Файл: Динамика и управление ядерным ракетным двигателем [Текст] 1974. - 253 с.pdf

туры и расхода для критического сечения введенного сопла. Но тем самым мы нашли и относительные отклонения всех параметров газа в любой точке нашего тракта, так как най­ денные для сопла величины являются входными для всего отброшенного тракта и определяют в соответствии с (3.75) все значения относительных отклонений параметров для

В этом случае, согласно (3.75), можно сразу получить ре­ шение для тракта любой сложности, т. е. сразу становятся известными параметры газа в любой точке тракта.

Докажем теперь, что система уравнений типа (3.65)— (3.74) , описывающая процессы в газовом тракте любой сложности и записанная в относительных отклонениях, имеет решение (3.75). Прежде всего предположим, что у рассматриваемой системы уравнений, описывающей кон­ кретный газовый тракт, существует единственное решение. Обоснованием такого предположения является то, что эта система довольно хорошо описывает реальные физические процессы, которые протекают совершенно однозначно.

Далее доказательство можно провести следующим об­ разом. Если показать, что решение (3.75) удовлетворяет системе уравнений в относительных отклонениях, получен­ ной из системы уравнений типа (3.65)—(3.74), то решение (3.75) и будет тем единственным решением, которое необ­ ходимо найти.

Оказывается, что каждое из уравнений (3.65)—(3.74) любой решаемой системы уравнений, будучи записано в от­ носительных отклонениях, удовлетворяется решением (3.75). Это можно проверить непосредственной подстановкой (3.75) в каждое из этих уравнений. Приведем соответствую­ щие уравнения в относительных отклонениях:

_ Р*ВХ О0 + < х ) .

105

Легко видеть, что решение (3.75) обращает каждое из приведенных уравнений в тождество. Следовательно, (3.75) — решение любой системы уравнений типа (3.77)— (3.87), описывающей газовые тракты произвольной слож­ ности .

Конкретный вид решения (3.75) следует из одного лишь предположения, что относительные отклонения каждого из параметров газа (6-, ■&*, я, я*, /, -ф) одинаковы во всех точках газового тракта (например, # одинаково во всех точках тракта). Действительно, если относительные откло-

106

нения везде одинаковы, то они везде такие же, как в сопле, а значит и их соотношение такое, как в сопле, что приво­ дит к (3.75).

Отметим, что равенство на всех режимах относительных отклонений каждого из параметров газа во всех точках газового тракта соответствует постоянству на всех режимах отношений соответствующих абсолютных параметров для любых точек тракта. Например, из постоянства по всему тракту Ф следует постоянство для всех режимов отношения абсолютных температур в любых двух точках тракта. Действительно, из равенства f), --'&j для любых двух точек і и / тракта следует:

(Гг —Ті0)/Ті0 (Tj - Tj(); /

или

TiITj — TiaIT]0 -----const,

т. e. отношение абсолютных параметров в любых двух точ­ ках тракта остается постоянным на всех режимах работ газового тракта.

Из отмеченного факта вытекает важное следствие: если для исходного режима было известно распределение какого-либо параметра по интересующим точкам тракта, то для получения такого распределения на новом режиме достаточно измерить этот параметр в какой-либо одной точке.

Методика математического описания квазистационарных процессов в сложных газовых трактах. Сложность газовых трактов ракетных двигателей делает актуальным вопрос о разработке такой методики математического опи­ сания процессов в этих трактах, которая позволила бы по возможности избежать трудоемкости обычного способа описания, связанного с написанием всех уравнений балан­ са для каждого из элементов тракта и с последующим исклю­ чением многих не интересующих нас координат. Ниже для широкого класса газовых трактов дан метод, позволяющий значительно сократить трудоемкость математического опи­ сания квазистационарных процессов в таких трактах. Этот метод аналогичен методу описания электрических цепей с помощью законов Кирхгофа. Заметим, что ниже речь будет идти только об описании гидродинамических про­ цессов с помощью уравнений баланса импульсов и расходов, тепловые процессы при этом не затрагиваются и их можно описывать обычным способом (в частности, нестационарно).

107

Аналогом уравнения Кирхгофа первого рода («алгебраи­ ческая сумма токов в узле равна нулю») является в любом случае (несжимаемая жидкость, совершенный или несо­ вершенный газ) уравнение

записанное для узлов тракта и являющееся обычным урав­ нением баланса расходов. Аналогов для уравнения Кирх­ гофа второго рода («алгебраическая сумма падений напря­ жений в ветвях замкнутого контура равна алгебраической сумме электродвижущих сил в этих ветвях») может быть несколько; при этом в любом случае аналогом источника электродвижущей силы (э. д. с.) является всякое активное устройство, создающее напор за счет постороннего источ­ ника энергии, например насос. Все зависит от того, что считать в уравнениях импульсов аналогом электрического потенциала или падения напряжения. Можно считать ана­ логом падения напряжения перепад давлений, но можно за такой аналог принять и другую функцию входного и вы­ ходного давлений ветви. В зависимости от этого выбора вид уравнений, являющихся аналогами уравнений Кирх­ гофа второго рода, различен. Выгодно взять такой аналог падения напряжения, при котором давления для большин­ ства точек изучаемых газовых трактов не войдут в аналог уравнений Кирхгофа второго рода. Это выгодно потому, что давления в большинстве точек тракта оказываются в этом случае сразу исключенными, причем не приходится для этого проделывать всю ту большую работу, которая совершается при обычном методе описания.

Для большинства элементов гидравлической схемы ракетных двигателей в качестве аналога падения напря­ жения выгодно взять разность квадратов входного и вы­ ходного давлений р2вх — р2ВЬІХ. Дело в том, что урав­ нения баланса импульсов для большинства элементов могут быть приведены к виду, когда давления входят толь­ ко в одну часть уравнения в виде р2вх—р2вых- Действи­ тельно, если исходить из обычного предположения, что ра­ бота сил трения на элементарном участке любой ветви трак­

часто встречающихся элементов (местные сопротивления, каналы с подводом и без подвода тепла, турбины) можно

108

получить при сосредоточенном описании следующее урав­ нение баланса импульсов:

где р*вх. Р*вых — полные давления газа на входе в описы­

с подводом или без подвода тепла возможно с помощью урав­ нения (2.22). Для местных сопротивлений такой вид урав­ нения баланса импульса получается, если в соотношении (3.58) среднее значение плотности рср выразить через средние значения давления и температуры, приняв пара­ метры торможения газа равными их статическим значениям:

Рср = р У ( Я П р) = (Рвх 4 - р в*ых)/( 2 Я Г с*р).

Заметим, что в случае регулируемого местного сопротивле ния коэффициент с в (3.89) следует считать переменным. Для турбин уравнения баланса импульсов в виде (3.89)

ля тем точнее, чем меньше изменение числа оборотов ро­ тора турбины.

Если в исследуемый тракт входят лишь различного рода каналы, местные сопротивления и турбины, то аналог урав­ нений Кирхгофа второго рода имеет следующий вид:

Это уравнение верно для любого контура рассматриваемых газовых трактов и, как видно, не содержит в качестве пере­ менных величин давлений. Получается это уравнение сум­ мированием уравнений (3.89) для всех элементов описывае­ мого контура в газовом тракте.

Если бы контуры рассматриваемых газовых трактов содержали, кроме перечисленных выше элементов, также такие элементы, уравнение импульсов для которых отлича­ лось бы от (3.89) наличием в правой части давлений, то эти давления вошли бы и в уравнение (3.90). Это снижает эф­ фективность описываемого метода, так как в этом случае для получения замкнутой системы уравнений требуется

109