Файл: Динамика и управление ядерным ракетным двигателем [Текст] 1974. - 253 с.pdf

ной или неудачной, если она, конечно, отвечает требова­ ниям теплосъема с активной зоны и защиты стенок, а также достижения требуемой средней температуры потока на выходе. Было бы лучше всего, если бы рабочие тела вообще не смешивались между собой, а текли отдельными слоями. Диффузионные слои в такой «достаточно удачной» схеме должны быть тонкими. В пределе они могут просто пред­ ставлять собой линии разрыва теплофизических параметров в меридиональной плоскости, являясь пересечением поверх­ ностей раздела различных сред с меридиональной плоско­ стью течения. Разумеется, во многих конкретных кон­ струкциях может потребоваться диффузионный анализ кар­ тины течения (в дальнейшем с целью упрощения системы уравнений опустим диффузионные уравнения, сознавая, однако, что этим мы отчасти лишаем себя возможности об­ суждать вопросы динамики тех схем, где диффузионные яв­ ления весьма существенны, и ограничиваемся более схема­ тичным рассмотрением этих вопросов). Единственное оправ­ дание в данном случае — большая сложность поставлен­ ной задачи.

Следующее допущение, которое вполне может быть сде­ лано в рамках описания течения в меридиональной плоско­ сти, заключается в том, что в схемах с магнитной стабили­ зацией можно пренебречь наведенным магнитным полем, возбуждаемым токами, протекающими в газе, по сравне­ нию с внешним магнитным полем. Если силовым воздей­ ствием электромагнитного поля в уравнениях -движения пренебрегать нельзя, то искажение внешнего поля наведен­ ным магнитным полем, как правило, несущественно. По­ рядок отношения наведенного магнитного поля к полному в условиях, когда основной электродвижущей силой яв­ ляется э. д. с. Лоренца, определяется магнитным числом Рейнольдса Rem = VL/vm, где ѵт — с2/(4жт) — магнит­ ная вязкость.

При определении Rem роль характерного размера играет длина силовой линии, пересекаемой потоком, а роль характерной скорости — нормальная скорость к ней. Как правило, для большинства схем RemC 1, и из этого следует, что вполне приемлемо безындукционное прибли­ жение. В этом случае можно не рассматривать в уравне­ ниях Максвелла закон полного тока, считая, что пол­ ное магнитное поле имеет индукцию, соответствующую внешней, создаваемой магнитной системой.

197

В том случае, когда для получения большого коэффи­ циента разделения используется достаточно сильное маг­ нитное поле, особо следует оговорить возможные допущения о роли вязкости. В этих условиях конфигурация профилей скоростей определяется в основном электромагнитным вза­ имодействием потока с магнитным полем. Соотношение между магнитными и вязкими силами определяется числом

Гартмана На -- (BLIc) [Лт/р. Когда число Гартмана доста­ точно велико, вязкие напряжения в уравнении движения можно опустить и перейти к описанию течения по схеме для идеального газа. При этом могут появиться разрывы ско­ ростей в потоке. Как правило, наличие больших градиентов или разрывов скоростей приводит к потере устойчивости и образованию турбулентных слоев. После каждого опре­ деления течения по схеме идеального газа обычно требуется экспертиза его на устойчивость. Однако известно, что маг­ нитное поле, во-первых, повышает устойчивость потока,

аво-вторых, подавляет развитие турбулентного смешения

[20].При этом, например, в продольном магнитном поле увеличивается дальнобойность струй и уменьшается темп их расширения [37]. В данном случае возможно своеобраз­ ное «магнитогидродинамическое» распространение гипотезы Прандтля о существовании пограничных слоев не только на стенках, но и вдоль силовых магнитных линий. В обыч­ ном потоке таких эффектов, как правило, не бывает. В маг­ нитной гидродинамике, где силовые магнитные линии иг­ рают роль полупроницаемых стенок, тонкие пограничные слои могут образовываться и вдали от физических стенок. Замена их линиями разрыва скоростей не сильно искажает общую картину среднего течения. Однако к применению способа описания течения по схеме идеальной жидкости сле­ дует относиться с осторожностью, так как это возможно только в тех случаях, когда есть уверенность в том, что ни­ где не может образоваться разрывов поля вихря скорости при предельном переходе к исчезающей вязкости. Известно, что не всякие решения уравнений Навье—Стокса при таком предельном переходе стремятся к решениям уравнений для идеальной жидкости.

И, наконец, в том случае, когда число Стюарта St = = Ha2/Re = B2Lo/(pV), определяющее соотношение между магнитными силами и скоростным напором, достаточно велико, то, как показано в работе [25], поток проводящего газа «расслаивается» на зоны линейного и нелинейного ти­ пов. В некоторых из них градиент давления уравновеши­

19 8

вается изменением скоростного напора и тогда возможно применение соотношения Бернулли, для других типов гра­ диент давления определяется магнитным сопротивлением. В последнем случае вообще возможно магнитогидростати­ ческое описание данной зоны течения, если известны ее гра­ ницы .

Такова цепочка возможных упрощений уравнений ди­ намики газофазного реактора. Разумеется, что та или иная степень приближения зависит от конкретной схемы газо­ динамической компоновки активной зоны, а также от при­ нятой детальности описания. В каждом конкретном случае совокупность допущений, приводящая исходную систему уравнений к окончательному виду, индивидуальна.

Использование системы уравнений идеального газа для исследования динамики газофазного твэла в настоящее время не представляется возможным даже с применением ЦВМ, что существенно связано с многомерностью задачи. Для этих целей необходимо дальнейшее упрощение полу­ ченной выше системы уравнений. Вопрос об упрощении путем осреднения параметров плазмы по сечению рассмот­ рим применительно к струйному твэлу с низкоскоростной зоной теплоносителя. Внешнее магнитное поле будем счи­ тать цилиндрическим.

Осреднение проведем в каждой из струй рассматривае­ мого твэла (делящееся вещество, низкоскоростной и высоко­ скоростной теплоносители). В итоге получим математиче­ скую модель, характеризующуюся одномерной распре­ деленностью параметров в продольном направлении каждой струи, в поперечном же направлении учет параметров будет дискретно распределенным. Погрешность, вызванная ос­ реднением, связана со степенью неравномерности распре­ деленности параметров по сечению. Анализ решений дву­ мерных стационарных задач показывает, что наиболее рав­ номерно распределены по поперечным сечениям параметры делящегося вещества. Соответственно погрешность от ос­ реднения в делящемся веществе будет наименьшей. К тому же видно, что для получения математической модели газо­ фазного твэла, хорошо отражающей основные его динами­ ческие особенности, достаточно дать хорошее описание про­ цессов в делящемся веществе.

Заметим, что обоснованием перехода к одномерному описанию является также то, что отношение продольного размера твэла к поперечным размерам струй большое.

199

Процедура формального перехода к одномерному опи­ санию процессов в струйном твэле и некоторые дополни­ тельные соображения изложены в приложении 1. Ниже при­ ведена одномерная система уравнений для указанного твэла, полученная в приложении 1 (индекс осреднения и ин­ декс г опущены; для обозначения делящегося вещества, низкоскоростного и основного теплоносителя используем соответственно индексы 1, 2 , 3):

Gi — Sl P lV

Pi — PiRiTi, ср1 = cpi(T1,p 1), Ri = R1 (Tlt pj),

@3 —S 3 Pé,V3’

dt { F3 ' ’ dz

$ ZS. Постановка краевых задач и методы численных расчетов динамики газофазного реактора

Общая часть. Прежде чем приступить к конкретным по­ становкам задач по динамике газофазного реактора, рас­ смотрим основные параметры последнего и возможности уп­ равления ими с помощью внешних систем управления.

Во-первых, это средняя температура рабочего тела на вы­ ходе из реактора (эта величина связана с его выходной мощ­ ностью):

Tcp = - ^ - \p u T r d r .

Ор.т ^

Интегрирование ведется по всем радиусам выходного се­ чения для рабочего тела. Для того чтобы получить эту ве­ личину, требуется знать распределение температур и ско­ ростей в выходном сечении рабочего тела.

Во-вторых, это суммарная загрузка делящегося вещества в активной зоне. Данная величина оказывает существенное влияние на коэффициент размножения реактора. Чтобы ее получить, необходимо проинтегрировать плотность ядерного горючего по объему активной зоны:

М = J Ря.г do -

201

Для этого требуется знать конфигурацию области деля­ щегося вещества и распределение плотностей по ее объему, для чего, в свою очередь,5,необходимо знать распределение температуры и концентрации делящегося вещества.

Суммарная загрузка делящегося вещества — не единст­ венный параметр, влияющий на коэффициент размножения реактора. Важной величиной является средний характер­ ный размер зоны ядерного горючего, например ее радиус:

а.з

В-третьих, важным параметром является максималь­ ная температура конструкционных материалов стенок и теп­ ловые потоки через них. Эти величины можно получить после проведения тепловых расчетов.

В-четвертых, один из важных параметров, определяю­ щих двигательные характеристики, — вынос делящегося ве­ щества, определяющий величину коэффициента разделения,

окотором упоминалось в предыдущем параграфе.

Вотдельных специальных случаях могут быть выделены

идругие параметры, которыми требуется управлять' с по­ мощью внешних систем управления.

Реактором можно управлять с помощью различных па­ раметров, поддающихся изменению с помощью внешних устройств. Это подача делящегося вещества, расход рабочего тела и его распределение по радиусу, регулирование кото­ рых фактически сводится к изменению входных профилей скоростей подачи, изменение напряженности и конфигура­ ции внешнего магнитного поля, изменение условий охлаж­ дения стенок, профилирование и изменение расхода добавок

крабочему телу, изменяющих коэффициент лучистой тепло­ проводности, степень ионизации и проводимость газа и т. д. Внешним параметром, влияющим на всю структуру течения, могут, кроме того, служить ускорение силы тяжести, боко­ вые перегрузки и ускорение ракеты.

Во всех случаях для проектирования структуры и ап­ паратного исполнения системы регулирования требуется знание статических или динамических характеристик дви­ гателя. Как правило, такие характеристики не удается полу­ чить методами баланса для реактора в целом, а требуется детальное знание структуры течения в каждый данный мо­ мент времени. Это и обусловливает необходимость поста­ новки краевых задач динамики. Заметим, что в настоящее

202

время решение нестационарных задач для рассматриваемых объектов с учетом многомерной распределенности парамет­ ров из-за огромных вычислительных трудностей практиче­ ски невозможно даже в случае применения численных ме­ тодов и ЦВМ. При решении нестационарных задач необ­ ходимы некоторые дальнейшие упрощения. При решении же стационарных задач, актуальных для конструирования гид­ родинамической системы реактора и для определения его статических характеристик, учет многомерной распределен­ ности параметров возможен и часто необходим.

Рассмотрим более конкретно возможные упрощения ис­ ходной наиболее общей системы уравнений применительно к схемам реакторов, рассмотренным в гл. 1 .

Схема полного смешения (см. рис. 1.5). В этой схеме газо­ динамической компоновки реактора рабочееетело и ядерное горючее подаются в активную зону в заранее смешанном виде; магнитное поле, стабилизирующее течение, отсут­ ствует; само течение осесимметрично; тепловыделение не­ прерывно распределено по всей активной зоне и все тепло­ физические параметры также непрерывно изменяются в про­ странстве. В данном случае можно ограничиться однозон­ ной схемой описания течения, включающей: уравнение не­ разрывности

две проекции уравнения Навье — Стокса в цилиндрических координатах

В этих уравнениях (в отличие от общепринятых) коэф­ фициент вязкости оставлен под знаками дифференциалов,

203