Файл: 1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами умножение на число, сложение, умножение матриц.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.04.2024
Просмотров: 92
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
Выпишем расширенную матрицу системы.
Шаг 1. Поменяем местами первую и вторую строки, чтобы стал равным 1.
Шаг 2. Умножим элементы первой строки на (–2) и (–1) и прибавим их к элементам второй и третьей строк, чтобы под элементом в первом столбце образовались нули.
Шаг 3. Умножим элементы третьей строки на (–0,5).
Шаг 4. Поменяем местами вторую и третью строки.
Шаг 5. Поменяем местами второй и третий столбец. (Шаги 3, 4, 5 приведены с тем, чтобы ).
Шаг 6. Элементы второй строки умножим на 3 и прибавим их к элементам третьей строки, тогда под элементом появится нуль.
(называется расширенная матрица системы) .
Расширенная матрица приведена к треугольному виду. Соответствующая ей система имеет вид:
Из последнего уравнения ; из второго ; из первого .
Таким образом, ,
, .
10. Решение систем п линейных уравнений с п переменными с помощью обратной матрицы (вывод формулы Х=А –1В).
Для получения решения системы при в общем виде предположим, что квадратная матрица системы невырожденная, т.е. ее определитель . В этом случае существует обратная матрица .
Метод обратной матрицы.
Запишем систему в матричной форме:
, где
- матрица коэффициентов при переменных,
- матрица-столбец переменных; - матрица столбец свободных членов.
Умножим слева обе части равенства на матрицу :
;
;
;
.
Таким образом, решение системы в матричном виде .
Пример. Решить систему уравнений методом обратной матрицы.
Р е ш е н и е: Обозначим ;
; .
Тогда в матричной форме система имеет вид: . Определитель матрицы , т.е. обратная матрица существует: .
Определим ,
Существенным недостатком решения систем линейных уравнений с переменными по формулам Крамера и методом обратной матрицы является их большая трудоемкость, связанная с вычислением определителей и нахождения обратной матрицы.
11. Теорема и формулы Крамера решения системы п линейных уравнений с п переменными (без вывода).
Теорема Крамера. Пусть - определитель матрицы системы, а - определитель матрицы, получаемой из матрицы заменой -го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:
, ( ).
В соответствии с обратной матрицей , где - матрица, присоединенная к матрице . Т.к. элементы матрицы есть алгебраические дополнения элементов матрицы , транспонированной к , то запишем равенство в развернутой форме:
.
Учитывая, что , получим после умножения матриц:
, откуда следует, что для любого .
На основании свойства 9 определителей , где - определитель матрицы, полученной из матрицы заменой -го столбца столбцом свободных членов. Следовательно
.
Решение системы линейных уравнений с неизвестными
Рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными.
Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы: .
Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы:
Теорема 1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. , то система имеет единственное решение.
Теорема 2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. , то система является неопределенной и имеет бесконечное множество решений.
Определение. Базисным минором матрицы называется любой ненулевой минор, порядок которого равен рангу матрицы.
Определение. Те неизвестных, коэффициенты при которых входят в запись базисного минора, называются базисными (или основными), остальные неизвестных называются свободными (или неосновными).
Решить систему уравнений в случае - это значит выразить базисные переменные через свободные. При этом имеем общее решение системы уравнений. Если все свободные переменные равны нулю, то решение системы называется базисным.
Пример. Решить систему методом Гаусса:
Р е ш е н и е. Выпишем и преобразуем расширенную матрицу системы. Сначала прибавим к элементам третьей строки элементы первой строки, умноженные на –1. А затем элементы второй строки умножим на –1 и прибавим к элементам третьей строки:
.
Расширенная матрица приведена к ступенчатому виду.
. Так как ранг матрицы равен 2, а количество неизвестных равно 4, то система имеет бесконечное множество решений. В качестве базисных неизвестных возьмем и (т.к. определитель, составленный из их коэффициентов не равен нулю ), тогда и - свободные неизвестные.
Выразим базисные переменные через свободные.
Из второй строки полученной матрицы выразим переменную :
, .
Из первой строки выразим : ,
.
Общее решение системы уравнений: , .
12. Понятие функции, способы задания функций. Область определения. Четные и нечетные, ограниченные, монотонные функции. Примеры.
Понятие функции одной переменной
Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение. Например, отношение длины окружности к ее диаметру есть постоянная величина, равная числу .
Если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса, она называется параметром