Файл: Шерстюк А.Н. Турбулентный пограничный слой. Полуэмпирическая теория.pdf

позволяют найти коэффициент

К, после

чего легко найти

£>Ср и vm:

у с р =

] / " ^ - ;

vm

=

vcp-\-4.

Д а л е е

с помощью

формулы

(3-28)

или рис. 3-19

на­

ходится закон

изменения

безразмерной скорости

v =

v(r\)

и вычисляются

действительные

скорости:

w

: Ю е р (£)-

Необходимо отметить, что в изучаемом примере при­

нят уточненный закон

длины пути

перемешивания (3-10)

и соответственно

х = 0,4.

В

остальных

примерах

принят

приближенный

закон

(3-9)

и и = 0,36,

что, как

у ж е

от­

мечалось,

отчасти

компенсирует

неточность

закона

/ = / ( л ) .

Однако во всех случаях для пристеночной

области

принимается и = 0,4.

К о л ь ц е в а я

т р у б а .

Более

сложным является

те­

З а к о н касательных напряжений

для кольцевой тру­

бы в ы р а ж а е т с я

формулой

(3-26),

а

формула Д а р с и

принимает вид:

dp

* .

wlo

где

_ 4 / _ 4 * ( ^ - г ? )

Я

э

_

П

2^,-4-2^,

r ' J -

Следовательно,

теперь

г,

'К

2

— r\

2

х = х , —

— pw

.

1

/•

8r

r

op r 2

— r ,

Д а л ее

введем

обозначения:

% =pw~

;

t , =

— pay" ;

w,

— E L = a :ср>

— — = f 1 C n ;

1

1*'

-

1

2*'

ш и

i c

p '

w2t

X t , l c p

_

Л .

A "2cp _

Л

,

*

_

-

r

rx

r 2

сательных напряжений

в виде

* =

А »

^ ^ -

-

(3-34)

С другой

стороны

Т :

или

^ i *

(r2 — rt)

Н а м

осталось найти

закон

длины

пути

перемешива­

ния

/ = /(г)). Используя

приближенное

выражени е

(3-8),

находим:

ИЛИ

'2

' 1

r

^ x

^ -

v o

^ J - .

(3-35)

Л 2 "1 1

где г ) / 1 =тц +

А 1 Ц в ; ti'2 =t|2—А112в;

д ^ д ^ * ^ ;

Re =

^ ! ^ L .

П р и р а в н и в а я оба выражени я дл я т и учитывая

зави­

симость (3-35), получаем дифференциальное

уравнение,

позволяющее

найти

закон

скоростей

в

кольцевой

трубе:

'1

Re,*

dv)

(3-36)

В

в я з к о м п о д с л о е

закон скоростей

в ы р а ж а е т с я

формулой

v - Re.v.

(т,, +

А ^ ) I n ^ — - 5 -

A , ( f -

$ I . (3-37)

Разумеется, при малой толщине вязкого подслоя по­

лучаем линейный закон

скоростей:

u = Re*Ar|;

Дт) = н.—гц.

Если

ж е

в с е т е ч е н и е

л а м и н а р н о е ,

то

форму­

ла (3-37)

в ы р а ж а е т

закон скоростей

в

кольцевой

трубе,

В этом

случае комплекс

A i легко

определяется

из

гра­

ничного

условия: для 11 =

112

v = 0

(т. е. на внешней

гра­

нице канала скорость

д о л ж н а

равняться н у л ю ) . Исполь­

зуя это т р а « и ч н о е

условие из

(3-37), находим:

К-

1

'1г + Ъ

г „ 1 п

—

Следовательно,

комплекс

A i зависит только от отно­

шения радиусов r2/ri.

Соответственно этому закон ско­

ростей

в кольцевой трубе

w/wcp

т а к ж е зависит

только

от отношения радиусов

r2/i'i.

В о с н о в н о м

т у р б у л е и т и о м участке

v — Уг,

In

Нетрудно т а к ж е установить

зависимость м е ж д у

O i c p

и Угср-

Действительно,

из общего

в ы р а ж е н и я дл я каса­

тельных напряжений

(3-34)

находим:

2

*1

Ъ

'

'12

С другой стороны,

2l

= _ fWi*

У =

— [HisL]2

r->/ri = 8 для

R e = l , 5 4 -

I О5; опытные данные

заимствованы

из [Л. 7].

К а н а л

п о с т о я н н о й ш и р и н ы . В

заключение

рассмотрим

развитое

турбулентное течение

в к а н а л е по-

распределение

скоростей

в коль­

цевом канале

для Re = f ,54 - IС и

— опыт 1Л.

7j;

расчет.

Легко убедиться, что вместо закона касательных на­

пряжений (3-26), полученного дл я

цилиндрической тру­

бы,

д л я к а н а л а постоянной

ширины

находим:

или

7 = ^

= 1 - ц

(3-40)

торых поля скоростей в цилиндрической трубе

и канале постоян­

ной ширины (а/а<с1) подобны; б) найти закон

сопротивления для

канала постоянной ширины.

потребовать, чтобы координата T)n = 6D /8,

характеризующая

толщи­

ну вязкого 'Подслоя в канале,

равнялась

координате цп = 5п/г-> для

трубы.

Поскольку

к ' А

=

„

то 7,В П

8 » _

*

Рв . _

а>сР8

—

= — -

— - ^ j - ,

R e , , - — •

Соответственно для трубы

круглого

сечения

г2

w„r3

ReK iVp'

К

е * ~ v

'

А так как в обоих

случаях

иср =

У"8/Л, то ч\вП = YJ„k

при усло­

вии

Ren

V % ~ = Re„ VK .

(3-41)

Итак, поля скоростей в цилиндрической трубе и канале прямо­

угольного сечения с e/a-Cl

подобны при выполнении условия (3-41).

Переходя к закону сопротивления, воспользуемся

формулой

Дарси.

Если s/a<l , то d3=4e

и

dp_ =

Х_

dx

4s р

2

"

Легко

убедиться,

что для канала

постоянной

ширины,

как и

для цилиндрической трубы, справедлива

зависимость:

: = 2,03 lg (2Re VТ) - 0,52

(3-42)

- = =

= 2,03 lg (l,7-2Re V X ) — 1.

(3-43)

V х

Re. = - ^ L . ,

(3-44)

2Re0 = —

—

= 4Re

Re3

= 2Re.

(3-45)

трудняется тем обстоятельством,

что в общем случае за­

кон, касательных

напряжений

заране е

не

может

быть

установлен. Д а ж е

в простейшем

случае

течения

около

слабоскривленной

стенки

и при условии

wvjwx<gL\

урав ­

нение движения записывается

так:

дъ

dp

I

dwx

I

dwx

,0

.~,

- =

- r .

+

p W x - £

+

p W y l £ - .

(3-46)