Файл: Шерстюк А.Н. Турбулентный пограничный слой. Полуэмпирическая теория.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 26.06.2024

Просмотров: 176

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Строгое решение задачи возможно методом последо­ вательных приближений или с помощью вычислительных машин .

Н и ж е

рассматривается решение задачи в первом

приближении без учета продольного

градиента скоростей

д л я всех

струек. В основу решения

кладется приближен ­

ный закон касательных напряжений, т=тг(т]), полученный с учетом основных граничных условий. Этот ж е метод

Рис. 3-23. Каналы.

 

 

 

а — днффузорныЛ;

б — конфузорный.

 

 

будет д а л е е

использован дл я

расчета

пограничного слоя.

Переходя

к установлению закона

касательных

напря ­

жений т = т ( г | ) ,

рассмотрим особенности

течения в

кана ­

лах с прямолинейной

осью и малой кривизной его границ

(рис. 3-23). К а н а л ы

могут быть

плоскими или

осесимме-

тричными.

В

приближенной

постановке

поле

скоростей

в плоских

и

осесимметричных

к а н а л а х

в ы р а ж а е т с я од­

ним законом; различие проявляется лишь при опреде­ лении коэффициента потерь.

 

Одной из в а ж н ы х характеристик

каналов служит угол

а,

образованный стенками

к а н а л а

с его осью:

 

 

 

 

 

 

da

 

 

 

 

a =

a r c t g ^

 

 

(в — половина

ширины

к а н а л а ) .

 

 

 

Примерный

график

изменения

касательных

напря­

жений в диффузорных и конфузорных к а н а л а х

показан

на

рис. 3-23. В

диффузорных к а н а л а х ( а > 0 ) ца

стенке.

 

 

д%

 

др_

•о...

 

 

 

 

ду

 

дх

 

 

 

 

 

 

 

 

77

и поэтому максимальной величины касательные напря­ жения достигают на некотором удалении от стенки: на

оси

к а н а л а

 

г = 0

и dh;/dy2=0

(точка

перегиба) .

 

 

В

конфузорных к а н а л а х

( а < 0 )

максимальной

вели­

чины касательные н а п р я ж е н и я достигают

на

стенке, по­

скольку

дт/ду<0.

 

 

 

 

 

 

 

В

целях

получения

простого решения

ограничимся

удовлетворением

только

трех граничных условий:

 

 

1.

у = 0;

 

т = т о

или т = 1 .

 

 

 

 

 

 

2. Д л я

осесимметричных

каналов примем

по

анало­

гии

с

трубой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п

 

<?т

 

I др

 

дТ .

а

г

dp ш

более

точно

принять

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d(ri)

г^др_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ду

д.-с'

 

 

 

 

 

Д л я плоских

каналов

 

 

 

 

 

 

 

п

dz

 

др

д7

.

.

в

dp

 

 

3.

у — в\

 

т =

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

Комплексы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

i

, = _

^ H

А , =

- Ц - ^

 

 

(3-47)

играют роль формпараметров; в приближенной постанов­ ке поле скоростей в канале зависит только от А* и числа Рейнольдса .

Д л я каналов постоянной ширины А , = — 1 . Действи­ тельно,

_

я dp _

в

/

 

 

 

х

, ?

-

*~?wl

dx~

р ш 2

\

4в р

2

У "

8 УСР—- 1

Соответственно

принятым

граничным

условиям для

д и ф ф у з о р и ы х к а и а л о в можно

записать:

 

 

 

w , + 6 V ]

+

c 3 r

 

 

(3-48)

п найти

постоянные

С\,

Ci и

с 3

из

граничных условий.

В итоге получим приближенный закон касательных на­ пряжений для диффузорных течений; справедливый

в диапазоне

0 < л < 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г = = ( 1 - 1 п ) [ 1 + ( 1 + А # - ч ) ] *

 

 

 

 

(3-49)

 

Учитывая д а л е е формулу

П р а н д т л я

(3-5)

и

 

закон

пути

перемешивания в

виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 = Кв(ч\—1\ъ)(\

-

2 ~ ^ ) '

 

 

 

 

после

соответствующих

подстановок получаем

формулу

дл я

определения скоростей

в

диффузориых

к а н а л а х :

 

 

 

 

 

^ ( l - 7

j ) [ l + ( l + A J У]\

 

 

 

(3-50)

 

 

 

d-q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При больших числах Re интегрирование дает следую­

щий

закон

 

скоростей:

 

 

 

 

 

 

 

 

+

t ( f m — и ) =

 

 

 

 

 

А „ - 2 ( 1 + А , ) т )

2 ] / " 1 ~ 5 — h a r c s i n

2 + А ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

А ф

- - ^ - ( 4 +

ЗА,)

 

 

 

-

у з +

2А*

- 5 - + arcsin •

 

(2

+ А ,

 

 

(3-51)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р е ж д е чем

переходить

к анализу полученных

резуль­

татов, установим закон

скоростей

дл я

к о н ф у з о р н ы х

к а п а л о

в. Использование

трехчлена типа

(3-48)

теперь

явно

нецелесообразно,

поскольку

большим

отрицатель­

ным значениям ф о р м п а р а м е т р а А* сотоветствуют отри­

цательные н а п р я ж е н и я х д л я г | < 1 , что лишено

физиче­

ского смысла при безотрывном течении. Чтобы

избежать

этого_ затруднения, примем закон

касательных

напряже ­

ний т для конфузорных канало в

в виде

 

—1+Вг, (3-52)

инайдем постоянную В из граничного условия:~ ' — "Л

GiX=o=A*-

* Если учесть граничные условия на второй стенке, то

х = —п (I 2

79

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

т : = 1_(1 + A»)V

 

'

 

(3-53)

В предельном случае

д л я

к а н а л о в

постоянной

шири­

ны 1 + А * = 0 и ф о р м у л а

(3-53)

дает

точное

решение.

Легко убедиться, что закону касательных

н а п р я ж е ­

ний (3-53) при больших числах Re

 

соответствует

сле­

дующий закон скоростей:

 

 

 

 

 

 

* ( . „ - , ) =

Arch

P +

 

 

ffi-2-

 

-£—|- arcsin - 2 ( 1

+ А , ) +

(2 + ЗА,)7|

 

(3-54)

/ - 2 А . - 1

 

" л * ^

 

2 J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д л я определения потерь по-прежнему

воспользуемся

формулой Д а р е н , подразумевая под Др потерю

полного

давления, подсчитанного с учетом неравномерности

поля

скоростей:

 

г

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

:

_

1

 

 

 

 

 

2 '

wcvf

 

 

 

/„

P.и/и J u

или вводя коэффициент Кориолиса:

= Р - Ра + 4 "

- /г, „в£р н ) ;

(индекс «н» относится к начальному сечению, от кото­ рого ведется отсчет);

dx

" °Р dx

Н о согласно уравнению неразрывности ayc p f=const и, следовательно,

dw№

i%> df '

dx

f dx '

80

Смотрите также файлы