Файл: Начертательная геометрия курс лекций..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 20.06.2024

Просмотров: 114

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ка К делит отрезок

AB

в отношении т:п,

то и

проекции

ее

ab и а'Ь' делятся проекциями k и k? в

этом

же

отношении.

Точка

К

(рис.

12,6)

принадлежит отрезку

AB,

так

как

про­

екции

ее k и k' принадлежат

одноименным

проекциям

ab

m а'Ь'.

Точка

L не

принадлежит

AB,

так

как

 

при

взгляде

сверху

видно,

что расстояние

h

больше, a

 

U

меньше

того,

если бы Z принадлежала AB.

В дальнейшем

с целью умень­

шения буквенных обозначений не будут обозначаться точки

ах

и Ьх

(или

им подобные)

на ОХ, кроме

случаев,

необходимых

для

доказательства

положения

точки в

пространстве.

 

 

 

 

 

 

 

 

Треугольник

 

 

 

 

 

 

 

 

Взятые в пространстве двугранного угла

 

три

точки А,

В,

С, не лежащие на одной прямой, образуют

 

треугольник

об­

щего

положения на

рис. 13, а. Проецирование

точек

на

пло-

 

 

 

Рис.

13

 

 

'скости проекций H и

V дает две прямоугольные

проекции

abc

Иуа'Ь'с' треугольника. На

рис. 13, б перенесены

соответствую­

щие расстояния по осям

проекций и построен чертеж (зпюр)

треугольника. В плоокости треугольника івзята

прямая

АК.

Известно, что

прямая

линия

принадлежит плоскости,

если

имеет хотя бы

две 'общие

точки с плоскостью.

Прямая А К

имеет общие точки Л и К, 'Следовательно, она лежит в пло­

скости треугольника. Если в

плоскости

треугольника имеется

точка М, то она принадлежит

плоскости,

когда

располагается

на прямой,

лежащей

в этой

плоскости.

Точка

M лежит на

прямой АК.

Проекции

точки

расположены на

соответствую-

20

щих одноименных проекциях ak и afk' прямой, имеющей две общие точки с плоскостью ABC. Следовательно, точка К при­ надлежит плокости треугольника ABC.

Определение

длины

отрезка

прямой

линии

общего

положения и

углов,

 

составляемых

им с

плоскостями

проекций,

способом прямоугольного

треугольника

Проекция отрезка прямой общего положения всегда мень­ ше самого отрезка (юм. рис. 11). Прямая общего положения СВ (ірис. 14, а) составляет с плоскостью H угол а. Угол а образован гипотенузой СВ прямоугольного треугольника ВЬС

Рис. 14

,и катетам сЬ, являющимся горизонтальной проекцией СВ. Вертикальный катет ВЬ есть величина превышения верхнего

•конца В над нижним С.

Катет

ВЬ перпендикулярен проек­

ции сЬ и плоскости Н.

Если

треугольник ВЬС повернуть

вокруг cb и положить на плоскость Н, то вместе с треуголь­ ником гипотенуза СВ и угол а изобразятся на плоскости H в истинную величину.

21

Пусть теперь задан отрезок AB прямой общего

положе­

ния (рис. 14,6). Для определения истинной величины

отрезка

надо образовать прямоугольный треугольник. Для треуголь­ ника нужны два катета. Проведя линию AM, параллельную ab іи плоскости Я, получим один катет AB = ab. Для образо-

\вания второго катета ВМ надо знать разность превышения

конца В над концом А относительно плоскости Я. Для этого

следует

графически вычесть ВЬ — Аа.

Но

Аа =

МЬ.

Тогда

ВМ = Bb — Mb.

Рассмотрев

треугольник

BMA,

видим;

что

AB есть

сам

отрезок; AM=ab,

а угол

а

между AB

и

AM

(или AB

и ab)

есть угол, составляемый

AB

с плоскостью про­

екций Я. Бсліи теперь треугольник BMA

повернуть вокруг

AM

в положение, параллельное

плоскости

Я

(или вокруг

ab),

то

на последней прямоугольный треугольник изобразится в ис­ тинную величину (см. рис. 14, б).

На рис. 14, в отрезок прямой представлен двумя проек­ циями. Чтобы определить длину отрезка AB и угол, состав­ ляемый им с плоскостью Н, по его проекциям следует пост­ роить прямоугольный треугольник, одним катетом которого должна быть горизонтальная проекция ab, а другим — раз­ ность превышения іконцов А и В над плоскостью Я. Эту раз­

ность можіно получить, как было показано на

рис. 14,-6, толь­

ко на фронтальной проекции. Проводят через а' прямую

а'т',

параллельную

оси ОХ,

и

отмечают

графическую

разность

Ь'т'.

На

горизонтальной

плоскости

проекций

в

точке

b

про­

водят линию под углом 90° к ab и на ней откладывают

отре­

зок Ь'т'.

Гипотенуза

треугольника есть

длина

AB

(отмечена

нулем), а угол а между

гипотенузой

и 'горизонтальной

про­

екцией отрезка

есть

угол, составляемый

отрезком

AB

 

с

пло­

скостью Я . Таким образом, длина

отрезка

прямой

общего

по­

ложения

в проекциях

выражается

гипотенузой

 

прямоуголь­

ного

треугольника,

одним

катетом

которого

служит

 

одна

проекция

отрезка,

вторым

катетом — разность

расстояний

концов

второй

проекции

отрезка

до

оси

 

проекций.

 

 

 

 

Определение, угла, составляемого отрезком AB с

фрон­

тальной

плоскостью

проекций,

аналогично

и

показано

на

рис. 14,6. Через ближний к плоскости V конец А отрезка про­

водят

линию AN=a'b',

параллельную

 

а'Ь'. Тогда

AB

и

AN

образуют

искомый

угол

ß.

Очевидно,

 

NB =

Bb' — Nb'

 

есть

графическая разность расстояний концов А

и В

до

плоско­

сти V. На рис. 14, г

проекциями

изображен

отрезок

AB

об­

щего положения. Для построения длины отрезка и угла, со­ ставляемого им с фронтальной плоскостью проекций, фрон­

тальную

проекцию

а'Ь' отрезка принимают за

один

катет.

На горизонтальной

проекции из ближайшего к оси ОХ

конца

отрезка

проводят линию an, параллельную ОХ.

Тогда

обра­

зуется

bn = bbx — nbx — графическая разность

расстояний

22

 

 

 

 

концов А и В ДО1 плоскости V. На фронтальной плоскости проекций в конце Ъ' олрезка прямой восстанавливают пер­ пендикуляр к а'Ь' и откладывают на нем длину Ьп. Гипоте­ нуза AB (помечена нулем) есть длина отрезка, a ß — угол, составляемый AB іс фронтальной плоскостью проекций.

§ 5. Проецирование в четвертях пространства

До сих пор все 'точки располагались в пространстве дву­ гранного угла перед плоскостью V и над плоскостью Н. Однако точки могут находиться под плоскостью Я и за пло­ скостью У вне пределов угла. Для построения проекций таких

Т

W

f

 

 

 

 

1

1

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

\

 

\

1

 

1

I

 

 

 

 

'

t '

и

 

i f

I

 

 

и

нМ

 

 

 

 

 

точек образуют новые двугранные углы. С этой целью про­

должают плоскость Я эа плоскостью

V (рис. 15, а) и часть ее,

расположенную перед плоскостью V, называют передней

по­

лой,

а

часть,

расположенную

за

 

плоскостью

V,

 

именуют

задней

полой

 

горизонтальной

плоскости

проекций.

Фронталь­

ную

плоскость V продолжают

вниз

под

плоскость

Я. Часть

ее над плоскостью Я называют

верхней

полой,

а под

плоско­

стью

Я — нижней

полой фронтальной

плоскости

проекций.

Теперь плоскости Я и V, пересекаясь по оси ОХ,

образуют

четыре угла, называемые четвертями пространства.

Передняя

пола Я и верхняя пола V составляют первую четверть;

про­

ецирование

в

этой

четверти

было

изложено

выше.

Задняя

пола

Я

и

верхняя

пола

V

образуют

вторую

четверть.

Нижняя пола

V

и

задняя

пола

Я

образуют

третью

чет­

верть. Передняя пола Я и нижняя пола

V образуют

четвер­

тую

четверть. Чтобы

получить

эпюр

(рис.

15,6)

плоскостей

проекций, составляющих четверти, переднюю полу Я повора­ чивают вокруг оси ОХ вниз (показано стрелкой на рис. 15, а),

23

а задняя пола ів это же время поднимется віверк и совместит­ ся с фронтальной плоскостью. В каждой из четвертей берется точка. Рассмотрим особенности расположения проекций то­ чек. В дальнейшем по этим особенностям можно легко узна­ вать, в какой четверти пространства расположена точка или прямая. Проекции точки А в первой четверти расположены так: фронтальная а' выше оси ОХ, a горизонтальная а ниже

ОХ.

Точка

В

взята

во

второй

четверти

(ом. рис.

15, а).

Ее

фронтальная проекция

Ь' расположена выше оси ОХ

на

плоскости

V;

горизонтальная проекция

b •— на

задней

 

поле

плоскости Я. При совмещении

плоскостей горизонтальная

проекция b поднимается вверх и своим расстоянием bbx

нале­

жится на расстояние Ъ'ЬХ.

Линии

bbx

и

b'bx

сольются.

На

рис.

15,6

проекции

b и Ь'

расположены выше

оси ОХ.

Это

положение проекций характерно для всех точек,

расположен­

ных в пространстве второй

четверти. Точка

С взята в третьей

четверти (см. рис. 15,а). Ее фронтальная проекция с' распо­ лагается на нижней поле плоскости V, ниже оси ОХ. Гори­ зонтальная проекция с проецируется на заднюю полу Я и при повороте плоскостей вместе с Я поднимется вверх и рас­

положится выше оси

ОХ. На рис. 15, б

проекции

с

« с'

точ­

ки С располагаются

на

одном

перпендикуляре

к

оси

ОХ,

причем горизонтальная

с—над

осью,

а фронтальная

с' —

под осью ОХ. Такое положение проекций на чертеже харак­

терно для всех точек, взятых в пространстве третьей

четверти.

Точка D накопится в пространстве четвертой четверти

(см.

рис. 15,а). Ее фронтальная проекция d'проецируется

на

ниж­

нюю полу плоскости

V и

ниже оси

ОХ. Горизонтальная

про­

екция d

.проецируется

на

переднюю

полу плоскости

Я.

При

повороте

плоскостей проекций горизонтальная проекция

опу­

стится вниз. На рис. 15,6 проекции d и df располагаются на одном перпендикуляре к оси ОХ ниже ее. Такое положение проекций характерно для всех точек и прямых, взятых в про­ странстве четвертой четверти.

Точка может быть расположена на любом удалении от плоскостей проекций Я и V, и на чертеже это будет выра­ жаться расстояниями от проекций точки до оси ОХ. Нащример, на рис. 16, а даны проекции точки Е во второй четверти. По положению проекций видно, что точка отстоит от плоско­

сти Я дальше, чем от плоскости

V,

так

как

расстояние

е'вх

от фронтальной проекции до оси

ОХ

больше, нежели еех

от

горизонтальной проекции

до оси

ОХ.

Проекции: /

и f точки F

показывают обратное: точка

отстоит

дальше

от

фронталь­

ной плоскости проекций и ближе

к горизонтальной, так

как

горизонтальная проекция

/

дальше от-оси ОХ.

Проекции k

и kf точки К сливаются

в одну

точку.

Это

свидетельствует

о том, что точка равно

удалена

от

плоскостей Я и V. Про-

24

 

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы