверительных интервалах [81] выполнены, из уравне­

ний (1. 158) находят искомые значения Р и Р. Общий метод по­ строения границ Р и Р разработан в трудах [6, 13].

В некоторых случаях для показателя надежности Р доста­ точно найти только нижнюю границу. Тогда используют прибли­ жение [53]

—общее обозначение для qu q^, гц, гцц,... — аргументов функции Р = ф(х,-, i= 1, 2 ...,).

87

лу. доверительных интервалов [лу, ;Ту], каждый из которых с дове­

—требуемой величины Рт показателя;

—уровня значимости величины V = 1— у, равной вероятно­ сти отвергнуть нулевую гипотезу Я0, когда она верпа.

Проверку требований можно представить как проверку гипо­

границу Р для Р при значении доверительной вероятности у. Если

то требования по надежности к системе считаются выполненны­ ми, в противном случае — невыполненными. При этом согласно теории статистических гипотез первоначально исходят из «дове­ рия» к гипотезе Я0= { Р ^ Р Т|. Поскольку она благоприятна для принятия положительного решения, то процедура получается «мягкой». Если исходить из более жесткой нулевой гипотезы

Такой метод контроля существенно жестче, чем только что рас­

88