Файл: Динамика и управление ядерным ракетным двигателем [Текст] 1974. - 253 с.pdf

сопротивления (не меняется со временем); w — скорость

d— диаметр;

3)газ нигде не имеет теплообмена с внешней средой;

4)критическое истечение локализовано в фиксирован­ ном сечении во всем диапазоне рассматриваемых измене­ ний входных параметров газа.

Первые два предположения часто довольно хорошо вы­ полняются и обычно используются при математическом опи­ сании газовых трактов. В соответствии с третьим предпо­ ложением не допускаются звенья, в которых газ нагревается или охлаждается вследствие теплообмена с внешней средой. Следовательно, в рассматриваемых звеньях (точнее, в их математических моделях) могут иметь место либо идеальные адиабатические процессы, либо неизоэнтропические адиа­ батические процессы, неизоэнтропичность которых обуслов­ лена трением в газе. В первом случае процесс в газе описы­ вается идеальной адиабатой, во втором — некоторой по­ литропой. И в том и в другом случаях газ может совершать работу. Таким образом, в состав рассматриваемых газовых трактов могут входить трубопроводы (в том числен пере­ менного сечения), различного рода нерегулируемые местные сопротивления, эжекторы, турбины, если для этих элемен­ тов можно пренебречь перетечками тепла.

Кроме сделанных предположений оговорим также, что будем описывать процессы в газе с помощью статических уравнений, пригодных для квазистационарных динами­ ческих процессов в газе при рассмотрении относительно

Можно утверждать, что система уравнений, описываю­ щая процессы в любом газовом тракте, удовлетворяющем перечисленным выше предположениям, содержит уравне­ ния следующих шести типов: 1) уравнения, дающие за­ висимость расхода в любом сечении ветви от температуры и давления торможения Т*, р* и коэффициента скорости К в этом же сечении; 2) уравнения баланса энергии для каж­ дого из звеньев любой ветви; 3) уравнения баланса им­ пульсов для каждого из звеньев; 4) уравнения баланса энергии в камерах смешения; 5) уравнения баланса расхо­ дов в точках разветвления трактов; 6) уравнения, дающие связь параметров торможения с соответствующими стати­ ческими параметрами. Уравнений может быть в системе произвольное число.

100

Уравнения второго и третьего типов могут быть записаны как в сосредоточенной форме, так и распределенно. Приня­ тая форма записи уравнений, когда исключается скорость (посредством введения в некоторые уравнения параметров торможения и коэффициента скорости Я), не обязательна, но более удобна для дальнейших рассуждений.

В том случае, когда параметры торможения можно считать равными статическим параметрам (X 1), урав­ нения шестого типа отсутствуют, а уравнения первого типа записываются только для критических сечений на выходе.

С учетом сделанных ранее предположений перечислен­ ные типы уравнений могут быть записаны следующим образом.

Уравнения первого типа, справедливые в каждом сече­

динамическая функция; G — расход.

Уравнения второго типа, следующие из первого закона термодинамики

dq = du -|- d (pv) + (dw2/2) + dL,

где и — внутренняя энергия; ѵ — удельный объем, приобре­ тают в нашем случае (dq = 0) различную форму в зависи­ мости от того, производит газ работу L или нет. В случае L = 0 уравнения второго типа приобретают особенно простую форму

ного действия, характеризующий степень неизоэнтропичности адиабатического процесса, вызванной потерями на трение. В том случае, когда процессы в газе близки к изоэнтропическим, Л; в широком диапазоне изменения режима работы установки остается практически постоянной величи­ ной. В дальнейшем будем считать, что в интересующем нас диапазоне изменения режимов л г можно считать постоян­ ным. Это первое дополнительное предположение о газовых процессах в турбинах.

101

Уравнения третьего типа при распределенном описании какого-либо звена, где газ не совершает работы, имеют вид

G (dw/dx) = —F (х) (дрідх) — ^ (х) Gw.

В этом уравнении в правую часть вместо рвх, Твх могут входить р вх, рВЬІХ либо 0,5 (рвх + рВЬІХ), 0,5 (Гвх +

+ ^ в ы х )-

Для турбин в качестве уравнений третьего типа исполь­ зуем известное приближенное соотношение Флюгеля, спра­ ведливое для тех случаев, когда смена режима приводит к слабым изменениям числа оборотов турбины:

Параметры с индексом «0» относятся к номинальному режи­ му, без этого индекса — к измененйому режиму. Принятие справедливости соотношения Флюгеля — второе допол­ нительное предположение о газовых процессах в турбинах. При этом, конечно, не учитывается изменение числа оборо­ тов турбины при изменении мощности последней. Вызван­ ная этим погрешность тем меньше, чем круче характеристи­ ка мощность — число оборотов у нагрузки. Это нужно иметь в виду при использовании полученных ниже резуль­ татов. В тех случаях, когда на входах в камеру смешения имеются критические режимы течения (как, например, в эжекторе), статические давления на входах нельзя счи­ тать одинаковыми. Появляются дополнительные неиз­ вестные давления, и необходимо написать дополнительные уравнения баланса импульсов для камеры смешения типа

П

Р‘ Fi / (bt) = Рвых Fвых / (^сых) +

102

где / (А,) — газодинамическая функция, а индекс і относит­ ся к входным величинам. Последний член в правой части

пт

где т (А,), л (л) — соответствующие газодинамические фуНК-

ции.

Теперь перейдем к определению тех особенностей, ко­ торыми обладают рассматриваемые газовые тракты произ­ вольной сложности, описываемые системами уравнений типа (3.65)—(3.74). Выявление этих особенностей основано на нахождении решений указанных систем уравнений. Для упрощения дальнейших рассуждений необходимо пе­ рейти к относительным отклонениям координат О - АТ/Т0; л = Ар/р0; } = АG/G0; ф = АА/А0, в которых в ка­ честве баз использованы соответствующие абсолютные зна­ чения координат в невозмущенном режиме. Заметим, что интерес представляют не только малые отклонения, так что линеаризация уравнений (3.65)—(3.74) не имеется в виду.

Покажем, что при изменении на входе тракта температу­ ры или давления или обоих параметров вместе (для кон­ кретности будем говорить об изменении статических тем­ пературы и давления на входе, хотя с одинаковым правом в качестве возмущения можно было бы принять затормо­ женные параметры газа) решение системы уравнений типа (3.65)—(3.74), записанной в относительных координатах, будет для тракта любой сложности следующим:

где ■Ö’bx и явх — известные величины, характеризующие изменение параметров газа на входе в тракт, а индекс і относится к любой точке тракта (в том числе и ко входу, где

1Ö'*BX = ^ВХі ЗТ*ВХ = ^ВХІ ФвХ ~ 0).

103

Из решения (3.75) следуют все особенности рассматривае­ мых трактов.

Первая особенность: относительное отклонение каждого из параметров газа в любой точке тракта одинаково и равно отклонению данного параметра на входе. Следствием этой особенности является то, что зависимость между параметра­ ми газа в любой точке тракта такая же, как и в любом кри­ тическом сечении:

Действительно, так как относительные отклонения каждого из параметров в любой точке тракта одинаковы, то из соот­ ношения

Вторая особенность, вытекающая из (3.75), заключается в наличии у рассматриваемых трактов некоторых инвари­ антных свойств, а именно: в любой точке тракта изменение температуры инвариантно к изменению входного давления, изменение давления инвариантно к изменению входной температуры, а изменение коэффициента скорости к ин­ вариантно к изменению обоих входных параметров газа.

Третья особенность — наличие у рассматриваемых трак­ тов некоторых линейных свойств, хотя соответствующая им система уравнений нелинейна. Действительно, как вид­ но из (3.75), относительные отклонения температуры и дав­ ления в каждой точке тракта прямо пропорциональны от­ носительным отклонениям соответствующих входных пара­

ленных особенностей существенно облегчает исследование как самих этих трактов, так и содержащих их объектов. Действительно, если мы в каком-либо объекте можем вы­ делить газовый тракт, удовлетворяющий нашим требова­ ниям, то при любой его сложности он может быть заменен всего лишь одним соплом, так как на входе в тракт имеет место соотношение (3.76), справедливое для критического сечения сопла. При этом считается, что газ, поступающий на вход выделенного тракта, как бы подается в сопло.

104