Файл: Шерстюк А.Н. Турбулентный пограничный слой. Полуэмпирическая теория.pdf

Скачать файл (7,52Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 26.06.2024

Просмотров: 163

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Одной из важных задач теории струй является определение границ струн. В классической теории эта задача решается на осно ве гипотезы Л. Прандтля, предложившего, что утолщение струи (скорость нарастания толщины пограничного слоя струи) пропорцио нально поперечной пульсационной скорости:

йв	•
щ-	- ш »•
Гипотеза Прандтля хорошо	подтверждается опытами .по иссле

дованию спутных потоков, однако противоречит опытам по исследо ванию встречных потоков.

Одной из особенностей предлагаемого «иже метода расчета струй является отказ от каких-либо дополнительных гипотез и решение за дачи на основе теории пограничного слоя (интегрального уравне ния Кармана). В связи с этим необходимо отметить, что интеграль ное уравнение Кармана находит применение при решении задачи о границах струи. В частности, можно отметить работу Л. Н. Ухановой [Л. 65], в которой решается задача о ширине следа в условиях градиентного потока.

Поскольку методы решения плоских и осеспмметричных задач одинаковы, в § 4-2—4-10 дается подробное изложение задач о плоско

параллельных течениях, а в § 4-11 и 4-<12 кратко рассматриваются особенности осеспмметричных течений.

4-2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ СТРУИ

О б щ и е законы сохранения, рассмотренные в главах первой и второй, применимы к расчету пограничного слоя струй. Однако при решении большинства зада ч о тече нии струй можно пренебречь влиянием молекулярного трения и молекулярной теплопроводности, что связано с отсутствием твердых границ. Кроме того, в большинст ве случаев течение можно рассматривать ка к изобариче ское.

Все это существенно упрощает соответствующие фор

мулы, в ы р а ж а ю щ и е законы сохранения.
П л о с к о п а р а л л е л ь н ы е	т е ч е н и я .	Уравнение
неразрывности сохраняет свой	вид:
* ь . + * * . _ ! < > .		( « )

Уравнения движени я в энергии заметно упрощаются:

dwx	,	dwx	,	dwx	I dp	, .
ГдП,	dP	,	dT •	dP ,	dP ,	dP
				dt		-г^-^Г-г^-ду--
						(4-6)

141

Н а и б о л е е простую форму эти уравнения принимаю! для изобарических течений:

dwx .		dwx	i	dwx	0	W
" I T	+	" * " 5 Г	+	~ду- =	° ;	W
-5r	+	w*-dir +	w	v - b T = 0 -		(4"8)

Последним двум уравнениям соответствуют следую щие уравнения пограничного слоя, записанные для осредненных величин (знаки осреднения опускаются) с от брасыванием м а л ы х слагаемых:

			dwx .	dwx		—;		г-			,.
		Wx~дх	+ ш»	~ #	=	- ш	* w	У'			(4"Э)
		* * - \| г + « у - ^ ==-•-- « У " 7 -									(4-Ю)
З а к о н ы		с о х р а н е н и я				к о л и ч е с т в а				д в и ж е
н и я и и з б ы т о ч н о г о т е п л о с о д е р ж а н и я .											Д л я
изобарических струн общее количество движения											сохра
няется неизменным для всех сечений							струи:
			f
			j раЛ// =		const						(4-H)
			о
(/ — площадь		сечения струи) .
Особенно		удобно применение уравнения (4-11)									в тех
случаях,	когда		профиль	скоростей			в	струе		универса
лен.
Д л я струй		без подвода		тепла		сохраняется избыточное
теплосодержание			струи:
			f
			[pay (Г — 7 , 1 )d/ = const,								(4-12)
Т — текущее		значение температуры,					а	Т-х	— температура
спутного	потока.
Применение интегральных					уравнений				(4-11)	и	(4-12)

в ряде случаев позволяет установить простую зависи

мость м е ж д у шириной струи и максимальной		скоростью
(на оси струи), а т а к ж е между	шириной струи	и	макси
мальной разностью температур	в сечениях струи		Тщ—7\,

142

4-3. ПЛОСКИЙ ИСТОЧНИК

Одним из наиболее изученных теоретических и экспе риментально является течение плоской струи в покоя щейся жидкости (затопленная струя) . Н а некотором уда лении от сопла заканчивается перестройка поля скоро стей и, начиная с этого сечения, поля скоростей во всех последующих сечениях подобны, а границы струи пря молинейны. Этот участок струи принято называть ос новным.

	В основном участке струя ведет себя			таким ж е обра
зом, как если бы она вытекала из бесконечно						узкой щели.
	Решение задачи о плоском источнике				принадлежит
Тол ми ну.
	Рассмотрим з а д а ч у о плоском источнике,					использовав
как	строгий, так и приближенный методы				расчета.
Рис.	4-1. К выводу		уравнений
движения в полярной системе
	координат.
	Р е ш е н и е	на	о с н о в е у р а в н е н и й	д в и ж е н и я. По
скольку границы		струп прямолинейны, у р а в н е н и я				д в и ж е н и я

удобно записать в полярных координатах. Для этой цели рассмот рим элементарную фигуру, ограниченную двумя лучами, составляю щими угол da, и двумя дугами окружности (рис. 4-1). В качестве координат выбраны расстояние до полюса s и угол а (полярные координаты).

Принимая размер в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа, равным единице, примеи"м к выделенному элементу законы

сохранения.
Согласно закону	сохранения	массы
д	,	д	da = 0
-^г	(s dawrf) dr	(?dswa)	da = 0
или
	^ (РЯ».) + ST (P*a) =		°-	( 4 " 1 3 )

Теорему количеств движения запишем в лредполол<ении посто янства давления во всей области и отрицательного градиента ско рости (dwjda<0):

д	9	д	дт
"57	(Sfwr	da) ds + ^ - (psaiatt>,) da =	— ^ - dads

143

или								ih
	д	,			д
	ж м		+ m				= - ыг-		^14>
Путем простых преобразовании уравнение (4-14) может быть
приведено	(с использованием			уравнения			сохранения массы) к			виду
	sws	dws			dws		I	'dz	(4-15)
		-г— +		w„ ъ — =		- p		"a—•
		OS		a	dct			oa	v	'
Теперь	установим	з а к о н			и з м е н е		и и я с к о р о с т и н а			о с и
с т р у и wm	вдоль струн.		Для		этого	запишем условие			сохранения

общего количества движения струи, справедливого ввиду отсутствия внешних сил:

2	j" pis^sds = const.			(4-16)
Последнее выражение приближенное; предполагазтсл, что соз а=*=
=3^1 и wa sin a/ws <^ 1.
Принимая плотность	газа	постоянной,	переписав	зависимость
(4-16) в виде
2 ? 8 B L s a a	j	<*т] =	const;	(4-17)
	и
учитывая, что

'в что ввиду сохранения подобия скоростей интеграл постоянен для всех сечений, находим закон изменения скорости на оси струи:

const

№ , m = F T '		( 4 " 1 8 )
Соответственно скорость ws выразится формулой
m		(4-19)
		(4-19)
в которой ш— постоянная для данной	струи;	F(r\) — функция от
Ц = а/ав (подлежащая определению).
Независимость произведения ws V s	от s	(для несжимаемой

жидкости) позволяет предельно упростить уравнение движения. Действительно, в этом случае первое слагаемое в формуле (4-15) пропадает и, следовательно,

fwaw, = — х.

(4-20)

144

Закон изменения скорости wa будем искать в виде

а У s

где /(т|) —функция от т|.

Уравнение неразрывности (4-13) мость между функциями F(f\) и 1(ц):

П-П),

(4-21)

позволяет установить зависи

F(i)) =-^-V

ft)-

Таким образом, проекции скорости wa и ws выражаются сле дующим образом:

^=7=f(-i); ». = -7==-^-Г(ч).

(4-22)

Подставляя найденные выражения в уравнение (4-20), а также учитывая закон трения Прандтля, получаем дифференциальное уравнение, позволяющее найти функцию f(r\), а следовательно, и

закон скоростей:

			а!"		(-4) = -		V-fW		f М -	(4-23)
В этом		уравнении		обозначено:
Уравнение (4-23) должно решаться при следующих граничных
условиях:
1.	а = 0 ; ws=wsm.			Следовательно,
					If	Й)]ч =о =		- Н
2)	а =	0; а>а =	0;	[/(i))]4 B = 0 = 0;
5)	« =	«„,; ю , ^ 0 ;			[ / ' W k i ^ O .
Численное решение дифференциального уравнения (4-23) при
условии в^/в='\,5			дает		величину
					- , /	2	"1	й ~ .
и значения скоростей, приведенные в табл. 4-1.
Если принять,			что согласно				опытам		угловой	коэффициент луча,