Файл: Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 218
Скачиваний: 0
Чтобы свести сложные вероятностные задачи к более простым, часто используются также различного рода неравенства. Так, если закон распределения некоторой функции /=ср(2 ь 22,...,
. .., Zh) неизвестен, а метод статистических испытаний исполь зовать не удается (вследствие больших затрат машинного вре мени, отсутствия исходных данных и т. д.), то для вычисления вероятности Р{ср(-)^Л'} может быть использовано следующее выражение [10 2]:
Р I?(Zi, z2. • • • ■ |
? (!X" |U”2-----^ |
|
(2.76) |
|||||
|
|
|
|
|
Vm |
|
|
|
где f m= sup cp(zft) |
-верхняя |
грань функции cp(-). |
При этом |
|||||
<р(-) — ограниченная |
|
вещественная, выпуклая, |
однородная |
|||||
функция, |
определенная в У?<й>, кроме того ср^г0, ср^=0. |
|
|
|||||
Пример 2.8. На выходе системы вырабатывается сигнал в виде функции |
||||||||
<Р(•гч , 22) = |
г \ г \< |
где г-] 6 [0; 0,90], |
z\ 2 б [0; 0,95]— |
случайные |
величины |
|||
со средними |
рч = |
у 0,7 |
и р.о = уА0,8. Найти вероятность того, |
что сигнал |
||||
будет превышать значение |
х = 0,1. |
|
|
|
известны, |
|||
Решение. Поскольку |
закон распределения и дисперсия не |
|||||||
а Фш = 0.903-0,952 = 0,66, |
воспользуемся оценкой «снизу» (2.76): |
|
||||||
|
|
г3г2 |
0 , 1] |
0,7-0,8 — 0,1 |
; 0,70. |
|
|
|
|
|
г1г2 |
|
0,66 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Использование неравенства (2.76) на этапе проектирования иногда оказывается удобным, так как оно требует минимально го состава исходных данных.
2.3.4. Многомерные модели и случайные функции
Многие задачи надежности вызывают необходимость рас смотрения многомерных условий безотказности и вычисления вероятности
рЧ 'з /'Ь 'Ч и /') _
того, что совместно произойдут N событий Ai<ziR, при z =l , N. В ряде работ предпринята попытка вычисления этой вероятно сти через «одномерные» и «двумерные» величины
Р(Д,-) = Р; И Р(Д- П A j ) = P tj.
Так, в труде [97] показано, что |
|
|
|
|
|||
/ N |
|
|
|
(1 |
— в[) Ь\ |
(2.77) |
|
Р |
/ |
2 с1 + (2 — a l ) b l |
|
|
|
||
\ / =1 |
2с i + (1 —а.] ) Ф ’ |
||||||
где |
|
N |
/ - 1 |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
i £ l ' |
||
Ьу = V |
<7/ |
ClS= |
V V ^ |
а х = ^ |
~ |
Е |
|
; |
Ф |
. |
*1 . |
||||
/ « 1 |
|
/=1 |
j = 1 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|||
93
2ci |
— целая часть |
числа |
2с 1 |
|
|
|
||||
wi J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<7< = P U , ) ; |
qi}= P(A, |
П А }). |
||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
р = р ( Д д . ) < р ; 1= |
|
|||||
|
|
|
N |
|
' |
Г |
|
|
|
N |
|
|
Й1 |
^ 2 |
QI |
|
|
|
(1 |
2 ' |
|
|
N |
i —1 |
Т - 1 |
|
/ |
|
N |
1 N |
i - 1 |
/=1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
- ( |
2 - •fli) |
|
V |
V , |
i= l -J |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
<’ - 1 7 |
- 1 |
|
|
|
|
1 - 1 |
1 = 1 7=1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.78) |
Соотношение |
(2.78) |
дает возможность |
вычислять оценку Рп' |
|||||||
для P = |
p | f l |
Aij |
«сверху». |
|
|
|
|
|||
В ряде случаев желательно иметь также оценку «снизу» для
вероятности Р Г) Л,),так как завышенные оценки не находят
широкого применения. Однако приемлемых оценок «снизу» еще
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ N |
\ |
|
не найдено. Одним из возможных методов вычисления Р I |
П А 1 , |
||||||||||||
доставляющих |
в |
ряде |
случаев такие оценки, |
является |
следую- |
||||||||
щий. Определим |
некоторую |
функцию |
У = У (Qa^ j, |
/= 1 , |
Л'; |
||||||||
7= 1 , N) |
коэффициентов QasAj корреляции между событиями Л* |
||||||||||||
и Aj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
QArAj-- |
|
р(А, |
n Aj) — Р (Л;)Р (Л;) |
|
|
|
|
|||||
|
, |
Р (.40 Р (л2) [ 1— Р (.10) [1 — Р (Ло)] |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
такую, что при всех Q,i...iy = 0 она обращается в нуль, |
а при всех |
||||||||||||
QaiAj = 1 — в единицу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вероятность |
Р^ П |
А/J является функцией |
от |
вектора |
(Аи |
||||||||
А2, ..., /Ijv) и матрицы |
||ел(.лу-||- |
Предполагая, что |
|
вследствие |
|||||||||
этого |
N |
A-j |
может |
быть |
выражена |
как |
функция |
от |
|||||
Р |
|||||||||||||
y=y(\\QA,Aj\\), имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
U |
/ N |
|
|
|
|
|
|
Р ( |
п л |
) = |
П р (Л/)+ |
г 4 |
.V' |
dy, |
|
|
(2.79) |
|||
|
1 |
ду. |
|
|
|||||||||
|
^ ' - 1 |
7 |
,-=1 |
|
i |
|
|
|
|
|
|||
94
если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
Из соотношения |
(2. 79) следует, что |
|
|
|||||
' |
|
V = 1 |
- d y = Р„, —ПР(Л,) = у50 |
|
||||
|
|
ду |
|
|
/- 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 ар[ п |
3; |
|
|
1 |
, N |
|
|
|
■dy — B0 |
\ |
Ч - У ' |
dy = B0KN, |
|||||
ду |
|
|||||||
|
|
|
|
ду |
|
|
||
где Pm = min |
Р (/1,-) |
— минимальное из значений |
Р (Л,-) при |
|||||
l< i < N |
|
N |
|
|
|
|
|
|
_______ |
|
|
|
|
|
|
||
' £ 1, N , ^о = Рт - П р (л <-). а |
|
|
|
|||||
|
|
1 -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
"р ( П и,) |
|
|
|
|
|
|
|
|
L d >- |
‘2' 8о> |
||
Из сравнения выражений |
(2. 80) и (1. 104) |
следует,'что в дву |
||||||
мерном случае при нормальном законе распределения случай
ного 'вектора |
(ti, t2) в выражении (2.80) |
y = Qn, а производная |
||||
|
<9Р(Д! П Л2) _ |
dP(At П Л2) |
=ф(Л.1, А2, q12), |
|||
|
|
ду |
|
дв12 |
||
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
* ( Ч |
К |
Qi 2)= 2Я ( 1 — |
2) ехр |
h j + л| — hih2Qi 21 |
||
|
1 — в? 2 |
|||||
и, следовательно, |
|
|
|
|
||
К ,= \ |
|
1 — |
\ Ф(Аа, /?2, z)dz; |
|
(Лх); Ра = / г(Ля). |
|
|
|
(Р т - Р F 2) |
•) |
|
|
|
Qi а
(2.81)
При h\ = h2 = 0 находим известный [40] частный результат:
95
К 9= \ |
А_ |
2л aresin z |
= — aresin q12; |
jT |
|||
9 |
9 9 |
Qi a |
(2. 82) |
Рда = PjP'2"Г (Pm— PiPa)AT3 = -7 -+ Г" arcsin Si 2- |
|
||||
|
|
|
4 |
zJt |
|
Из выражений (2. 79) |
и (2. 80) следует, что |
|
|||
/ |
N |
\ |
N |
N |
|
р | |
п л ; = П Р ( Л , . ) + Pm - |
П Р(Д') K N, |
(2.83) |
||
W“1 |
> |
,•=1 |
1=1 |
|
|
причем
Ка’ = 0, если все Qo= 0 (и значит //=0);
Kn = 1, если все Qij=l (и значит //=1).
Дадим еще одно представление для Р | f) Д-):
|
|
N |
|
|
|
|
pf пд,)=П P/+4-V1BJ<• |
(2. 84) |
|||
Здесь |
|
/ =1 |
|
v = l |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s v= |
=р- Р(/л — пП р,-; Р/=Р(Л0; Ру=Р(^у); |
||||
|
|
i1=1l |
|
|
|
P,’ = |
min(P/, Ру); |
Р(/у)=р( |
п Д-) / р (Л, П Лу); |
||
Kv = K(i])= \ - |
|
^ |
Р (У> Qm/i т Ф |
^ Ф |
|
|
p 'ipiii) - |
ПР/ |
К' |
|
|
|
|
/=1 |
' Ч; |
|
|
Р (У. Qm?. ,?г 7^ С ^ 7^ /) —Р ( П |
А ) — вероятность пересечения /V |
||||
;=1
событий, рассматриваемая как функция от коэффициента корре ляции Qu = Q AjA. = y;
v — номер |
комбинации индексов i |
и / при /< /; |
|
|
с — число комбинаций индексов I и / при г <( у [с = |
^ ^ j — |
|||
= N ( N — 1)12]. |
|
тождественно |
выполняется. |
Действи |
Соотношение (2.84) |
||||
тельно, у v e[l, |
с] |
|
|
|
|
N |
1 |
|
|
Д»АТ, = Р/Р(/у) — Л Р, — J ^-Р(«/, efflt, т ф i, 1 ф j ) d у = |
||||
|
‘ =1 |
он |
|
|
96
= р |
N |
\ |
|
* |
|
п а , |
/ |
- П Р , |
|
||
|
Vi- 1 |
|
/-1 |
|
|
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
с |
|
|
I N |
\ |
Л' |
с- 1 у ВЖ, = Р п А, - П Р / - |
|||||
|
|
|
V'-i / /=1 |
||
Легко заметить, что |
7?v<; Рт-пN Р/ |
и 5 v> P (;y)P,^;., если |
|||
1=1
Qij^O. Следовательно, при qj=/=0, и может выполняться соотно шение
к , > к , = I |
Р„=Р(А, п А,), |
|
N |
тогда представление (2.84),
K n ^ - K n
‘<J
где B s^ P m — J] Pf, у v e [l, с] й
|
i-i |
|
|
|
|
II ° h |
' |
< |
(2.85) |
b l *» |
M |
|||
оU |
|
i |
|
|
Pl.2.... |
s |
N |
|
\ |
|
|
|
или |
■N > p { f l , A‘)
N
Pi,2.....iv<lP( П Д,- , т. е. приближение ,/=1
дг \ |
N |
* |
|
N |
|
|
Р п АЛ « P i , 2........* = п |
Р , + |
Рт - п Р / |
K Nt |
( 2 . 8 6 ) |
||
1 - 1 |
1 = |
1 |
|
1=1 |
|
|
|
|
|
|
|||
где KN находится из равенства |
(2.85), |
оказывается в зависимо- |
||||
стп от значений Р,-, Q,j оценкой снизу или сверху для |
Р | |
N |
||||
f| Л,-j . |
||||||
Область таких значений Р п р е д с т о и т |
еще изучить. В резуль |
|||||
тате может быть найдена поправка е.у в выражении |
|
|
||||
Р — Р ^ П |
^ / ) = |
Pi,2 ...... n |
- \ - s n . |
|
(2. 87) |
|
Для нормального распределения в качестве приближенного' значения для К., из соотношений (2.81) п (2.82) имеем К-, «
4 |
312 |
97 |
|
|