Файл: Шерстюк А.Н. Турбулентный пограничный слой. Полуэмпирическая теория.pdf

вой отрыв в

коническом

д и ф ф у з о р е

д о л ж е н наступать

при угле 2а = 2°42', в то время

как эксперименты позволя­

ют наблюдать

безотрывные

течения

при существенно

больших значениях углов

а.

Рис. 3-45. К изучению течения в без­

лопаточном

диффузоре.

ми. Схема д и ф ф у з о р а и основные обозначения

показаны

на рис. 3-45.

С другой стороны, ширина диффузора 2в, как прави­

ло, существенно меньше расстояния г до оси

вращения

рабочего колеса. Таким образом,

при изучении течения

в диффузоре справедливы

все те

упрощения,

которые

приняты Л . П р а н д т л е м в теории пограничного

слоя.

Есть, однако, одно

обстоятельство, существенно

за­

трудняющее

изучение

течения в диффузоре . Д е л о в

том,

что поток на

входе

в

диффузор формируется

рабочим

колесом компрессора

и поэтому отличается значительной

установившийся

осесимметричный.

Теперь рассмотрим у р а в н е н и я

д в и ж е и и я

в ц и-

л и н д р и ч е с к о й

с и с т е м е к о о р д и н а т

и те

упро­

щения, которые следуют из теории

пограничного

слоя.

Уравнения Рейнольдса для осесимметричного течения

несжимаемой

жидкости

принимают

следующий вид:

т

дг

1

у

ду

г

р дг

'

ш

дйу_,ш

дщ_

1

др

,

/

д*йу

,

1 dwy

•

т

дг

ду —

р ду + V 1 ^ 7 ^ + ~ ^ 7 ~

+

+ ^ ) -

^ ^ )

-

^

( ^

)

-

^ '

(3 - "8 )

К этим уравнениям необходимо добавить уравнение

неразрывности:

+

< 3 - 1 1 9 )

dwr

,

W,.

wr

дг

—(

г

'X/ -

1

г

входящих в уравнения

Рейнольдса, как это было сделано

в § 2-1. П о л а г а я e/r<cl ,

окончательно получаем:

1 др

,

д-и

(3-121)

^ - ( р

+ р ш ; 2

) =

0.

(3-122)

Обычно в последнем уравнении пренебрегают

влияни­

ем пульсаций, полагая

др/ду^О.

Согласно

уравнениям

(3-120)

и (3-121)

касательные

н а п р я ж е н и я

равны:

Ъ- =

г1

-щ-

— pw'rw'yi

(3-123)

-

ы ^

^ - Р ^ у .

(3-124)

Д л я

возможности

установления зависимости

м е ж д у

пульсациями скорости

и характеристиками

осредненного

ностыо

соответствующие

основным

идеям

Л .

П р а н д т л я .

а) Продольные

пульсации

скорости до',, и

w'u прини­

маются

пропорциональными

градиентам

скоростей:

;

i dwr

,

,

dwu

w'y

= cw'.

w'.

Таким образом,

остается

найти

пульсацию

скорости

Д л я

этой цели необходимо установить правило сло­

жения пульсаций.

Вне

переходного

участка

вместо (3-123)

и (3-124)

можно

принимать:

t r = — pw'rw'y;

t u = —

pw'uw'v.

Кроме того, суммарное

напряжение

т =

| / • т А - } - 1 2

= — pw'w'v.

Следовательно,

{VO'rW'yf -f- (w'uW'y)'- = (W'w'y)2.

Если

коэффициент корреляции вдали от стенок мож­

но

принять независящим

от направления, то в этом слу­

чае

w' = У

w'r2-\-w*.

(3-125)

w'y = cw' — с

- j - w'\

1

<3

126

( t F T + I t F ) :

- >

^^WJ+WT-

(3-127)

Формулы (3-126) и (3-127) являются

обобщением

закона касательных

напряжений

П р а н д т л я

на случай

трехмерного течения,

у которого

поперечная с л а г а е м а я

скорости мала в сравнении с продольными

(wy/wT^.\;

wy/wu<^l).

(1 - 1 ) [ 1 + ( 1 + А ^ ] « - ^ - ^

+

+ ( ^ У

Л/

1 + (2^У>

(3-128)

В этих уравнениях

v —

v — — Р е

— т * -

• Re — 8 Ю «

Граница

вязкого подслоя

в общем

случае д о л ж н а

определяться

по суммарной скорости

да

— у w~_|_w2 .

связывает 'Среднюю

окружную

проекцию

скорости

W C P U

с величиной коэффициента трения су ш

а

вторая — гра­

диент давления

(формпараметр

А*,-) с характеристиками

осредненного

течения.

П е р в а я зависимость устанавливается

с помощью

тео­

ремы моментов

количеств

движения:

dM = G-£r(rwcp)dr,

(3-130)

где G — секундная

масса

жидкости,

G =

2nrepCpWrcp;

и>гср — средняя

радиальная

проекция

скорости; ш „ с р —

средняя о к р у ж н а я

проекция

скорости,

wrCr, =

\

pWrd-ц;

йУс'' =

1

PWrWudti.

Р

Pop J

«

Pop^rop

J

о

о

Учитывая,

что

dM =

2(2nrr0udr)r

и

г

epcplgPcp — 6 n P c p . H t g P c p . H = j'C/upcprfr;

(3-131)

6

1

г

1