Файл: Динамика и управление ядерным ракетным двигателем [Текст] 1974. - 253 с.pdf

возникающих вследствие диффузионного градиента плот­ ности электронов. В этом же случае необходимо учиты­ вать и наведенную тангенциальную составляющую век­ тора напряженности магнитного поля Бф.

Источники тепловыделения Q должны быть известны по распределению нейтронного потока и плотности ядерного горючего.

Уравнение диффузии для базисных компонент

^ L + ± . ± [r {püCh + Irk)] + ± [puCh+ Іхк] = о. (5.82)

К данной системе уравнений необходимо добавить зависи­ мости теплофизических свойств от давления, температуры и концентрации:

ph = P h K ’ р>т)\

а = от (cfc; р; Т)

и т. д.

209

Из трех приведенных на рис. 1.9; 1.11; 1.13 схем в двух использован чисто гидродинамический способ ста­ билизации течения. В этом случае все члены в общей си­ стеме уравнений, связанные с электромагнитными процес­ сами, выпадают. Но в оставшейся системе уравнений вряд ли возможно отказаться от сил вязкости, так как они су­ щественны в зонах, где происходит основное смешение ядерного горючего и рабочего тела, а также в зонах с боль­ шими градиентами скорости. Это относится как к схеме струйного типа (рис. 1.9), так и к схеме с распределенным вдувом рабочего тела по стенке, где на выходе организован своеобразный «газодинамический затвор» (рис. 1.11).)

В случае же коаксиальной схемы с электромагнитной стабилизацией (см. рис. 1.13) можно выполнить дальней­ шие упрощения общей системы уравнений. В струйных зо­ нах этой схемы (в основном это зона рабочего тела) в силу больших чисел Гартмана На = (BL/c) j/^a/p, > 1 силы вяз­ кости пренебрежимо малы по сравнению с электромагнит­ ными силами и можно перейти к описанию течения в при­ ближении невязкого газа. В зоне ядерного горючего ско­ рости течения настолько малы, а газ так сильно нагрет и об­ ладает столь хорошей проводимостью, что возможно пре­ небречь не только силами вязкости, но и конвективным пере­ носом количества движения в радиальном направлении. Во всей этой зоне будет существовать почти радиальное течение ѵіи > 1 и станет практически возможно магнито­ гидростатическое описание течения (кроме описания тон­ ких струек — подачи делящегося вещества по оси и слоя сме­ шения его с рабочим телом на периферии активной зоны).

В уравнении энергии в зоне рабочего тела можно пре­ небречь радиальным конвективным теплопереносом по сравнению с тепловым потоком, обусловленным эффектив­ ной теплопроводностью

и, наоборот, осевой тепловой поток, обусловленный тепло­ проводностью в рабочём теле, как правило, меньше осевого конвективного теплопереноса

Диффузионные процессы обычно существенны только в зо­ не ядерного горючего, где скорости газа малы и в рабочем

210

теле вообще возможно отказаться от рассмотрения диффу­ зии базисных компонент

узкий слой смешения ядерного горючего и рабочего тела на стыке этих двух зон.

Таким образом, если разбить все течение в газовом реак­ торе с магнитной стабилизацией на отдельные фрагменты, связанные между собой внутренними граничными условия­ ми, то внутри каждого из них общая система уравнений примет более упрощенный вид. Разумеется, выделение той или иной системы фрагментов зависит от конкретной маг­ нитогазодинамической компоновки реактора.

Вкачестве примера приведем систему уравнений после

ееупрощения для течения в зоне рабочего тела.

Уравнение неразрывности

Уравнение движения можно написать в приближении невязкого газа

В этих уравнениях считается, что магнитное поле не­ однородно, а течение находится в поле сил тяжести, соот­ ветствующих доле земного ускорения а.

Закон Ома и уравнение индукции

211

В нем проведены упрощения, о которых говорилось выше:

Процессами диффузии в рабочем теле пренебрегаем, так как скорости конвективного сноса значительно превосхо­ дят диффузионные скорости.

В ряде случаев в рабочем теле возможно течение, со­ стоящее из нескольких слоев с различными добавками. Тогда теплофизические параметры на линиях раздела этих слоев будут претерпевать разрывы, а на этих линиях в описанном выше приближении должны быть выполнены условия стыковки:

равенство скоростей, нормальных к линии раздела зон

равенство давлений по обе стороны раздела зон

равенство температур и нормальных составляющих теп­ ловых потоков

Остановимся на вопросе задания краевых условий (в об­ щем случае временных и пространственных) более подробно. Теория дифференциальных уравнений в частных производ­ ных не дает общего ответа, который позволял бы указать для произвольных систем уравнений, где, сколько и на ка­ кие величины необходимо задать краевые условия для обес­ печения единственного решения. На первый вопрос эта тео­ рия не может и не должна отвечать, так как решение этого вопроса выходит за ее рамки и в каждой конкретной задаче определяется физическими или конструктивными сообра­ жениями. Однако на остальные вопросы (а именно, на во­ просы, сколько и на какие величины нужно задавать крае­ вые условия) эта теория, на наш взгляд, в некоторых слу­

212

чаях может дать ответ. Можно предположить, что инфор­ мация на этот счет содержится в самих дифференциальных уравнениях.

Ниже дана рекомендация, позволяющая определять число независимых краевых условий по каждой из незави­ симых координат, а также указать, на какие неизвестные величины должны быть даны краевые условия. Этот способ строго не доказан и, возможно, не является верным во всех случаях, но справедливость его для многих случаев прове­ рена (в том числе и для используемых нами систем урав­ нений магнитной гидродинамики). Полезность такого ре­ цепта очевидна. Действительно, как правило, краевые условия задаются чисто интуитивно, исходя из физических соображений, причем при таком задании не всегда ясно, все ли условия заданы и правильно ли.

Пусть в некоторой области, ограниченной линиями (плоскостями), параллельными координатным осям (плос­ костям), необходимо решить систему дифференциальных уравнений в частных производных (ищется решение, непре­ рывное по независимым координатам). Количество кра­ евых условий по каждой из независимых координат предла­ гается брать равным порядку системы по этой координате. Порядком системы дифференциальных уравнений в частных производных по данной независимой координате назовем порядок соответствующей ей системы обыкновенных диф­ ференциальных уравнений, получающейся если все частные производные по другим независимым координатам счита­ ются в исходной системе известными функциями коорди­ наты, по которой ведется определение порядка. Порядок же системы обыкновенных дифференциальных уравнений может быть определен, как известно, путем приведения ее к нормальному виду, т. е. к полной системе дифференциаль­ ных уравнений, состоящей только из уравнений первого порядка. Существует много различных способов приведения исходной системы дифференциальных уравнений к нор­ мальному виду, но наиболее рационален способ введения новых неизвестных величин [381.

После приведения системы к нормальному виду легко также ответить на вопрос, на какие неизвестные величины необходимо задавать краевые условия. Их необходимо зада­ вать на те величины, которые входят в каноническую си­ стему под знаком производной.

Иногда бывает удобнее приводить к нормальному виду непосредственно исходную систему дифференциальных урав­

213

нений в частных производных. В этом случае каждое диффе­ ренциальное уравнение содержит не более одной производ­ ной по каждой из независимых координат и только первого порядка, а первая производная от данной неизвестной ве­ личины по какой-либо из независимых координат содер­ жится только в одном из уравнений системы. В этом случае соответствующие каждой независимой координате системы обыкновенных уравнений получаются нормальными.

Если исходная система, кроме дифференциальных урав­ нений в частных производных, содержит и алгебраические уравнения, то необходимо привести к нормальному виду все дифференциальные уравнения и затем проследить, не понижается ли порядок за счет использования алгебра­ ических уравнений (могут возникнуть дифференциальные уравнения, следствием которых являются алгебраические). Минимальное число дифференциальных уравнений нор­ мального вида и определяет порядок исходной системы уравнений по интересующей нас координате.

Для примера рассмотрим применение предлагаемого рецепта к системе уравнений

а = о(Г, p).

Эта система получается упрощением систем уравнений (5.33) — (5.50); при этом рассматриваются стационарные процессы в координатах ф, г, где ф = G/(2зт) — функция тока.

Преобразуем приведенную систему уравнений к нор­ мальной форме, введя новые неизвестные величины q =

= — krpVz(dT/dty)-, f = дрідф; и = др/дг:

214

Рассмотрим теперь в общем виде вопрос о возможности понижения порядка системы дифференциальных уравнений в частных производных за счет алгебраических уравнений этой системы. Пусть указанная система приведена к нор­ мальному виду. Если эту систему уравнений рассматривать как систему обыкновенных дифференциальных уравнений по какой-либо из независимых координат, то ее можно за­ писать в общем виде следующим образом:

dy1/dx = f1(y1, y 2, ... ,y n)-,

(5.101) соответствуют z или ф.

Порядок системы уравнений (5.102), состоящей из m дифференциальных уравнений первого порядка и (п — т) алгебраических уравнений, определяется достаточно просто, а именно: порядок системы (5.102) равен (т — k), где k — число зависимых переменных y t(1 i ^ m), которые можно

215