Файл: Динамика и управление ядерным ракетным двигателем [Текст] 1974. - 253 с.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2024
Просмотров: 233
Скачиваний: 0
для системы дифференциальных уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
} |
(ЗЛО) |
где |
|
|
|
|
£ ■ = /-* ; |
A'ir( l , p ) = A jr( l - t p ) , /г = |
11, |
12, |
21; |
^ 2 2 (S, Р) = |
lp/vіо (/ — 5)] + [Р/У20 (/ —È)1 - М 8а (/— S. Р). |
|||
Действительно, вектор-функция (Ф;1 (х, |
р), |
j = |
1, 2), |
|
дающая решение задачи [(3.7), (3.8)], пропорциональна вектор-функции (Ф'д (I — х, р), / = 1, 2) — решению за дачи [(3.10), (3.9)1 с коэффициентом пропорциональности
Фи (I, |
р), поэтому должно выполняться |
соотношение |
||
|
Фц (I, |
р) Ф 'п {I, р) = 1 |
|
(3.11) |
и, следовательно, при |
данном значении |
р должно |
быть |
|
Ф 'и (/, |
р) Ф 0. При выполнении этого |
условия (ФЛ (х, |
||
р), / = |
1, 2) должно иметь вид |
|
|
|
|
Фі\{х,р) = Ф'ц{1— х.р)ІФ[х(1,р), |
/ = 1, 2 . |
(3.12) |
|
Обратно, вектор-функция (3.12) удовлетворяет уравнению (3.7) и граничным условиям (3.8); решение единственно в силу единственности решения задачи [(3.7), (3.8)]. Ус ловие Ф 'п (/, р) Ф 0 далее будем считать выполненным.
Таким |
образом, искомые |
передаточные |
функции |
от |
||||||
к |
üj (х, |
t) (j — 1, 2) |
выражаются через |
решение |
задачи |
|||||
[(ЗЛО), |
(3.9)] следующим |
образом: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
И77-і (х, р) = |
|
|
|
|
||
= |
[Ф/'і (I — X, p)l®'11(l>Р)]ехр( —ртДх)), |
/ = 1 , 2 . |
(3.13) |
|||||||
(/ |
Воздействие Ф2г.. Передаточные функции о т ^ г к i (х, t) |
|||||||||
= |
1, 2) определяются аналогично (3.13) |
по формуле |
||||||||
|
|
|
|
й ^ (* , Р) = |
|
|
|
|
||
|
|
= |
[Ф/а {ж, р)/Ф ; 2У, Р)\ ехр [—рт2(х)], |
/ = 1 , 2 , |
(3.14) |
|||||
где |
[Ф' , 2 (х, р), / = |
1, |
2] — решение |
системы дифферен |
||||||
циальных уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
(^Ф1а/ 5 х ) - | - ( х , |
р) Ф1г —Л12 (х, |
р) Ф24, |
1 |
/g |
||||
|
|
( — d<t>;2/dx) + Л22(х, р )ф ; 2= Ап (х, |
р)Ф1’Ъ |
] |
|
|||||
77
G граничными условиями |
|
|
|
|
|||
|
|
Ф12 (0. Р) = 0; Ф ;2 ( 0 , Р ) - 1 . |
|
(3.16) |
|||
В |
выражениях |
(3.14) и |
(3.15) |
А"п (х, р) |
= |
(р/и10 (х)) + |
|
+ |
(р/ѵso (х)) + |
Л і |
(х, р); |
т2 (х) = |
\d\lvw {I). |
Здесь долж- |
|
но |
быть Ф' 22 (/, |
р)ф 0. |
|
X |
р)/Ф' 22 (/, р), |
||
Функция (Ф'^2 (х, |
|||||||
/ = |
1, 2) является обобщенной |
производной |
регулярного |
||||
оригинала и теряет это свойство при умножении на ехр ра, где а > 0 .
Воздействие ѵ. Система уравнений |
относительно пере |
|
даточных функций от V к |
(х, t) (/ = |
1, 2) имеет вид |
dWlnldx+W in [(р/ц10 ( х ) Ь М п (X, р)] =
~(Х, р) ф Ais (х, р) 1Е2п,
—dW2n/ d x + W 2n [(р/Оао (х)) + і422 (х, Р)} =
=/Ѵ2 (х, р) + Л21(х, р) ІКІГ1
играничные условия
|
Г 1п (0 ,р ) = 0 ; W2n(l,p) = 0. |
(3.18) |
|
[Можно показать, что вектор-функция (Ц7;-п (х, р), / = |
1, |
2) |
|
является |
обобщенной производной регулярного оригинала |
||
и теряет |
это свойство при умножении на ехр ра, где а > |
0 . |
|
Это означает, в соответствии с физическими представле
ниями, |
отсутствие |
чистого |
запаздывания реакции (öy- (х, |
|||||
t), |
/ = |
1, |
2) на воздействие |
по ѵ.] Решение краевой задачи |
||||
[(3.17), (3.18)] удобно свести к решению задачи |
Коши с ну |
|||||||
левыми |
условиями при X = |
0 для той же системы уравне |
||||||
ний. |
Обозначая решение |
последней |
задачи |
[Ф7П (х, р), |
||||
/ = |
1,2], получаем для решения задачи (3.18) соотношение |
|||||||
|
|
w Jn (X, р) = ф]п(х, р)— [Ф/2 (х, р)/ф ; 2 (/, р)] X |
|
|||||
|
|
|
X ехр [т2 (/)—т2 (х)]Ф2п (/, р), |
/ — 1, |
2, |
(3.19) |
||
где [Ф'у2 (х, р), / = |
1,2] — решение задачи [(3.15), |
(3.16)], |
||||||
о котором выше предполагалось Ф' 22 (/, |
р) Ф 0. Единствен |
|||||||
ность решения задачи [(3.17), (3.18)] вытекает из единствен ности решений задач Коши [(3.15), (3.16)] и (3.17) с нулевы ми граничными условиями.
Воздействия уг (г — 1, 2). Система уравнений относи тельно передаточных функций от утк -öy (х, р) (/ = 1, 2) имеет вид
öWiGrldx + WlGr[(plvw (х)) А Ап (х, р)] =
=— В, АХ, р) + А,, (х, р) Wogг\
играничные условия
U^ior(0, р) = 0 , W 2or(l, р)= = 0 г = 1, 2 . |
(3.21) |
Аналогично [(3.17), (3.18)] решение задачи [(3.20), (3.21)]
представляется в виде
WjQr (х, р) = Фусг (х, р) — [Фу-2 (х, р)/Ф'2(/, р)] X
X ехр [т2(/) —т2 (х)] Ф2ог(/, р), / , / - = 1 , 2 , |
(3.22) |
||||
где (Ф/Gr (X, р), / |
= 1, 2) — решение системы (3.20) с ну |
||||
левыми при х = |
0 |
граничными условиями. |
|
||
Воздействие # T |
является функцией х; при каждом фик |
||||
сированном |
виде функции От (х, t) изображение |
реакции |
|||
( (х, t), / |
= 1, |
2) |
находят интегрированием системы урав |
||
нений |
|
|
|
|
|
d-öj/dx + |
fti [(plvw (х))ф Ап (х, р)] |
|
|||
|
= Zx(х, р) # т + А12 (х , р) ^ 2; |
(3.23) |
|||
— ö ö 2/ ö x - f # 2 |
[(р/^20 {х )) + А 22{х , р)] |
||||
|
|||||
=Л22(х, р)Ъх
сграничными условиями
■öi (0 , р) = 0 , |
(/, р) = 0 . |
(3.24) |
Решение краевой задачи [(3.23), (3.24)] производится так же, как решение задачи [(3.17), (3.18)].
Численное решение систем уравнений для передаточных функций. Таким образом, отыскание изображений реакций (Oj- (х, t) } — 1, 2) на входные воздействия сводится к ре шению нескольких задач Коши для однородной и неодно родной систем уравнений с комплексными и переменными
79
по л; коэффициентами, получаемых из (3.4) обращением в нуль либо всех воздействий, либо всех, кроме одного. Как показывает опыт, интегрирование этих систем с помо щью стандартных подпрограмм при больших Im р приводит к значительным погрешностям. Поэтому здесь удобнее применить метод разбиения длины интегрирования на участ ки, осреднения коэффициентов системы на каждом из участ ков и интегрирования системы по участку как системы с постоянными коэффициентами. Решения на различных участках сопрягаются по непрерывности, т. е. значение ре шения на конце участка служит начальным значением для следующего участка. В результате, с учетом граничных условий, получаются рекуррентные формулы, выражающие значения координат системы уравнений в конце участка через их значения в начале участка. Для системы 2-го по рядка с комплексными постоянными коэффициентами вида
dw1l d x ~ a 11w1 + a12iW'i + b1\ 1 |
^ |
|||
dWildx^a^Wi + a^Wz + bz \ |
|
|||
эти формулы имеют вид |
|
|
||
wie = f+ (А) wu + |
/- (А) |
Wu + an Wn+Ьг |
|
|
+ |
/о(А) (а12 bl-- a22 h)\ |
(3.26) |
||
W2e= /+ (A) W2i + |
/_ (A) ^ 22~ an да2г+ an wu +b2 |
|||
|
||||
+ /o (A) (a2i[bi — an b2),
где wji (/ = 1, 2) — значения координат wj (x) в начале участка; wje (/' = 1, 2) — значения их в конце участка;
А—длина участка; /+ (А) = (exp q+А + exp q_А)/2;
|
.... |
(е^-ьА—еч- Л) |
при |
b=j=О, |
|||
(А ) = |
2 / |
Ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ае?+ Л |
при |
b — О, |
||
1 |
|
|
а 11 + а 22 |
/- (А) |
/+ (А) при |
||
а 11 а 2 2 ~ а 12 а 21 |
|||||||
т |
|
|
^11 а22 |
®І2 а2І> |
|
||
|
|
|
|
|
|
||
j |
— А |
Р ? + |
А _ |
ПрИ СІц #22 :—^12 ^21 |
|||
|
|||||||
а11+ а22 |
а11+ а22 |
||||||
V |
|
|
|
||||
|
|
И |
”1” ^22 Ч= |
|
|
||
80