Файл: Начертательная геометрия курс лекций..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 20.06.2024

Просмотров: 133

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

и S4 и намечаем вырезанную часть. Убирая все вспомогатель­ ные и невидимые линии, оставляем на рис. 189,5 изображе­ ние конуса с вырезом. Для наглядности на внутренних по­ верхностях наносим штриховку.

Рис. 190

На рис. 190,6 показана косоугольная проекция шара, ко­ торый изображен в ортогональных проекциях на рис. 190, а. Для построения косоугольной проекции рассекаем шар рядом

плоскостей, параллельных

плоскости

V.

Эти

сечения

будут

окружностями с центрами

в точках 1, 2,

3,

1и 21у

Зи

...

На рис. 190,6 строим косоугольную проекцию центра

шара

(точка С) и точек 1, 2, 3,

. . . , 1и 2и

Зи ...

 

 

 

188

Принимаем их за центры окружностей, которые и прово­ дим, беря радиусы с рис. 190, а. Все эти окружности, парал­ лельные плоскости V, на рис. 190,6 вычерчиваем без искаже­ ния, затем огибаем их плавной кривой (эллипсом) и таким образом изображаем контур косоугольной проекции шара

На рис. 190,6 изображена косоугольная проекция шара с вырезом левой верхней четверти.

Для его изображения повторяем построение, выполненное

на рис. 190,6, т. е. строим полностью косоугольную

проекцию

шара. Далее из каждого

центра С, 1, 2,

3,..., 1\,

2\, Зх,...

проводим вертикальные и

горизонтальные

радиусы

соответ­

ствующих окружностей и концы их соединяем плавной кри­

вой (рис. 190,г).

Нетрудно видеть, что все вертикальные

ра­

диусы лежат в

одной плоскости, перпендикулярной к

Я,

а горизонтальные

радиусы — в плоскости, параллельной

Я .

Таким образом, полученные кривые являются дугами эллип­ сов, в виде которых изображаются косоугольные проекции экваториального (параллельного Я) и профильного (парал­ лельного W) сечений шара.

§ 43. Прямоугольные аксонометрические проекции.

Коэффициенты искажения и углы между осями

На рис. 191 изображена плоскость аксонометрических проекций Р, которая, пересекая плоскости Я, V и W, образует треугольник XYZ, называемый треугольником следов. Прини­ маем направление проецирования, перпендикулярное к плос­ кости Р.

Для получения проекций осей ОХ, OY и OZ на плоскость Р

следует спроецировать

лишь

одну

точку — начало

коорди­

нат О. Проведя отрезок ООх±Р,

получим

 

прямоугольные

аксонометрические проекции начала

осей координат 0\

и со­

ответственно

отрезков

осей

ОХ, OY

и

OZ,

т. е.

о\Х,

о х у и

o\Z, на плоскость Р.

Полученные

проекции

 

о\Х,

о \ у

и 0\Z

являются катетами, а

сами отрезки

ОХ,

OY

и OZ

на

осях —

гипотенузами

прямоугольных

треугольников

ОО\Х,

 

OOxY

и 00,Z .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из рассмотрения этих треугольников имеем:

 

 

 

0,Х

= COS a;

ОіК

о

-

0 , Z

=

COS

Ч,

 

 

-fa-

- ^ у -

= COS

ß;

^ -

 

 

но отношения ОхХ]ОХ, OxY/OY и OxZ\OZ представляют собой коэффициенты искажения Кх, Ку и Kz.

1 Лучи, проецирующие контур шара, образуют в своей совокупности обертывающий лучевой цилиндр, а косоугольная проекция шара является результатом сечения этого цилиндра плоскостью аксонометрических про­ екций.

189

Следовательно,

 

 

 

 

'/Cj. =

cos a; /Cy = COsß;

Kz— cos f.

 

Пусть точка Oi имеет координаты x, y,

z (рис. 192). Тогда

можно написать

OOx2=x2+y2+z2,

так

как

ОК2=х2+у2г

а O O i 2 = 0 / p + z 2 .

 

 

 

 

Но

x = ООх cos аг; у = ООх cos ßx ; г =ООх cos После подстановки и сокращения получим:

cos2 Clj - f cos2 ßi -f- cos2 Ti = 1 •

Сумма квадратов косинусов углов, составляемых осями координат с отрезком 00\, проходящим через начало коорди­ нат, равна единице.

Рис. 191

 

 

Рис*

192

Так как треугольник

ОхХО

прямоугольный

(рис. 191), то

угол а і = 9 0 ° — а, т. е.

 

 

 

 

cos а, =

cos ^

=

sin а,

 

и по аналогии

 

 

 

 

 

cos

=

sin ß;

cos "h =

sin y . 1

 

Тогда

 

 

 

 

 

sin2 et -f- sin2

ß -f- sin2 'i = 1

 

или

 

 

 

 

 

1 — cos2

а +

1 — cos2 ß + 1 — cos2 f = 2,

откуда

 

 

 

 

 

cos2 a - f cos2 ß + cos2 f = 2.

Следовательно, Kx2 + Ky2 коэффициентов искажения ской проекции равна двум.

+ Kz2—2, г. е. сумма квадратов в прямоугольной аксонометриче­

1 На рис. 191 показан только угол а,; углы ßi и ^ см. на рис. 192.

190

Д ля

изометрической проекции Кх=Кѵ

— Кг.

Обозначая

коэффициенты

искажения

по всем трем

осям

(так

как они

равны

между

собой) через

К, будем иметь З Л ? = 2 ,

откуда

к= Y

4 - ~ ° > 8 2 -

 

 

 

 

Таким образом, в прямоугольной изометрической проекции все отрезки, параллельные в пространстве осям X, Y и Z, со­ кращаются в 0,82 раза.

Для прямоугольной диметрической проекции принимают

Кх = Кz и Ку = ~y Кх,

тогда после подстановки имеем

 

 

 

 

 

2/Сж 2

+

4 - К , 2

=

2,

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

К х

=

К г ^ У

± . =

Ъ

^

^

М .

 

 

Ку^0Л7,

 

 

 

т. е. проекции отрезков, параллельных осям X или

Z,

будут

сокращены

до 0,94

истинных

их величин,

а

параллельных

оси Y — до

0,47.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Прежде чем перейти к определению углов между аксоно­

метрическими

осями, докажем

следующие

положения.

 

 

1. В прямоугольных аксонометрических проекциях аксоно­

метрические оси являются высотами треугольника следов

 

XYZ

(рис.

193).

 

 

 

 

 

 

 

 

ZOx

 

 

 

 

 

 

XY и

Для

доказательства продолжим

 

до

стороны

точку

К

их пересечения

соединим

с началом

координат

О.

Треугольник

OKZ перпендикулярен

к плоскости

Я,

так

как

проходит через ось OZ. Тот же

треугольник

OKZ

перпендику­

лярен к треугольнику XYZ,

так как

проходит

через

перпенди­

куляр

ООх

к треугольнику

XYZ.

Если

плоскость

 

треугольника

OKZ

перпендикулярна к двум

 

пересекающимся

 

плоскостям

(Я и XYZ),

то она

перпендикулярна

к

их

 

линии

пересече­

ния XY,

а

потому линия KZ, лежащая в плоскости

треуголь­

ника

OKZ,

также перпендикулярна

к XY. Следовательно,

OxZ

перпендикулярна к XY. Аналогично рассуждая, можно дока­

зать, что OxY

перпендикулярна

к XZ

и ОхХ — к

 

YZ;

Ох

явля­

ется точкой

пересечения

высот

(ортоцентром)

 

треугольника

следов.

2. В прямоугольных аксонометрических проекциях тре­ угольник следов XYZ является остроугольным. Если предста-

191

вить на рис. 193 точки X и Z треугольника следов XYZ

закреп­

ленными неподвижно, а

точку

Y

перемещать

по

оси OY

к точке О, то в этом случае угол

при

вершине Y

начинает

увеличиваться и, когда точка Y

совпадет с

О,

превратится

в

прямой, а при удалении

точки

Y

от

начала

координат

О

будет уменьшаться. На

этом

основании

рассматриваемый

угол должен быть острым. Если так же рассуждать по отно­ шению к углам при вершинах X и Z, то придем к выводу, что и эти углы должны оказаться острыми. Поэтому ортоцентр расположен внутри этого треугольника, так как данное поло­ жение ортоцентра бывает только в остроугольном треуголь­ нике.

3. Отсюда вытекает, что углы XOxY, YOxZ и XOxZ между аксонометрическими осями должны быть тупыми. В самом деле, треугольник XYZ остроугольный; следовательно, угол между высотами дополняет острый угол до 180°, например ZKOxM= 180° — KYM, но ZKYM острый, поэтому ZKOxM тупой.

Переходим к определению углов между аксонометриче­ скими осями.

В

случае

прямоугольной

изометрической проекции

(рис.

193) прямая ООх перпендикулярна плоскости Р, в кото­

рой расположен

треугольник следов XYZ, а коэффициенты

искажения равны между собою:

КХ=КУ=К2.

Таким образом, cos <x=cos ß = c o s у, что при острых угдах соответствует равенству самих углов a = ß = y . Поэтому плос­ кость Р будет иметь одинаковый наклон к плоскостям проек­ ции.

Отрезок

ООх

является

катетом

прямоугольных

треуголь­

ников

00{Х,

 

OOxY

и

OOxZ.

Поэтому

ОхО = ОХ sin а;

OxO = OYsm§;

OxO = OZsmy; следовательно,

 

OX=OY=OZ.

Так как эти

отрезки являются катетами следующих трех

прямоугольных

треугольников: XOZ,

XOY

и ZOY,

то и гипо­

тенузы их также равны, т. е. XZ=XY=ZY,

 

и

треугольник

следов

XYZ

будет равносторонним. Углы XOxZ,

XOxY и ZOxY

равны между собою, и каждый из них равен

120°, потому что

их стороны ОхХ,

О!У и OxZ

лежат

на

высотах

равносторон­

него треугольника.

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, в прямоугольной изометрической проекции коорди­

наты по всем трем осям имеют один и тот

же

коэффициент

искажения /(=0,82, а углы между осями равны 120°.

На чертеже ось OZ обычно располагают вертикально и под

углом

в 120° к ней (или 30° к горизонтальной

линии) оси ОХ

и OY

(рис.

194).

 

 

 

 

 

 

 

 

При вычерчивании

прямоугольной

изометрии

каких-либо

геометрических элементов или предметов каждую координату 192

Смотрите также файлы