называется |
а и а л и т и ч е с к н м |
п р о г н о з и р о в а и и е м. |
Применяется и другое решение задачи прогнозирования. |
где |
Необходимо по известным значениям у(т<), причем |
i=0, 1,.. |
и, определить вероятность того, что значения |
функ |
ции у(т) не выйдут за допустимые пределы, т. е. что |
|
|
Р |
6д ) , |
|
где у(т„+{)—значение контролируемой функции в моменты вре мени T,i+t^T>T*;
Уп(т) — требуемое изменение функции при исправном со стоянии.
Такое решение задачи прогнозирования называется в е р о я т ност ны м.
Аналитическое прогнозирование
Если контролируемая функция изменяется монотонно и про изводная не изменяет знака, то можно применять аналитиче ское прогнозирование, когда определяется аналитическое выра жение, которое намлучшнм образом описывает контролируемую функцию, на участке прогнозирования, т. е. при т>т*.
Пусть имеется функция у(т), заданная дискретными значе ниями у{то),..., у{т). Необходимо подобрать такое аналитиче ское выражение У(т), чтобы в моменты времени т,ет* соблю дались условия
П т 0) = «/1Т0);
K(T,) = ytT 1);
(6.4)
У(*„' = '/( тД
а в моменты времени т ^ т > т * -— |
|
У[*,г-1) = У(т:п=-ibrl£il; |
|
У1тя+з) = ^1тл+а)+ 1ч|; |
(6.5) |
|
При этом ei=(e;)minИз последней системы уравнений опреде ляются
У(Т/Н-1)— 11ян) + £х!
(6.6)
Величины Ei могут быть определены экспериментальным путем для конкретных реализаций у(т).
Пусть в качестве прогнозирующей функции выбран много
член У(т) вида |
|
|
|
|
|
|
У (т) = Л1/71(т)-|-у42/72 (т)-|- |
AkFk{x), |
(6-7) |
где Fi(x) — составляющие функции; |
|
|
|
Ai — весовые |
коэффициенты составляющих функций. |
|
|
|
т |
|
|
|
|
Принимается условие [5], |
V |
A t— 1, которое упрощает |
вы- |
|
|
/= 1 |
|
в об |
числительные операции. Так как значения у{т) известны |
ласти 0 — т*, то Fi(т) и Ai |
могут тоже |
определяться только в |
этой области |
разбивается |
на несколько участков. Для |
Область 0 — т„* |
монотонных функции достаточно |
иметь два участка: |
|
|
|
7у>€7\ и Т^КТГ |
|
|
На первом участке |
определяется составляющая функция, |
ко |
торая в общем случае может иметь вид |
|
|
|
F (т) = |
а 0ср0 (т)-(-^©Дт)-f-... -\-akwk{x), |
(6.8) |
где фДт) — функции простейшего вида; |
|
|
|
ai — неизвестные коэффициенты. |
|
|
|
Когда сро(т)=1, cpi (т) = т , ..., |
Фй(т) = тй и уравнение (6.8) |
при |
нимает вид |
|
|
|
|
|
|
F {х) = а-0-\-а,\!х -\-... -f- a.kxk. |
(6.9) |
В результате задача сводится к определению коэффициентов |
полинома (6.9) a.i— f[y(xi)]. |
На участке |
7<2>определяются |
весо |
вые коэффициенты |
А {. Ввиду того, что составляющие функции |
Fi(x) найдены как |
функции от текущего времени, значения Л,- |
могут быть вычислены на участке Т[2К Тогда значения весовых
коэффициентов А; определяются |
из следующей |
системы урав |
нений: |
|
|
y(xr+i)= yi A!F i(xr+1); |
|
ТП |
|
|
У(^г+а) = 2 |
А-^/К-та); I |
(6.10) |
У{хп)=У, AiFt{.1„), |
|
где т0, т1,...,т^7'<1); г,+1, |
хп £ Т[2К |
|
Таким образом, прогнозирующий многочлен (6.7) определяется решением системы (6. 10).
Достоинством прогнозирующего многочлена (6.7) является то, что в нем можно подставлять некоторые стандартные базо вые полиномы, а весовыми коэффициентами корректировать их
иповышать точность прогнозирования.
Вкачестве базовых полиномов используется ряд математи ческих многочленов [10]. Рассмотрим некоторые из них.
1.Полином Лагранжа
Вцелях прогнозирования многочленом (6. 7) можно исполь зовать интерполяционную формулу Лагранжа:
F ]X{X)= L0y{xli)+r Laij{Xi)-\-...-\- L„y(x„), |
(6.11) |
где Li — коэффициент Лагранжа.
Коэффициенты Лагранжа определяются зависимостями
|
|
П ( '» + |
л |
|
|
L; |
J-QJtm-i____ |
( 6. 12) |
|
tn |
|
|
|
П V - л |
|
|
где in — число шагов прогнозирования. |
перепишется так: |
В развернутом виде |
формула (6. 12) |
4 , - |
( Т— Т , ) ( Т - Т 2) . . . ( Т — т ’ ) |
|
(В>—ВИВ, —То).. • (т0 — В,) |
|
|
(Т— Т0)(т — То). . - (т —т«) |
|
L — |
|
|
|
|
(В — Т. ) (Т; — Т_). . ■(В-В,) |
|
|
(Т —Т,„)(Т—Т|). ■-(Bn-l) |
|
|
(тт |
ти)(Гт В)■• • (Гт |
|
При равнозначном |
шаге |
т — ц = 1\ формула (6.11) |
с учетом |
выражения (6. 12) принимает вид |
|
|
/V, (т) = (-1)" —(h |
l)- (/i~ " ) |
У ( - 1 У |
у (т;). |
|
|
п! |
п — I |
|
|
|
|
о |
|
Коэффициенты при у(п) |
не зависят от у (г). |
|
Последнее уравнение можно записать следующим образом:
Пл (Т)= (- 1 у- - т t'n + 1)-••(« т- /Q у |
с ;, |
- У№. |
|
т -f п |
/аО |
— i |
|
|
где т — количество шагов прогнозирования; и — степень полинома.
Тогда коэффициенты Лагранжа принимают вид
' 1 |
— \ у->С1 |
т("1+ |
+ п) |
п |
(т + п — i) п! |
В табл. 6. 1 представлены |
значения |
коэффициентов Лагран |
жа в зависимости от числа шагов прогнозирования и степени полинома.
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 6. I |
Степень поли |
|
п = i |
|
«= 2 |
|
|
|
п-=3 |
|
нома |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Количество |
ц |
^1 |
^0 |
ц |
L2 |
ц |
|
^2 |
Ц |
шагов, пг |
|
1 |
— I |
2 |
I |
- 3 |
3 |
—1 |
4 |
—6 |
4 |
2 |
—2 |
3 |
3 |
—8 |
6 |
—4 |
15 |
—20 |
10 |
3 |
—3 |
4 |
6 |
— 15 |
10 |
—10 |
36 |
—45 |
20 |
4 |
—4 |
О |
10 |
—24 |
15 |
—20 |
70 |
—84 |
36 |
5 |
—5 |
6 |
15 |
—35 |
21 |
—35 |
120 |
—140 |
56 |
2.Полиномы Ньютона
Врезультате дискретного измерения контролируемой функ ции у(т) можно составить разности от первого до /г-го порядка, соответствующие значениям параметров.
Разности первого порядка:
y[*n) - y[xn-i) = byn- x\
У(*п-1) —У(Тп-2)=±Уп~2’
У{*1) — У(*»)=±У0-
Разности второго порядка:
ДУя-1 —Д^л-2= А 3^я-а;
^Уп—2 &Уп—3= Д Уп—3’
Д^ —Д#о== Д'“Уо■
Разности к-го порядка:
Ь*Уп= Ьк~1Уп+1— Ь*-1У„-
Прогнозируемый полином записывается в виде
