F п(*)= ао+ ai ft —*n)+ aa H - K,) H - r«-i) +
|
T" ~T a n ft |
"O H |
'Cn-x)"-('t' |
П )' |
|
|
[6. 13) |
Коэффициенты cii |
определяются из формулы |
(6. 4) |
[7]. |
|
При т = т „ |
а0= У(т„) — Уп\ полагая т = т п_ь |
имеем |
У„_1= |
= y n + ai (т7!- 1 |
■— тп), |
а |
так |
как |
t „ _ i — xn = h = 1, |
то |
at= |
= у п — ;/„_! = |
Аг/,,-1- |
Полагая в выражении |
(6. 13) т = т „ _ 2 и за |
меняя коэффициенты а0 |
и ад их значениями, получим |
|
|
|
_ |
Уп — 2 У п - \ + \ У п - 1 _ |
2 |
|
|
|
Продолжая подобные преобразования можно получить |
общую |
формулу для коэффициента о,- следующего вида: |
|
|
|
Подставляя полученные коэффициенты в уравнение (6. 13) окончательно получим формулу Ньютона для прогнозируемого полинома:
|
F п(т) —«/„-[-A2!/,,-,(т- т„)-{- |
Л~ |
у |
И - |
т„)(т- т„_г)+ |
|
|
- г - |
+ |
/И |
|
— |
|
|
—t j . |
(6. 14) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так |
как т — тп= т (т — количество шагов |
прогнозирования), |
то уравнение (6. |
14) |
можно переписать в виде |
|
|
|
|
|
^п (t) = |
Уп+ |
N i + |
Ь'Уп-гМ г+ |
•••-; |
A2//<KV,„ |
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
= |
J~| (т — 1-j-A). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты Nk |
не |
зависят |
от |
х |
и |
для |
них |
составлена |
табл. 6. 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 6.2 |
т |
|
JV, |
n 2 |
ДГ3 |
т |
|
|
|
n 2 |
N 3 |
1 |
|
1 |
I |
|
1 |
|
6 |
|
6 |
|
21 |
56 |
2 |
|
2 |
3 |
|
4 |
|
7 |
|
7 |
|
28 |
84 |
3 |
|
3 |
6 |
|
10 |
|
8 |
|
8 |
|
36 |
120 |
4 |
|
■4 |
10 |
|
20 |
|
9 |
|
9 |
|
45 |
165 |
5 |
|
5 |
15 |
|
35 |
10 |
10 |
|
56 |
22Q |
3.Метод наименьших квадратов
Втех случаях, когда контролируемая функция изменяется по сложному закону и информация о контролируемом параметре ог раничена, наименьшую ошибку в определении прогнозирующего полинома обеспечивает метод наименьших квадратов.
Пусть имеются данные о г/(т,). Необходимо построить поли ном Fm(x), который отличается от действительной функции на величину, не большую е, т. е.
тах[г/(т;)— /гт (-г,•)]<£.
Подходящей функцией Fm(x) будет та, для которой алгебраиче^ ская сумма квадратов ошибки — наименьшая, т. е.
ГП |
|
2 \У‘~ / \ f = min. |
(6.15) |
/=1 |
|
Прогнозируемый полином задается в виде
F,n(*)=ciu-\-a1x -(-а2т2-{-... -\-amxm. |
(6. 16) |
Дифференцируя уравнение (6. 15) с учетом выражения (6. 16) и приравнивая производные нулю, получим систему уравнений для определения ар
/Шо+ |
a i V T .- j-a 3V t f -f ... + |
ая V t f = ' V г/,.; |
|
п |
/-1 |
1= 1 |
i =1 |
/=1 |
|
|
|
п |
|
|
«о 2 |
г' + а* 2 |
'c? + - + am 2 |
тг +1= 2 |
Х:У‘; |
(6. 17) |
I = 1 |
С — \ |
1=1 |
1=1 |
|
пИ
л . |
т171 ! |
П -т'Пг-т\ |
V х2"‘ = V х” |
и0 ^ |
1/ I |
и1 _?>lj |
ТУг |
/ = 1 |
|
с = 1 |
/=1 |
Система (6. 17) разрешается относительно а; и при этом оконча тельно определяется искомый прогнозирующий полином Fm(x).
Кроме рассмотренных полиномов, могут применяться поли номы Чебышева, а также различные эмпирические выражения.
Втех случаях когда прогнозирование ведется не по одному,
апо нескольким контролируемым параметрам, решение задачи прогнозирования принципиально не отличается от изложенного. Для каждого прогнозируемого параметра определяется прогно зируемый полином по одному из методов, изложенных выше, и определяется изменение каждого параметра.
При контроле нескольких параметров для целей прогнози рования также может быть применен метод Бокса—Вильсона [52], который заключается в следующем.
По результатам контроля определяется уравнение гиперпо верхности, которое приближенно описывает нижнюю границу области изменения контролируемых параметров.
Общий вид прогнозирующего уравнения имеет вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 = |
V а,т/;+ V |
V a,ktj,ijk-\- V |
(6.18) |
|
|
|
;= 1 |
/-1 *=;+1 |
/= i |
|
где |
а,-, |
aitk — постоянные |
коэффициенты, |
которые |
определяют |
ся |
по |
результатам |
измерений |
контролируемого параметра. |
Вероятностное прогнозирование
Рассмотренные аналитические методы прогнозирования при менять не всегда возможно из-за того, что контролируемые функции являются сложными функциями и для них не удается достаточно полно подобрать прогнозируемый полином. Кроме того, все контролируемые функции являются случайными, а их значения при каждом аргументе также случайные величины В этих случаях не определяется закон изменения контролируе мого параметра в будущем, а оценивается вероятность того, что контролируемая функция в моменты т,- выйдет за допустимые пределы, т. е. наступит состояние отказа.
В силу предельной теоремы теории вероятностей можно пред положить, что значения контролируемой функции в каждый фик сированный момент времени подчиняется нормальному закону распределения и характеризуется двумя статистическими вели-
|
П |
чинами: математическим ожиданием |
tny= "V г/(тД'« и средне- |
|
1 |
квадратическим отклонением °и |
где п — |
количество измерений значений у в моменты т,-.
Практически |
величина математического ожидания совпадает |
с номинальным |
значением контролируемой функции в каждый |
момент времени. |
Следовательно, для фиксированного момента |
времени х плотность распределения контролируемой |
функции |
имеет вид |
|
и/—Щу)г |
|
/(У) = ---- Н . |
(6.19) |
ау у 2л |
|
Если априори известно, что ту = const, т. е. номинальное зна чение контролируемого параметра не изменяется, а изменяется с течением времени его разброс ау, то задача прогнозирования решается так.
Пусть даны предельные значения контролируемого парамет ра уи 1/2, тогда вероятность выхода у(т) за допустимые пределы определится зависимостью (рис. 6. 4)
( 6. 20)
Pff( 0 i < « / < 0 2 ) = 4
Учитывая, |
что yl= mu— ед; У2 = т у+ гя, |
а Ф (Z )— нечетная |
функция, |
т. е. — 0 ( Z ) = 0 ( —Z), |
уравнение |
(6.20) |
перепишется |
в виде |
|
|
|
|
|
Ру (!у (t i)— !пу\ < |
ел)= ® |
■ |
(-6-21) |
|
|
V °у |
! |
|
|
Т, |
Рис. 6.4. Статистические ха |
Рис. 6.5, Статистические ха |
рактеристики функции |
рактеристикн функции |
у(т) =var |
у{ т) = const |
Вероятность Р„ определяется для последнего измерения в мо мент т„. Практически как математическое ожидание, так и сред неквадратическое отклонение являются функциями времени пгу= т и(т); ov= a , j ( т), и тенденция изменения контролируемой функции определяется характером изменения ее моментов ти и ои (рис. 6. 5 ).
Для выяснения характера изменения моментов во времени необходимо разделить известную область Ть на k подобластей, как это делалось при аналитическом прогнозировании.
Среднеквадратическое отклонение во всей области Т\ опреде ляется так:
k
где а^— значения среднеквадратического отклонения в разные моменты времени в области 7V
Нормальный закон распределения для контролируемой функ ции с параметрами ти(т) и сгц(т) области Т\ имеет вид
f ( y ) = |
|
|
k |
|
: X |
|
|
1 |
Z |
/ |
2я V , |
|
\ Д |
[l/(T;/ ) - '« i/0]2 |
|
|
V |
|
У |
|
|
/=о |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
V I |
1 V |
, 4 |
|
У— ~Г |
V |
--- |
7 , |
У(<) |
X |
k |
1p |
rP jtea4 |
|
e x |
* |
t=0 |
( 6. 22) |
1-0
и по формуле (6.21) вычисляется вероятность и направление ее изменения. Для вероятностного прогнозирования можно исполь зовать полиномы, применяемые в аналитическом прогнозирова нии. Для определения тенденции изменения ти(т) и сгДт) в об ласти То для времени xn+j (/= 1, 2,..., in) используются Fm!/(in)
и F, (/?;). В общем случае эти полиномы имеют вид
Л1 X
F my { m ) = V Л х V а гт 1,
Х=1 / = 0
МX
|
|
/ г^ ( ,п) = 2 |
Лх2 v |
71’1’ |
|
|
|
Х= 1 |
Т) = 1 |
|
|
где |
|
ai = f { m B)\ an = F(?g). |
|
Вероятность |
в области прогнозирования |
То |
определится зави |
симостью |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
М |
|
|
|
|
уо — V |
V aim1 |
Ру1У1<У{х)<У-2\ = -^ |
Ф |
яг |
x = i |
1= о |
х |
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
— дх 2 |
|
|
|
|
|
Х= 1 |
т)= 0 |
|
|
Л1 |
|
X |
|
|
|
|
й. - ’Х л V |
aim |
|
|
|
- Ф |
х = |
/ = 0 |
1 |
(6.23) |
|
м |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
X / 1 “ j]' |
/ |
|
|
|
Х=1 |
|
|
|
7)= 0 |
|
/ |
|
При вероятностном прогнозировании особое влияние на точность оказывает выборка, т. е. число измерений п. Для малых выборок («<20) наилучшие результаты получаются, если вместо нор-
