После контроля должна увеличиться вероятность того класса «состоянии, в котором действительно находится двигатель. Если
|
|
|
|
|
|
|
используется идеальная по достоверности |
система распознава |
ния, то после контроля вероятность действительного |
класса со |
стояния двигателя, будет равна |
единице. |
Однако из-за |
ошибок |
системы |
распознавания некоторая неопределенность |
состояния |
двигателя останется. |
Ома может быть выражена через |
апосте |
риорные |
вероятности |
классов |
состояний |
Pap(/(i), |
Рпр(Аг),... |
..., Рар(Кх), характеризующие |
нахождение состояний |
объекта |
в соответствующем классе, если получены определенные резуль таты измерений. Эти вероятности можно определить, используя формулу Байеса [82]. Пусть в результате контроля получена реализация параметров Bj(y,, г/2, ..., г/,,,). Апостериорные веро ятности принадлежности полученной реализации к каждому ■классу определяется по формуле Байеса
V Р ( А Г , ) Р (Bj/Kt)
/■= 1: <'= 1
где P(A’i) — априорная вероятность /у,- класса;
Р(К;/В-)— апостериорная вероятность гипотезы о принад лежности Bj реализации к /С,- классу;
P(B-JKi) — условная вероятность принадлежности состоя ния к /-му классу, если в действительности имеет место /-й класс.
Если система идеальна, то она укажет на принадлежность со стояния двигателя к /-му классу только в том случае, когда со стояние двигателя в действительности находится в этом классе. Тогда
P(BJKi) = \ при / = /; |
Р (5 ;//<■;) = 0 при |
Следовательно, знаменатель формулы (6.96) |
примет вид |
2 |
р (к ;) Р {В/К:} |
Р и <i) Р (Bj/K,), |
1 |
|
|
|
и поэтому |
Р (/<1/ВЛ= |
Р (/ч/) Р (Д//7С,) = |
1. |
|
' |
Р(Л’,)Р ( B j / K i ) |
|
Таким образом, при использовании идеальной системы распо знавания достоверность наших предположений о принадлежно сти состояния двигателя к /(; классу увеличивается по сравне нию с априорными данными на величину
Р(/</) Р (А ,)'
Реальная система |
распознавания |
обладает |
ошибками, |
поэтому |
|
Р( B j/K iX . 1 |
при / = /; |
|
|
|
P(BjlKi)>0 |
при у ф / . |
|
|
Следовательно, Р (А,7В,) < 1. |
|
|
|
|
Пусть имеется |
N классов, представляющих полную группу |
состоянии двигателя. В результате контроля получена |
реализа |
ция параметров для какого-то, пока |
неизвестного, класса ава |
рийных состоянии |
y{bj \ |
. . ., |
/ / ^ ] - |
Требуется опреде |
лить последовательно апостериорные вероятности гипотез: Н\ — принадлежности реализации Bj к классу Кй
Но — соответственно к классу Ki и т. д. до An- i; Н ,v — принадлежность реализации Bj к классу Kn-
Тогда апостериорная вероятность гипотез Hi определяется п»
зависимости |
(6.96) |
|
|
|
|
|
|
|
Р('<;)/{ |
|
i /f 'l .... i/Sf'0]} |
(6.97) |
ЩВ/ J B j ) ^ ---- ------------------------------------------- — |
|
|
2 |
p ( |
^ |
) / { v p ^ |
.......#2»]} |
|
|
|
i - 1; ‘'=i |
|
|
|
|
где |
P (Hi) — априорная вероятность гипотез; |
|
f \ B j ^ y \ K‘\ |
y^K'\ |
• • •, |
|
— многомерная функция |
правдо |
|
|
|
|
|
подобия; |
|
|
у[к‘\ |
у{К |
• •., |
у^ |
1'*— образ (эталон) класса |
А,-, вы |
|
|
|
|
|
раженный |
совокупностью при |
|
|
|
|
|
знаков. |
|
|
Зависимость |
(6.97) можно значительно упростить, если вос |
пользоваться следующими принятыми допущениями.
1.Априорные вероятности классов одинаковы, т. е.
р(К х)--=Р (К = . .. = Р (KN)= Р(К).
|
|
|
|
N |
Тогда |
Р |,71)= Р ( //2) = . . . .= Р (//* )= Р(//) и |
V р (//,)= 1. |
|
|
|
|
t-i |
2. Статистическая независимость признаков. |
В этом случае |
многомерную функцию / |
^Bj/^y\K‘\ у{к'\ ■■■, |
можно |
представить в виде [44] |
|
|
|
|
|
*?'>]}= |
|
= |
/ |!/Р> / |
!/Г')] / |
[ # > / !/Г'Ч • ■■/ [€'■> / |
«£'>]. (6-98) |
где / |
[ у[ь^ j |
— одномерные функции [распределения. |
Для нормального закона распределения признаков функция распределения определяется так:
/ [уР ]/ У ? 1)1 |
т = ехр |
|
|
(6. 99) |
Где niy(Kj), о^(«■,)— |
,(Л7 ) 1'2л 1 |
т |
ч * » |
|
математическое ожидание |
и средмеквадра- |
тпческое отклонение признаков А; |
класса, |
или |
статистические |
характеристики образа А,- класса, |
полученные |
до контроля; |
//(Д )—-значение признака Bj реализации, измеренное систе мой распознавания.
С учетом изложенных допущений зависимость (6.97) для
определения апостериорных |
вероятностен, можно переписать |
в виде |
т |
|
Р [ Н ,!в j) |
( 6. 100) |
i - U - 1
Апостериорные вероятности гипотез вычисляются для всех классов в блоке сравнения (см. рис. 6. 14). По полученному рас пределению апостериорных вероятностей определяется, к какому классу A"i из N принадлежит В; реализация.
6.5. 5. Критерии принятия решения
Выбор критерия принятия решения о принадлежности реали зации к соответствующему классу относится к типу задач про верки статистических гипотез. Существует несколько правил при нятия решений, которые обеспечивают минимальную ошибку распознавания. Вероятность ошибки распознавания, под которой понимается вероятность ошибочного отождествления реализации с классом, можно определить в общем виде по зависимости [52].
N
Р ( е ) = V р [ В j ) [ 1 - max Р (A ,-/A ; )].
7=1
Рассмотрим в общем виде некоторые критерии, которые позво ляют принять решение с минимальной ошибкой.
1. Критерий Байеса
Пусть имеются два класса объекта Ai и АП, характеризую щиеся одним признаком у, который распределяется по нормаль ному закону:
1
f l i y )
Априорные вероятности классов известны п соответственна равны
Р1Л'1) = Р1; Pl/Ca) = Pa; P i + P a= I .
Задается условная стоимость (риск млн другая величина) пра вильных и неправильных решении. Пусть «стоимость» решения,, когда класс К\ принимается за класс Ко, будет сц, и когда наобо рот— с2г Стоимости правильных решений обозначены Сц, с>2. Можно определить среднюю стоимость распознавания классов.
/\| п Ко.
Для этого обозначим вероятность ошибки в принятии Кг за К\ через F;и К\ за Кг — через Ап и правильного решения — через D.
Средняя стоимость с учетом априорных данных |
определится по |
зависимости |
|
rcp = Cu ( l - P ) ( l - ^ ) + Cl9( l - P ) ^ |
+ |
+ д 2РД-!-г21РД„. |
(6.101) |
Подставив выражения для соответствующих вероятностей, по лучим
|
Uо |
|
|
Рср = ( 1 - Р ) |
Сц | /КУ^/у-'гСп J |
f i ( y)dy |
|
— |
и |
|
+ Р с2И' /°ЛУ)с/У-г On f f i ( y) dy |
|
Уо |
|
|
где уо — граничные |
значения |
признака, |
разделяющего классы |
(рпс. 6. 18). |
|
|
|
Для определения минимальной средней стоимости в зависи мости от у0 вычислим дсС1,/ду0 и приравняем нулю:
дс |
|
|
|
~дУи = ( I |
Р) [Сц/ i |
1Уа) — ci2/ l |
(Уо)] 4~ |
~\~ Р [С21Д2 ( |
с22Д 2 (г/ц)] = |
0 , |
откуда, приняв, что стоимость правильных |
решений С ц = с22= 0, |
получим |
|
|
|
j\ |
()) |
— Р g]2 |
(6.102} |
0 |
/ | (До) |
Рс2\ |
|
где Ло — отношение правдоподобия.
