Файл: Динамика и управление ядерным ракетным двигателем [Текст] 1974. - 253 с.pdf

исключить из этой системы с помощью алгебраических урав­ нений, не вводя при этом новых производных (dtjildx) (т + + 1 ^ і ^ п). Иначе говоря, k равно числу дифференциаль­ ных уравнений системы (5.102), которые с помощью алге­ браических уравнений этой системы можно свести к алге­ браическим уравнениям. Величина k отлична от нуля толь­ ко в том случае, если с помощью алгебраических уравнений

следнее имеет место только в том случае, когда получаю­ щиеся после исключения переменных yt(1 ^ і ^ т) новые алгебраические соотношения таковы, что позволяют про­ извести дальнейшую замену дифференциальных уравнений алгебраическими (это имеет место при определенном виде правых частей Д, ..., /т ).

Используя сказанное, определим порядок систем урав­ нений (5.101) и (5.100) по каждой из координат z, ф. Начнем с определения порядка по координате ф. В этом случае мы имеем четыре дифференциальных уравнения первого порядка по ф [четвертое, пятое, шестое и седьмое уравнения системы (5.101)], т. е. т — 4. Остальные урав­ нения алгебраические, но они не позволяют понизить по­ рядок системы по координате ф, т. е. в этом случае k — 0 .

по координате г. В этом случае имеем пять дифференциаль­ ных уравнений первого порядка (первое, второе, третье, четвертое, восьмое), т. е. т = 5. Остальные уравнения являются алгебраическими и позволяют получить соотно­ шение

dr R (р, Т) Т

5г|) rpVz

которое содержит только величины, входящие под знак д/дг (дг/дф рассматриваем как известную функцию г). Это позволяет исключить одну из этих величин, вследствие чего k отлично от нуля. Более подробное рассмотрение по­ казывает, что получающееся новое алгебраическое урав­

216

нение не позволяет произвести дальнейшую замену диффе­

по координате ф необходимо задать четыре независимых краевых условия, такое же количество независимых кра­ евых условий необходимо задать по координате 2.

Предложенное преобразование системы дифференциаль­ ных уравнений в частных производных к нормальному виду позволяет определить не только число краевых усло­ вий, но и указать, на какие неизвестные величины (или их производные) должны быть даны эти условия. Краевые ус­ ловия необходимо задавать только на те неизвестные ве­ личины, которые входят под знак производной. Для си­

висима и на нее можно краевых условий не задавать) и кра­ евые условия по ф для г, р, Т, q.

Методы численных расчетов. Разнообразие схем маг­ нитогидродинамических компоновок не позволяет дать еди­ ный метод расчета динамических характеристик, при­ емлемый для всех случаев. В связи с этим последующий материал данного параграфа будет носить обзорный харак­ тер. Ограничения, которые в данном случае можно сделать, будут весьма общими. В первую очередь это относится к утверждению о существенно дозвуковом классе рассмат­ риваемых течений. В этом случае мы сталкиваемся с такой качественной характеристикой гидродинамической части системы уравнений, как эллиптичность. В отношении чис­ ленного расчета этот класс течений наиболее капризен

всмысле устойчивости счета.

Впредыдущей главе мы говорили или о существенной разрывности параметров течения, или о том, что в нем долж­ ны присутствовать резкие градиенты теплофизических пара­ метров, накладывающие свои особенности на применяемые аппроксимационные схемы. Кроме того, возможные по­ становки задач могут быть разной степени сложности. На­ пример, от описания течения по схеме полного магнито­ гидродинамического уравнения Навье — Стокса до схемы течения идеальной жидкости и даже просто до магнитогид­ ростатического описания; от описания процессов теплооб­ мена излучением по схеме кинетического уравнения для ин­ тенсивности излучения / ѵ до обычного уравнения тепло-

217

проводности. Разнообразие и богатство всевозможных спо­ собов численных методов расчета позволяет в данном случае кратко изложить только основные направления.

В настоящее время методы численных расчетов течений по схеме уравнений Навье — Стокса бурно развиваются. В обычной газовой динамике при этом рассматривается уравнение состояния совершенного газа

но обычно отсутствует тепловыделение. Однако отличие за­ дач, описывающих течение в реакторе, не вносит численных затруднений, поскольку зависимость теплофизических па­ раметров от давления слабая.

Это позволяет представить описание энергетических и гидродинамических процессов раздельно в виде двух крупных блоков, связанных между собой внешним ите­ рационным циклом (можно показать, что при М С 1 схо­ димость внешних итераций хорошая). Такое допущение о возможности внешних итераций резко облегчает задачу создания алгоритма расчета. Гидродинамическую часть системы уравнений в этом случае можно рассматривать отдельно от тепловой, так как она практически сводится к описанию течения с заданной распределенной плотностью. Такое описание течения должно иметь в отношении числен­ ного счета свойства, похожие на те, которые встречаются при расчетах течения несжимаемых жидкостей. Постоянна ли при этом плотность р или она является заданной и не из­ меняющейся в процессе работы гидродинамического блока функцией, существа дела не меняет.

Численные методы расчета течений вязкой несжимаемой жидкости разработаны достаточно подробно [27—36], во­ просы существования и единственности решений хорошо ос­ вещены в работе [31].

В этих методах в качестве исходных систем уравнений использованы уравнения трех типов [32].

1.Так называемая и\ ѵ; р-система, когда для представ­ ления в конечно-разностном виде в качестве исходных ис­ пользуются обычные уравнения неразрывности и количе­ ства движения.

2.(£ —ф)-Система, когда по уравнению неразрывности вводится функция тока ф, являющаяся одной из составля­ ющих векторного потенциала скорости. (В двумерном слу­ чае две остальные составляющие равны нулю.)

218

которое в случае вязкой жидкости будет уравнением 2-го порядка. Вводя внешние итерации между уравнением Гельмгольца и выражением для функции тока, можно по­ очередно, находя поля распределения ф и £, получить ре­ шение задачи.

3. Третье направление заключается в использовании в качестве исходного одного уравнения для ф

которое получается подстановкой выражения для вихря (5.104) в уравнение Гельмгольца. В случае вязкой жид­ кости это уравнение 4-го порядка.

Аппроксимационные схемы, которые применяются для решения задач при наличии всех трех типов исходных си­ стем уравнений, достаточно хорошо рассмотрены в обзоре [32], и нет необходимости повторять их рассмотрение.

У описаний течения по схеме с применением уравнений Навье — Стокса на заранее заданной и закрепленной сетке есть один общий недостаток, присущий всем аппроксима­ ционным схемам численных методов расчета. Уравнение Гельмгольца для двумерного плоского течения, в котором у вектора вихря имеется отличная от нуля нормальная к плоскости течения составляющая, выглядит в безразмер­ ном виде следующим образом:

В случае, когда граничные условия для вихря £ разрывны, при увеличении числа Re в жидкости появляется все более и более сужающаяся по размерам область (вихревая дорож­ ка), в которой Д£ растет. С одной стороны, это приводит к области с неопределенностями типа 0 • оо. Это объясняет отличие решения для идеальной жидкости от решения урав­ нения Навье — Стокса с исчезающей вязкостью (например,

219

при обтекании каверны). С другой стороны, при закреплен­ ном шаге сетки рано или поздно при достаточно больших числах Re размеры вихревой области становятся столь уз­ кими, что поведение функции £ не поддается численному описанию на столь грубой сетке. В результате, как правило, счет либо становится неустойчивым, либо дает неверное решение.

За последнее время появились схемы методов численного расчета уравнения Навье — Стокса с подвижными сетками [35]. В некоторых случаях совершаются попытки числен­ ного описания течения на конечном множестве точек, рас­ положенных в заданной односвязной области течения. Эти точки в зависимости от получаемого последовательными приближениями решения сгущаются в тех местах области, где требуется более подробное описание функции, и рас­ полагаются более редко в остальных местах [35]. По-види­ мому, эти методы более перспективны по сравнению с пре­ дыдущими и позволят продвинуться в область более высо­ ких чисел Re. Однако эти способы требуют более громозд­ ких схем аппроксимации уравнений, возникает сложность в определении способов перенумерации точек в области. Вопросы устойчивости счета могут осложняться не только аппроксимационными причинами, но и алгоритмом дефор­ мации координатной сетки или совокупности точек.

В случаях, когда гидродинамическая часть общей си­ стемы уравнений позволяет описывать течения по схеме идеальной жидкости, например На 1, возможно также применение всех трех типов исходных систем уравнений, как и в случае уравнения Навье — Стокса. Однако порядок системы уравнений в данном случае понижается на единицу. Возможно это приближение только в областях плавного из менения граничных условий для вектора вихря и в том слу­ чае, когда внутри течения нет источников вихреобразования, создающих особенности в виде одиночных вихрей и вихре­ вых дорожек. Наиболее проработанными численными спо­ собами получения решения в условиях взаимодействия по­ тока с магнитным полем являются те или иные модификации метода установления [28—30]. Ряд численных методов и ре­ зультатов расчетов, рассмотренных применительно к тече­ ниям проводящей среды в поперечном магнитном поле [17], может быть использован при составлении программ для рас­ чета тех фрагментов течения, где существенна поперечная составляющая вектора индукции. Методов расчета течений проводящей среды в продольном магнитном поле сравни-

220